Fisica del castello di carte
Salve ragazzi, avete mai provato a fare un castello di carte? Ultimamente mi è venuta la curiosità di scoprire come si fa a farlo tenere in piedi! Questo esercizio non è nel libro, ma sono troppo curioso!
La mia domanda è: qual'è la condizione perchè due carte uguali possano stare in equilibrio?
Cominciamo con il considerare una sola carta inclinata di un certo $\alpha$ rispetto al piano di appoggio. Sul suo centro di massa agisce la forza peso, diretta ovviamente verticalmente. Ho pensato di scomporre la forza peso in due componenti, quella parallela al piano della carta e quella parallela al piano di appoggio. Quella parallela al piano di appoggio la faccio equilibrare dalla forza d'attrito della carta col piano di appoggio. La componente parallela al piano della carta la faccio invece equilibrare dall'altra carta (supponiamola inclinata con lo stesso angolo (ma in direzioen opposta) RISPETTO al piano di appoggio.
Se le carte sono uguali, la componente parallela alla carta è comunque equilibrata. Non ci resta che porre la condizione: COMPONENTE DEL PESO PARALLELA AL PIANO DI APPOGGIO MINORE O UGUALE ALLA FORZA DI ATTRITO. Cioè
$P\cos\alpha=P\mu_c\implies \mu=\cos\alpha$.
Che ne dite, è corretto?
La mia domanda è: qual'è la condizione perchè due carte uguali possano stare in equilibrio?
Cominciamo con il considerare una sola carta inclinata di un certo $\alpha$ rispetto al piano di appoggio. Sul suo centro di massa agisce la forza peso, diretta ovviamente verticalmente. Ho pensato di scomporre la forza peso in due componenti, quella parallela al piano della carta e quella parallela al piano di appoggio. Quella parallela al piano di appoggio la faccio equilibrare dalla forza d'attrito della carta col piano di appoggio. La componente parallela al piano della carta la faccio invece equilibrare dall'altra carta (supponiamola inclinata con lo stesso angolo (ma in direzioen opposta) RISPETTO al piano di appoggio.
Se le carte sono uguali, la componente parallela alla carta è comunque equilibrata. Non ci resta che porre la condizione: COMPONENTE DEL PESO PARALLELA AL PIANO DI APPOGGIO MINORE O UGUALE ALLA FORZA DI ATTRITO. Cioè
$P\cos\alpha=P\mu_c\implies \mu=\cos\alpha$.
Che ne dite, è corretto?
Risposte
Direi che non va bene.
Considera la carta inclinata di un certo angolo $alpha$ rispetto al piano.
Lascia stare la scomposizione in componenti, tieni conto direttamente delle forze agenti sulla carta: forza peso verticale applicata al baricentro; reazione verticale del piano, normale al tavolo e applicata all'estremità della carta che poggia sul tavolo; forza di attrito parallela al tavolo applicata nel medesimo punto; forza parallela al tavolo applicata dall'altra carta all'altra estremità della carta considerata, cioè in alto. Possiamo assumere che le carte non si scambiano alcuna forza verticale quindi la forza verticale all'estremità comune delle carte e nulla.
Fai l'equilibrio delle forze verticali orizzontali e dei momenti e ottieni la relazione che lega il coefficiente di attrito statico all'angolo di inclinazione della carta, al limite dello scivolamento, che è leggermente diversa da quella che hai scritto tu.
Considera la carta inclinata di un certo angolo $alpha$ rispetto al piano.
Lascia stare la scomposizione in componenti, tieni conto direttamente delle forze agenti sulla carta: forza peso verticale applicata al baricentro; reazione verticale del piano, normale al tavolo e applicata all'estremità della carta che poggia sul tavolo; forza di attrito parallela al tavolo applicata nel medesimo punto; forza parallela al tavolo applicata dall'altra carta all'altra estremità della carta considerata, cioè in alto. Possiamo assumere che le carte non si scambiano alcuna forza verticale quindi la forza verticale all'estremità comune delle carte e nulla.
Fai l'equilibrio delle forze verticali orizzontali e dei momenti e ottieni la relazione che lega il coefficiente di attrito statico all'angolo di inclinazione della carta, al limite dello scivolamento, che è leggermente diversa da quella che hai scritto tu.
Nel fare l'analisi delle forze, mi sto trovando un problema. Non credo che sia un problema solo delle carte, ma qualunque problema del genere mi creerà difficoltà!
La carta è posata su una "parete" (l'altra carta) a sua volta inclinata dell'angolo 90-alfa. E' UN Pò come se una scala fosse poggiata su una parete non perfettamente verticale, ma inclinata. In questo caso che direzione ha la forza che la scala esercita sulla parete? (O la forza che la carta esercita sull'altra carta)
La carta è posata su una "parete" (l'altra carta) a sua volta inclinata dell'angolo 90-alfa. E' UN Pò come se una scala fosse poggiata su una parete non perfettamente verticale, ma inclinata. In questo caso che direzione ha la forza che la scala esercita sulla parete? (O la forza che la carta esercita sull'altra carta)
Dipende da come schematizzi la forza, non esiste una regola generale. Come ti ho detto in precedenza credo sia realistico assumere in questo caso che la carta scambi con l'altra carta una forza puramente orizzontale (che sarebbe come se la carta poggiasse su una parete verticale perfettamente liscia senza attrito).
Qualunque altra direzione della forza scambiata diversa dall'orizzontale non è infatti possibile perché le due carte non sarebbero sottoposte a forze simmetriche il che non mi pare realistico.
Qualunque altra direzione della forza scambiata diversa dall'orizzontale non è infatti possibile perché le due carte non sarebbero sottoposte a forze simmetriche il che non mi pare realistico.
Domandfa come fa a sapere che le carte non si scambiano NESSUNA FORZA VERTICALE? DA dove l'ha dedotto? Che direzione ha la forza di reazione in un vincolo "obliquo"?
Mi viene una cosa assurda...sommando i momenti avrei (L = lungezza carta)
$P l/2 \cos \alpha-Tl\cos\alpha-l\sin\alpha F_a-P l/2\cos\alpha+Tl\cos\alpha+l\sin\alpha F_a = 0$ in ogni caso!
E' ovvio che qualcosa non regge...
$P l/2 \cos \alpha-Tl\cos\alpha-l\sin\alpha F_a-P l/2\cos\alpha+Tl\cos\alpha+l\sin\alpha F_a = 0$ in ogni caso!
E' ovvio che qualcosa non regge...
Ecco lo schema che ho usato...
http://img256.imageshack.us/f/cartey0.jpg/
Non capisco ancora perchè la forza di reazione delle due carte sono orizzontali
http://img256.imageshack.us/f/cartey0.jpg/
Non capisco ancora perchè la forza di reazione delle due carte sono orizzontali
Ma come hai scritto quell'equazione?
Hai due coppie, una dovuta alla coppia di forze verticali e una dovuta alla coppia di forze orizzontali che devono dare somma nulla. I momenti da sommare, scelto un polo, sono solo due non capisco da dove vengono tutti quei termini....
EDIT: Considera solo una carta poi, come ti ho detto in precedenza. Se la forza esercitata dall'altra carta non fosse solo orizzontale vedresti che, dato che la carta esercita sull'altra carta una forza opposta ti accorgeresti che ciascuna carta presa a se sarebbe sottoposta a un insieme di forze non perfettamente identico il che non può essere.
Hai due coppie, una dovuta alla coppia di forze verticali e una dovuta alla coppia di forze orizzontali che devono dare somma nulla. I momenti da sommare, scelto un polo, sono solo due non capisco da dove vengono tutti quei termini....
EDIT: Considera solo una carta poi, come ti ho detto in precedenza. Se la forza esercitata dall'altra carta non fosse solo orizzontale vedresti che, dato che la carta esercita sull'altra carta una forza opposta ti accorgeresti che ciascuna carta presa a se sarebbe sottoposta a un insieme di forze non perfettamente identico il che non può essere.
Guarda l'immagine!!!
Rileggi quello che ti ho scritto dall'inizio e attentamente. Tutte le risposte sono lì.
E' meglio che ci sbatti un po' la testa da te prima di avere la soluzione bella e pronta.
E' meglio che ci sbatti un po' la testa da te prima di avere la soluzione bella e pronta.
Non voglio la soluzione bella e pronta...comunque hai capito il ragionamento che ho fatto? Quel triangolo che ho disegnato è la "sezione" delle due carte nel punto centrale...i momenti mi vengono tutti zero a prescindere dal valore dell'attrito...cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
C'è di sbagliato che non puoi applicare le equazioni di equilibrio alle due carte nell'insieme senza considerare il vincolo in cima dove le carte sono in contatto. Sarebbe corretto se in cima le due carte fossero perfettamente saldate il che non è.
In quello schema infatti se le forze fossero disposte come dici tu le due carte si aprirebbero, o se inverti l'attrito si chiuderebbero.
Rileggi i messaggi precedenti.
In quello schema infatti se le forze fossero disposte come dici tu le due carte si aprirebbero, o se inverti l'attrito si chiuderebbero.
Rileggi i messaggi precedenti.
Ecco io lo sapevo che il maggior problema di comprensione è in quella punta. Le forze della punta si fanno equilibrio o no? Damned prendendo come polo dei momenti il vertica del triangolo è tutto simmetrico!" Bracci uguali, forze a due a due uguali...io non ci capisco piu niente!:(:S:(:S:(
Intanto non riesco a capacitarmi di che forza applica la prima carta alla seconda (e quale a sua volta applica la seconda carta alla prima)...e soprattutto non riesco a capirne la direzione. E soprattutto, il PUNTO da cui si sceglie il polo del momento non deve essere ININFLUENTE? Nel senso che qualunque punto io prenda, i momenti devono essere zero...non so sembra teoricamente giusto ma praticamente sbagliato...
Intanto non riesco a capacitarmi di che forza applica la prima carta alla seconda (e quale a sua volta applica la seconda carta alla prima)...e soprattutto non riesco a capirne la direzione. E soprattutto, il PUNTO da cui si sceglie il polo del momento non deve essere ININFLUENTE? Nel senso che qualunque punto io prenda, i momenti devono essere zero...non so sembra teoricamente giusto ma praticamente sbagliato...
Ho rifatto i calcoli considerando NON tutto il sistrema, bensi una carta sola. Ho trovato il seguente risultato
$-P l/2\cos\alpha+Pl\cos\alpha+F_al\sin\alpha=0\implies F_a=- P/{2\tan\alpha}\implies \mu=- 1/{2\tan\alpha}$.
Is it right?
$-P l/2\cos\alpha+Pl\cos\alpha+F_al\sin\alpha=0\implies F_a=- P/{2\tan\alpha}\implies \mu=- 1/{2\tan\alpha}$.
Is it right?
"newton_1372":
Ho rifatto i calcoli considerando NON tutto il sistrema, bensi una carta sola. Ho trovato il seguente risultato
$-P l/2\cos\alpha+Pl\cos\alpha+F_al\sin\alpha=0\implies F_a=- P/{2\tan\alpha}\implies \mu=- 1/{2\tan\alpha}$.
Is it right?
Adesso è ok!
Anche il resto dei dubbi sono sicuro sei in grado di risolverli ragionando pian piano da te, hai tutte le conoscenze necessarie.
Se hai dubbi specifici poi chiederai.
No mi dispiace i dubbi precedenti non mi entrano in testa proprio!!!:( Non li capisco...mi è capitato anche con altri esercizi che cambiando il polo del momento mi cambia tutto, che non mi viene 0...ma se il sistema è in equilibrio il polo dei momenti è ininfluente, dvrebbe SEMPRE AVERSI $\sum \tau=0$. Inoltre vorrei sapere (che ancora non l'ho capito) come mi determino la forza che una carta esercita sull'altra, e come faccio a determinarne la direzione (intendo nel caso generico, non in questo particolare...
Il risultato infatti non dipende dal polo scelto per i momenti. Fai un po' di prove cambiando polo e, se fai le cose giuste, vedrai che ottieni la stessa cosa sempre.
Per quanto riguarda la forza che si scambiano le carte ti ho spiegato già perché non può che essere solo orizzontale.
L'angolo tra le due carte non incide su questo.
In generale non esistono regole con cui capire le forze che si scambiano due corpi, a volte in casi reali non è possibile schematizzare il tutto con un vincolo semplice (tipo cerniera, carrello ecc).
Per quanto riguarda la forza che si scambiano le carte ti ho spiegato già perché non può che essere solo orizzontale.
L'angolo tra le due carte non incide su questo.
In generale non esistono regole con cui capire le forze che si scambiano due corpi, a volte in casi reali non è possibile schematizzare il tutto con un vincolo semplice (tipo cerniera, carrello ecc).
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