Fisica: centro di massa

[pavonis1]

Trovare il centro di massa di un arco di semicirconferenza con densità lineare omogenea L e raggio R.
Chi mi aiuta?

[Sk_Anonymous]

Usa un trucco, senza fare troppi conti: se prendi un arco uguale e lo attachhi sotto, hai due baricentri lungo lungo un diametro, alla stessa distanza dal centro della circonferenza, baricentro dell'intero corpo. Ora e' banale trovare la distanza, impostando la definzione di baricentro.

Luca.

[pavonis1]

Scusa ma non ho capito. A questo punto i baricentri dei due archi di semicirconferenza potrebbero stare lungo tutto il diametro, no?

[Sk_Anonymous]

Poiche' la figura ha un asse di simmetria (l'asse y)
allora il c.m. sta su quest'asse ad una distanza y dal
diametro pari a:
y=2r/pi (pi=p-greco)
A questo risultato si puo' giungere in piu' modi.
Te ne indico 2 (che ,pero',sono sostanzialmente equivalenti):

1°)Applico il teorema di Guldino:l'area descritta
da una curva in un giro completo attorno ad un asse
e' uguale alla circonferenza descritta dal baricentro
per la lunghezza della curva.
In questo caso risulta:
[2*pi*y(cm)]*[pi*r]=4*pi*r^2--->y(cm)=2*r/pi C.V.D.

2°) tramite la formula:
y(cm)=integrale{[(A,B)]{y*ds)}/l
dove A e B sono gli estremi della curva ,y e' l'ordinata
del generico punto della curva ,ds e' l'elemento d'arco
della stessa ed l la sua lunghezza.
In questo caso,usando coordinate polari, si ha:
y(cm)=int[(0,pi){(r*sin(teta)*r*d(teta)}/(pi*r)=
=r/pi*{[-cos(teta)][0,pi]}=2*r/pi.
La notazione e' un po' infelice ma non si puo'
fare di meglio.Ti avverto inoltre che ho
semplificato al massimo l'enunciato di Guldino
che nella sua forma originaria risulta piu' complesso.
karl.

[pavonis1]

Ok grazie mille