FISICA : corpo in caduta libero con attrito viscoso aria
Ciao,
ho questo problema :
Un corpo in caduta libera ha velocita iniziale $V_0 = 48,30 m/s $,l'aria presenta una resistenza $-kV $ tale che la velocità limite è $5 m/s$,calcolare lo spazio percorso in un tempo di 50 secondi.
So che il moto è un moto di smorzamento ma non saprei proprio come iniziare,come si risolve?
ho questo problema :
Un corpo in caduta libera ha velocita iniziale $V_0 = 48,30 m/s $,l'aria presenta una resistenza $-kV $ tale che la velocità limite è $5 m/s$,calcolare lo spazio percorso in un tempo di 50 secondi.
So che il moto è un moto di smorzamento ma non saprei proprio come iniziare,come si risolve?
Risposte
Intanto trova k. Poi:
Scrivi l'eq differenziale per $v$ usando la II di Newton: $m \dot{v} = F$. Le due forze sono la forza di gravità costante e quella di attrito. Dunque ti ritrovi con un eq LINEARE del prim'ordine disomogenea a coefficienti costanti, e hai una condizione iniziale, dunque puoi ottenere tutto.
Per trovare la soluzione parti prima dall'omogenea (basta togliere la forza di gravità). Dividi a sinistra e a destra per $v$ e riconosci la derivata di $\log(v)$, da qui in poi è facile. Trovi una famiglia di soluzioni esponenziali.
Dopodiché per risolvere tutta l'equazione dobbiamo trovare una soluzione particolare della disomogenea, ma questa è molto semplice: basta prendere una costante (non una a caso, puoi facilmente vedere quale).
Ora sommi le due soluzioni e hai una famiglia ad un parametro di soluzioni per l'eq originale. Finalmente puoi imporre la condizione iniziale su $V_0$.
Una volta che hai la forma di $v(t)$, ottieni la legge oraria $y(t)$ integrando.
Scrivi l'eq differenziale per $v$ usando la II di Newton: $m \dot{v} = F$. Le due forze sono la forza di gravità costante e quella di attrito. Dunque ti ritrovi con un eq LINEARE del prim'ordine disomogenea a coefficienti costanti, e hai una condizione iniziale, dunque puoi ottenere tutto.
Per trovare la soluzione parti prima dall'omogenea (basta togliere la forza di gravità). Dividi a sinistra e a destra per $v$ e riconosci la derivata di $\log(v)$, da qui in poi è facile. Trovi una famiglia di soluzioni esponenziali.
Dopodiché per risolvere tutta l'equazione dobbiamo trovare una soluzione particolare della disomogenea, ma questa è molto semplice: basta prendere una costante (non una a caso, puoi facilmente vedere quale).
Ora sommi le due soluzioni e hai una famiglia ad un parametro di soluzioni per l'eq originale. Finalmente puoi imporre la condizione iniziale su $V_0$.
Una volta che hai la forma di $v(t)$, ottieni la legge oraria $y(t)$ integrando.
@megaempire
Prova a fare quanto suggerito da hamilton. Se vuoi in questa mia vecchia risposta trovi la soluzione dell'equazione differenziale generale che si ottiene considerando la resistenza semplicemente proporzionale alla velocità.
Prova a fare quanto suggerito da hamilton. Se vuoi in questa mia vecchia risposta trovi la soluzione dell'equazione differenziale generale che si ottiene considerando la resistenza semplicemente proporzionale alla velocità.
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