Fisica, cinematica, moto vario
Un oggetto parte da fermo e la sua accelerazione varia nel tempo secondo la legge a=kt. In quanto tempo l'oggetto percorre una distanza L? Dovrebbe risultare: (k=2ms^-3. e L=3m).
Ho Integrando due volte l'accelerazione e ricavato il tempo in funzione di x=L e k, però nel calcolare i valori di L e k ho fatto più volte i calcoli, incartandomi sempre.
Forse bisogna risolverlo usando velocità media e accelerazione media imponendo i valori iniziali =O, ma anche in questo caso arrivo a delle identità oppure a un'espressione che non mi dà soluzione. Qualcuno potrebbe dirmi se almeno l'impostazione è corretta?
Ho Integrando due volte l'accelerazione e ricavato il tempo in funzione di x=L e k, però nel calcolare i valori di L e k ho fatto più volte i calcoli, incartandomi sempre.
Forse bisogna risolverlo usando velocità media e accelerazione media imponendo i valori iniziali =O, ma anche in questo caso arrivo a delle identità oppure a un'espressione che non mi dà soluzione. Qualcuno potrebbe dirmi se almeno l'impostazione è corretta?
Risposte
"WhiteWalker":
Dovrebbe risultare: (k=2ms^-3. e L=3m).?
Non ho ben capito questi sono dati forniti dal testo o sono risultati? Perché avrebbe poco senso nel secondo caso.
Integrando dovresti risolvere l'esercizio senza troppi problemi, posta il tuo procedimento che magari qualcuno scova l'errore
Sono i risultati forniti dal testo! Grazie del consiglio, adesso provo
"WhiteWalker":
Sono i risultati forniti dal testo!
Ma come?! c'è qualcosa che non mi torna... ti mancano tutti i dati allora!! Puoi postare il testo dell'esercizio completo perché non capisco cosa sta succedendo ahahah
Ma perchè vuoi calcolare i valori di k e di L ? I valori sono assegnati dal testo ; la costante k che compare nella formula data per l'accelerazione :
$a =kt$
è una costante con dimensioni $ms^-3$ , perchè moltiplicandola per $t$ deve risultare l'accelerazione in $ms^-2$ . Anche la lunghezza $L$ è assegnata . Tu devi calcolare il tempo impiegato dal corpo a percorrere la distanza assegnata L , con moto accelerato, con accelerazione $a=kt$ , e con le condizioni iniziali date : all'istante iniziale è nullo lo spazio ed è nulla la velocità.
Una prima integrazione ti dà la velocità, in funzione del tempo . Una seconda integrazione ti dà lo spazio.
Le costanti integrazione sono entrambe nulle. E con questo, già ti ho detto tutto.
E mi pare che in quello che hai scritto la soluzione c'è già, visto che $x= L$ .
$a =kt$
è una costante con dimensioni $ms^-3$ , perchè moltiplicandola per $t$ deve risultare l'accelerazione in $ms^-2$ . Anche la lunghezza $L$ è assegnata . Tu devi calcolare il tempo impiegato dal corpo a percorrere la distanza assegnata L , con moto accelerato, con accelerazione $a=kt$ , e con le condizioni iniziali date : all'istante iniziale è nullo lo spazio ed è nulla la velocità.
Una prima integrazione ti dà la velocità, in funzione del tempo . Una seconda integrazione ti dà lo spazio.
Le costanti integrazione sono entrambe nulle. E con questo, già ti ho detto tutto.
E mi pare che in quello che hai scritto la soluzione c'è già, visto che $x= L$ .
L'esercizio è il 3!
Effettivamente mancano dei dati, ma avendo fornito le soluzioni speravo si potessero ricavare con qualche sostituzione, solo che ho sempre troppe incognite
Hai letto quello che ti ho scritto? Non mancano dati, non ci sono troppe incognite , l'incognita è solo il tempo necessario a percorrere L .
Grazie, effettivamente era poco chiaro con i valori messi a fine testo, ma controllando gli altri esercizi i risultati sono riportati tra parentesi quadre.
Ho dei problemi anche con l'esercizio 4. Riconosco i tipi di moto avendo studiato come si ricava la velocità in funzione della posizione conoscendo la legge oraria. Invece per ricavare la legge oraria conoscendo la velocità in funzione della posizione, devo fare un integrale per sostituzione? In questo caso con cosa sostituisco?
Ho dei problemi anche con l'esercizio 4. Riconosco i tipi di moto avendo studiato come si ricava la velocità in funzione della posizione conoscendo la legge oraria. Invece per ricavare la legge oraria conoscendo la velocità in funzione della posizione, devo fare un integrale per sostituzione? In questo caso con cosa sostituisco?
LA legge oraria non e' altro che la funzione $x= x(t) $ . Per esempio, nel primo caso hai che $v= v_0 = "cost"$ . Cioe' :
$(dx)/(dt) = v_0$ .
Si tratta di integrare questa equazione differenziale. Direi che : $x= v_0t$ dovrebbe andare bene, se poni uguale a zero, anche qui, la costante di integrazione.
$(dx)/(dt) = v_0$ .
Si tratta di integrare questa equazione differenziale. Direi che : $x= v_0t$ dovrebbe andare bene, se poni uguale a zero, anche qui, la costante di integrazione.
Grazie mille, scusa l'ultimo dubbio: nel moto armonico integrando mi risulta, x=(1-w^2t^2)^1/2. Ma da qui come ricavo la legge oraria del moto armonico? So che 1 può essere riscritto come sin^2+cos^2, ma mi sono incartato.
Non sono mai stato bravo a calcolare integrali , quindi di solito faccio ricorso a tavole di integrali o ad integratori in rete . Comunque , analizzando la formula :
$(dx)/(dt) = omegasqrt(1-x^2)$
e tenuto conto che il testo suggerisce "moto armonico" , mi viene da dire che :
1) prima di tutto, il radicando deve essere $>=0$ , per cui : $-1<=x<=1$ . Questo mi fa pensare che $x$ possa essere una funzione trigonometrica elementare.
2) ponendo :
$x= sen(omegat)$ ( fase iniziale nulla, per semplicità )
ottengo : $ (dx)/(dt) = omega*cos(omegat) = omega sqrt (1-sen^2(omegat) )= omegasqrt(1-x^2) $
e questa è proprio l'eq differenziale data . Perciò la soluzione : $x= sen(omegat)$ , a meno di costanti , la soddisfa.
$(dx)/(dt) = omegasqrt(1-x^2)$
e tenuto conto che il testo suggerisce "moto armonico" , mi viene da dire che :
1) prima di tutto, il radicando deve essere $>=0$ , per cui : $-1<=x<=1$ . Questo mi fa pensare che $x$ possa essere una funzione trigonometrica elementare.
2) ponendo :
$x= sen(omegat)$ ( fase iniziale nulla, per semplicità )
ottengo : $ (dx)/(dt) = omega*cos(omegat) = omega sqrt (1-sen^2(omegat) )= omegasqrt(1-x^2) $
e questa è proprio l'eq differenziale data . Perciò la soluzione : $x= sen(omegat)$ , a meno di costanti , la soddisfa.
La soluzione di Shackle è ovviamente giusta, ma se vuoi un procedimento step-by-step più "meccanico" allora vai di separazione dell variabili (che non è altro che fare quello che ha fatto Shackle):
$$ \frac {dx} {\sqrt{1-x^2}} = \omega dt $$
ponendo $x = sin(y) $ si ottieni $dx = cos(y) dy$ e quindi:
$$ \frac {cos(y) dy} {cos(y)} = \omega dt$$
$$ \int dy = \omega \int dt $$
$$ y = \omega t + C $$
Sostituendo in $x = sin(y) = sin(\omega t + C) $
$$ \frac {dx} {\sqrt{1-x^2}} = \omega dt $$
ponendo $x = sin(y) $ si ottieni $dx = cos(y) dy$ e quindi:
$$ \frac {cos(y) dy} {cos(y)} = \omega dt$$
$$ \int dy = \omega \int dt $$
$$ y = \omega t + C $$
Sostituendo in $x = sin(y) = sin(\omega t + C) $
Giusto chiarimento e completamento , dRic 
! Non ho più tanta dimestichezza con queste cose.
! Non ho più tanta dimestichezza con queste cose.
Grazie mille a entrambi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo