Fisica, carrucole, paranco e tensioni delle corde
Buonasera a tutti..
provavo a svolgere qualche esercizio (del libro Fondamenti di Fisica di Halliday e Resnick 5a edizione) sulle carrucole e sistemi di carrucole..
ho nello specifico problemi a capire quanto valgono le tensioni nei diversi casi.
La teoria parla chiaro..quando tiro una massa in orizzontale ad es. verso destra, si genera una tensione nel verso opposto con punto d'applicazione
proprio quello in cui tiro la corda, e un'altra nel verso di trascinamento dell'oggetto.
Sembra cosi' facile eppure negli esercizi non riesco ad applicare questo principio.
Perche' nelle paranco la tensione della fune si dimezza?
Se avete il mio stesso libro potreste dare un'occhiata magari a pag.127 capitolo 7.
Qualsiasi consiglio e' ben accetto, qualche link o vostro appunto anche..
nel caso sono disposto anche a lasciarvi il mio indirizzo e-mail per qualche allegato.
Vi ringrazio di cuore e spero di riuscire a capire una volta per tutte come funzionano queste benedette carrucole.
provavo a svolgere qualche esercizio (del libro Fondamenti di Fisica di Halliday e Resnick 5a edizione) sulle carrucole e sistemi di carrucole..
ho nello specifico problemi a capire quanto valgono le tensioni nei diversi casi.
La teoria parla chiaro..quando tiro una massa in orizzontale ad es. verso destra, si genera una tensione nel verso opposto con punto d'applicazione
proprio quello in cui tiro la corda, e un'altra nel verso di trascinamento dell'oggetto.
Sembra cosi' facile eppure negli esercizi non riesco ad applicare questo principio.
Perche' nelle paranco la tensione della fune si dimezza?
Se avete il mio stesso libro potreste dare un'occhiata magari a pag.127 capitolo 7.
Qualsiasi consiglio e' ben accetto, qualche link o vostro appunto anche..
nel caso sono disposto anche a lasciarvi il mio indirizzo e-mail per qualche allegato.
Vi ringrazio di cuore e spero di riuscire a capire una volta per tutte come funzionano queste benedette carrucole.
Risposte
"Daniele515":
Perche' nelle paranco la tensione della fune si dimezza?
Intendi forse chiedere perché la tensione della fune che passa nella gola di una carrucola è metà di quella della fune che sostiene la carrucola stessa? se la domanda è questa la risposta è banale: prova a fare il bilancio delle forze delle 3 funi che interessano la carrucola e imponi la condizione che la carrucola soggetta a queste forze stia ferma (il bilancio vale anche se la carrucola si muove, perché di solito si suppone che abbia massa trascurabile).
Antonio innanzitutto grazie per la risposta,
cmq ho problemi in generale con le carrucole..sai x caso se si possono inserire immagini? cosi' magari faccio uno schemino in paint...
e ti spiego come di solito ragiono per risolvere questi problemi.
cmq ho problemi in generale con le carrucole..sai x caso se si possono inserire immagini? cosi' magari faccio uno schemino in paint...
e ti spiego come di solito ragiono per risolvere questi problemi.
"Daniele515":
Antonio innanzitutto grazie per la risposta,
cmq ho problemi in generale con le carrucole..sai x caso se si possono inserire immagini? cosi' magari faccio uno schemino in paint...
e ti spiego come di solito ragiono per risolvere questi problemi.
Chi è Antonio? sei tu o sei Daniele? io mi chiamo Flavio...
Vabbè...
Devi fare hosting della tua immagine su un sito che ti ospita gratuitamente, come ad esempio
http://img89.imageshack.us/
Poi copi il link della tua immagine e lo inserisci nel tuo post (il link deve essere compreso tra )
Flavio la mail che mi avvisava della tua risposta mi e' stata inviata da Antonio Bernardo..bho
cmq il mio scanner non sta funzionando in questo momento pero' se hai tempo e voglia
potresti scrivere carrucola su wikipedia e ti appariranno alcuni disegni di sistemi di carrucole..
mi piacerebbe capire con diagrammi delle forze come si fanno a ottenere quei valori di tensioni nelle corde
ti ringrazio anticipatamente
cmq il mio scanner non sta funzionando in questo momento pero' se hai tempo e voglia
potresti scrivere carrucola su wikipedia e ti appariranno alcuni disegni di sistemi di carrucole..
mi piacerebbe capire con diagrammi delle forze come si fanno a ottenere quei valori di tensioni nelle corde
ti ringrazio anticipatamente
Ma guarda che è più semplice di quanto sembri.
Se tu consideri una carrucola in ambiente statico (o anche in ambiente dinamico, ma qui allora è necessario aggiungere l'ipotesi che la massa della carrucola sia trascurabile), hai un oggetto che da un lato ha una fune attaccata al perno centrale, dalla parte opposta hai 2 rami della stessa fune passata attraverso la gola della carrucola.
Prova a isolare da ogni disegno questi elementi.
La regola è semplicissima: la tensione sulla fune centrale è il doppio della fune che passa per la gola della carrucola.
E questo si spiega facilmente perché la statica della carrucola richiede che la somma delle forze che tirano da una parte sia uguale alla somma delle forze che tirano dall'altra parte. Allora la tensione sulla fune che regge il perno deve essere per forza la somma delle tensioni che agiscono sui due rami della fune che passa nella gola. Siccome però le due tensioni ultime devono essere uguali (altrimenti la carrucola si metterbbe a ruotare invece di essere ferma), allora ciascuna di esse è la metà di quella della fune che regge il perno.
Quando hai un sistema di carrucole anche più complicato e non esistono, ad esempio, funi centrali che reggono il perno, basta che tu segua comunque un metodo preciso e vedrai che risolvi.
Parti da una fune qualsiasi (per comodità ti consiglio quella che tiene in mano l'uomo che tira); assegna a questa tensione il valore incognito T. Ebbene, lungo quella fune il valore della tensione sarà sempre T.
Fatto questo, per trovare tensioni incognite traccia ai due estremi di qualsiasi gruppo di oggetti due sezioni. Somma le tensioni afferenti ogni sezione. Le due somme devono essere uguali.
A titolo di esempio prendo il caso più complicato che appare sulla pagina di wikipedia che mi hai segnalato e faccio quello che ti ho appena descritto. Poiché la tensione sulla sezione più in basso è 100 N, anche le 4 T valgono 100 N, dunque ogni T vale 25 N.
Se tu consideri una carrucola in ambiente statico (o anche in ambiente dinamico, ma qui allora è necessario aggiungere l'ipotesi che la massa della carrucola sia trascurabile), hai un oggetto che da un lato ha una fune attaccata al perno centrale, dalla parte opposta hai 2 rami della stessa fune passata attraverso la gola della carrucola.
Prova a isolare da ogni disegno questi elementi.
La regola è semplicissima: la tensione sulla fune centrale è il doppio della fune che passa per la gola della carrucola.
E questo si spiega facilmente perché la statica della carrucola richiede che la somma delle forze che tirano da una parte sia uguale alla somma delle forze che tirano dall'altra parte. Allora la tensione sulla fune che regge il perno deve essere per forza la somma delle tensioni che agiscono sui due rami della fune che passa nella gola. Siccome però le due tensioni ultime devono essere uguali (altrimenti la carrucola si metterbbe a ruotare invece di essere ferma), allora ciascuna di esse è la metà di quella della fune che regge il perno.
Quando hai un sistema di carrucole anche più complicato e non esistono, ad esempio, funi centrali che reggono il perno, basta che tu segua comunque un metodo preciso e vedrai che risolvi.
Parti da una fune qualsiasi (per comodità ti consiglio quella che tiene in mano l'uomo che tira); assegna a questa tensione il valore incognito T. Ebbene, lungo quella fune il valore della tensione sarà sempre T.
Fatto questo, per trovare tensioni incognite traccia ai due estremi di qualsiasi gruppo di oggetti due sezioni. Somma le tensioni afferenti ogni sezione. Le due somme devono essere uguali.
A titolo di esempio prendo il caso più complicato che appare sulla pagina di wikipedia che mi hai segnalato e faccio quello che ti ho appena descritto. Poiché la tensione sulla sezione più in basso è 100 N, anche le 4 T valgono 100 N, dunque ogni T vale 25 N.
Grazie..il tuo e' un buon metodo infatti riesco a trovarmi e a risolvere tutti i casi di wikipedia..
e se ti chiedessi di dare un'occhiata a questo link http://img26.imageshack.us/my.php?image=img001vl4.jpg dove ho scannerizzato
due esercizi che vorrei risolvere con il diagramma delle forze..nel secondo poi non credo che le due funi possano avere tensioni uguali visto che
hanno appese masse diverse..
Tu da dove le hai studiate le carrucole? Mi puoi consigliare anche qualche bel libro? grazie
e se ti chiedessi di dare un'occhiata a questo link http://img26.imageshack.us/my.php?image=img001vl4.jpg dove ho scannerizzato
due esercizi che vorrei risolvere con il diagramma delle forze..nel secondo poi non credo che le due funi possano avere tensioni uguali visto che
hanno appese masse diverse..
Tu da dove le hai studiate le carrucole? Mi puoi consigliare anche qualche bel libro? grazie
"Daniele515":
Grazie..il tuo e' un buon metodo infatti riesco a trovarmi e a risolvere tutti i casi di wikipedia..
e se ti chiedessi di dare un'occhiata a questo link http://img26.imageshack.us/my.php?image=img001vl4.jpg dove ho scannerizzato
due esercizi che vorrei risolvere con il diagramma delle forze..nel secondo poi non credo che le due funi possano avere tensioni uguali visto che
hanno appese masse diverse..
Prima di tutto un consiglio: perché su ogni tratto di fune scrivi 2 volte la T? fai confusione così! si sa bene che la T agisce lungo la corda in entrambi i versi, non occorre scriverla due volte!
L'esercizio 1 è sbagliato. Prendi la carrucola di sinistra attaccata al soffitto: se fai le 2 sezioni, una sotto e una sopra di lei, ti accorgi che sulla sezione bassa agiscono 2 funi ciascuna con T, dunque la corda che collega la carrucola al soffitto deve avere una tensione 2T!!! Analogamente la carrucola di destra. Fai le due sezioni sotto e sopra la carrucola. La sezione sopra ha 2 corde che tirano T ciascuna, dunque la sezione sotto per bilanciarle deve avere 2T!!!
L'esercizio 2 è molto più complicato perché è un esercizio di dinamica, poiché le masse si muovono. E' un po' prematuro parlarne se prima sbagli gli esercizi di statica!
Comunque ti do qualche indicazione.
Prima regola: la tensione della corda che tiene la carrucola è sempre 2T rispetto alle tensioni T delle corde sottostanti;
Seconda regola: la tensione T di ogni fune che sostiene una massa è uguale alla forza peso della massa cui è attaccata a cui devi però aggiungere il prodotto $ma$, assumendo per l'accelerazione verso positivo nel verso in cui la corda "tira" la massa.
Nel caso del tuo esercizio:
La tensione della fune che sostiene P3 è: $T_3=m_3(g+a_3)$ (a3 verso l'alto)
La tensione della fune che sostiene P2 è $T_2=m_2(g+a_2)$ (a2 verso l'alto)
La tensione della fune che trascina P1 è: $T_1=m_1a_1$ (a1 verso destra)
Ora occorre mettere in relazione le tensioni e le accelerazioni tra loro.
Tra le tensioni valgono le seguenti relazioni: $T_2=T_3$ e $T_1=2T_2$
Tra le accelerazioni vale la seguente: $-a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$
Risolvendo mi risulta così:
$T_3=T_2=\frac{T_1}{2}=\frac{60}{37}g$
$a_3=-\frac{17}{37}g$ (negativa, quindi verso il basso)
$a_2=-\frac{7}{37}g$ (negativa, quindi verso il basso)
$a_1=\frac{12}{37}g$ (positiva, verso destra)
"Daniele515":
Tu da dove le hai studiate le carrucole? Mi puoi consigliare anche qualche bel libro? grazie
sono l'ultimo al mondo a poter rispondere a questa domanda, le ho studiate quasi 40 anni fa!
(sono un vecchio ingegnere, ma non dirlo in giro...ssssssh!
)
Flavio mi spieghi perche' se ho due funi con 2 masse attaccate diverse ottengo la stessa tensione sulla corda?
Comunque questo esercizio l'avevo trovato da internet ora faccio l`upload della soluzione perche' non viene uguale!
Non ci capisco niente il tuo ragionamento mi sembra giusto quindi penso sia la dispensa sbagliata...o no?
immagine n.1: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 220tn9.jpg
immagine n.2: http://img11.imageshack.us/my.php?image=27521368ur2.jpg
immagine n.3: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 925nu2.jpg
immagine n.4: http://img4.imageshack.us/my.php?image=65851392vj5.jpg
immagine n.5: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 160pw1.jpg
Comunque questo esercizio l'avevo trovato da internet ora faccio l`upload della soluzione perche' non viene uguale!
Non ci capisco niente il tuo ragionamento mi sembra giusto quindi penso sia la dispensa sbagliata...o no?
immagine n.1: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 220tn9.jpg
immagine n.2: http://img11.imageshack.us/my.php?image=27521368ur2.jpg
immagine n.3: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 925nu2.jpg
immagine n.4: http://img4.imageshack.us/my.php?image=65851392vj5.jpg
immagine n.5: http://img102.imageshack.us/my.php?imag ... 160pw1.jpg
Caro Daniele, in effetti lo svolgimento del tuo libro mi lascia alquanto perplesso. Prendi ad esempio nel file n° 4 il sistema in alto, e considera ad esempio l'equazione $m_2(a_2+a_1)=T-m_2g$.
Come dichiarato nel file n°3, i valori delle accelerazioni sono assoluti, cioè riferiti a un sistema inerziale.
Se l'equazione fosse giusta dovrebbe essere vera per ogni valore delle accelerazioni, giusto?
Ebbene allora facciamo il caso $a_2=0$, cioè ipotizziamo che la massa 2 sia ferma in un sistema inerziale.
Allora tutti sanno che per tenere fermo un corpo di massa $m_2$ in un campo gravitazionale $g$, la corda che lo sostiene deve avere tensione $T=m_2g$.
Se metto $a_2=0$ nella formula di cui sopra esce invece fuori $T=m_2(g+a_1)$, risultato che mi pare sbagliato.
Pensaci un po' anche tu e dimmi che te ne pare.
Ciao
Come dichiarato nel file n°3, i valori delle accelerazioni sono assoluti, cioè riferiti a un sistema inerziale.
Se l'equazione fosse giusta dovrebbe essere vera per ogni valore delle accelerazioni, giusto?
Ebbene allora facciamo il caso $a_2=0$, cioè ipotizziamo che la massa 2 sia ferma in un sistema inerziale.
Allora tutti sanno che per tenere fermo un corpo di massa $m_2$ in un campo gravitazionale $g$, la corda che lo sostiene deve avere tensione $T=m_2g$.
Se metto $a_2=0$ nella formula di cui sopra esce invece fuori $T=m_2(g+a_1)$, risultato che mi pare sbagliato.
Pensaci un po' anche tu e dimmi che te ne pare.
Ciao
"Falco5x":
[quote="Daniele515"]Antonio innanzitutto grazie per la risposta,
Chi è Antonio? sei tu o sei Daniele? io mi chiamo Flavio...
[/quote]
E' Antonio Bernardo, il "capo" di questo forum e del sito "Matematicamente.it".
Le mail che avvisano della risposta ad un topic hanno lui come "mittente"
Flavio non ti so dire se e' giusto o sbagliato ma penso che se a2 fosse zero significa che tutto e' fermo cosicche' anche a1=0...
cmq ho chiesto al mio prof.re di fisica (non si ricorda che ho gia' passato l'esame) e mi ha dato la seguente risposta:
chiama T' la tensione su M1,
T' e' anche quella sulla carrucola,
e T2 T3 sono le tensioni sulla carrucola verso M2 e M3.
All'equilibrio, sono tutti fermi come CM, e si ha su M1: -Fa+T'=0 sulla carrucola +T'-T2-T3=0 e dato che c'e' rotazione devi ancora aggiungere le equaz. per M2 e M3:
T2-M2g=M2a2
T3-M3g=M3a3
condiz. rotolamento:
a3=-a2 a3<0 e a2>0
e questo e' tutto!
cmq ho chiesto al mio prof.re di fisica (non si ricorda che ho gia' passato l'esame) e mi ha dato la seguente risposta:
chiama T' la tensione su M1,
T' e' anche quella sulla carrucola,
e T2 T3 sono le tensioni sulla carrucola verso M2 e M3.
All'equilibrio, sono tutti fermi come CM, e si ha su M1: -Fa+T'=0 sulla carrucola +T'-T2-T3=0 e dato che c'e' rotazione devi ancora aggiungere le equaz. per M2 e M3:
T2-M2g=M2a2
T3-M3g=M3a3
condiz. rotolamento:
a3=-a2 a3<0 e a2>0
e questo e' tutto!
"Daniele515":
Flavio non ti so dire se e' giusto o sbagliato ma penso che se a2 fosse zero significa che tutto e' fermo cosicche' anche a1=0...
No, $a_1$ e $a_2$ in quella equazione sono indipendenti, se l'equazione fosse vera dovrebbe avere validità generale. Tu prova a immaginare che la carrucola scenda (perché $a_1$ è diversa da zero) e nel frattempo la corda nella gola della carrucola scorra avvicinando la carrucola a $m_2$ in modo che i due movimenti si compensino perfettamente e $m_2$ resti ferma nel sistema assoluto. Ebbene in queste condizioni la tensione della corda deve essere $T=m_2g$, mentre secondo il tuo libro sarebbe $T=m_2(g+a_1)$, cosa assurda perchè altrimenti la tensione T dipenderebbe dal moto della carrucola, mentre invece essendo dettata soltanto dal moto assoluto di $m_2$ non deve dipendere da $a_1$ ma solo da $g$ e da $a_2$.
"Daniele515":
cmq ho chiesto al mio prof.re di fisica (non si ricorda che ho gia' passato l'esame) e mi ha dato la seguente risposta:
chiama T' la tensione su M1,
T' e' anche quella sulla carrucola,
e T2 T3 sono le tensioni sulla carrucola verso M2 e M3.
All'equilibrio, sono tutti fermi come CM, e si ha su M1: -Fa+T'=0 sulla carrucola +T'-T2-T3=0 e dato che c'e' rotazione devi ancora aggiungere le equaz. per M2 e M3:
T2-M2g=M2a2
T3-M3g=M3a3
condiz. rotolamento:
a3=-a2 a3<0 e a2>0
e questo e' tutto!
Come vedi il tuo prof. mi dà ragione, perché dice T2-M2g=M2a2 che come noterai non dipende da $a_1$!
Infatti se poni $a_2=0$ in questa relazione salta fuori $T_2=m_2g$, esattamente come ho detto io.
Tranquillo, la soluzione giusta è come l'ho impostata io ieri.
Per altri versi però forse non hai capito tutto quello che il prof. ti ha detto, intanto perché si dovrebbe aggiungere che $T_2=T_3$ (o forse il prof. affrettatamente non ha notato che la carrucola ha massa 0...), e poi perché la relazione $a_3=-a_2$ non è vera nel sistema assoluto, mentre invece lo sarebbe nel sistema relativo solidale col perno della carrucola... Insomma così con questa spiegazione anziché diminuire la confusione il prof ha forse rischiato di aumentarla...
Anch'io del resto ho le mie difficoltà a farmi capire da te, perché in un forum non è facile spiegare bene le cose; a quattr'occhi e con un pezzo di carta davanti sarebbe tutta un'altra storia.
Ciao.
F.
Flavio..guarda che ore sono!!! sono le 02.15 e ho risolto appena adesso l'esercizio!!!!!
Vado a letto tutto gasato tra un po'!!
Ho dato un'occhiata su wikipedia in inglese (c'e' molto piu' materiale) e digitando pulley me ne sono uscite di pulegge..comunque
l'esercizio l'ho risolto innanzitutto capendo che la fune che teneva le masse 2 e 3 doveva avere tensioni uguali pur reggendo masse diverse..
e in secondo luogo per avere le accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale bisognava impostare le seguente equazioni:
T - Ma*g= - M*(a1+a2) il segno meno al II membro perche' sta cadendo e il termine a1 e' l'accelerazione del blocco 1 che si riperquote sul sistema intero
T - Mb*g= - M*(a1+a3) per il blocco B
....
ci sentiamo presto magari con qualche altro quesito..grazie ciao
Vado a letto tutto gasato tra un po'!!
Ho dato un'occhiata su wikipedia in inglese (c'e' molto piu' materiale) e digitando pulley me ne sono uscite di pulegge..comunque
l'esercizio l'ho risolto innanzitutto capendo che la fune che teneva le masse 2 e 3 doveva avere tensioni uguali pur reggendo masse diverse..
e in secondo luogo per avere le accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale bisognava impostare le seguente equazioni:
T - Ma*g= - M*(a1+a2) il segno meno al II membro perche' sta cadendo e il termine a1 e' l'accelerazione del blocco 1 che si riperquote sul sistema intero
T - Mb*g= - M*(a1+a3) per il blocco B
....
ci sentiamo presto magari con qualche altro quesito..grazie ciao
"Daniele515":
e in secondo luogo per avere le accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale bisognava impostare le seguente equazioni:
T - Ma*g= - M*(a1+a2) il segno meno al II membro perche' sta cadendo e il termine a1 e' l'accelerazione del blocco 1 che si riperquote sul sistema intero
T - Mb*g= - M*(a1+a3) per il blocco B
[size=200]Nein ![/size]
Ascoltami Daniele... io sono un testardo di dimensione galattica quando so di avere ragione, e non posso permettere che ti rimangano angoli bui nella testa.
Ribadisco che il risultato giusto è quello che ho già calcolato in un mio precedente post.
L'ho ricalcolato in 2 modi diversi e torna tutto, sia nel sistema inerziale che in quello relativo accelerato.
Con le carrucole è facile fare casino, e mi sembra che sia il tuo libro che il tuo insegnante, e forse anche Wikipedia, abbiano (involontariamente) contribuito ad aumentare di molto l'entropia dentro la tua testa.
Adesso devo scappare, ma appena ho un attimo di tempo ti descrivo puntualmente entrambi i metodi che si possono seguire e ti faccio vedere che [size=150]entrambi convergono verso la medesima soluzione, che è appunto quella che ho già trovato[/size].
Dammi solo un po' di tempo, ti prometto di farlo in giornata.
Ciao.
"Falco5x":
Nel caso del tuo esercizio:
La tensione della fune che sostiene P3 è: $T_3=m_3(g+a_3)$ (a3 verso l'alto)
La tensione della fune che sostiene P2 è $T_2=m_2(g+a_2)$ (a2 verso l'alto)
La tensione della fune che trascina P1 è: $T_1=m_1a_1$ (a1 verso destra)
Ora occorre mettere in relazione le tensioni e le accelerazioni tra loro.
Tra le tensioni valgono le seguenti relazioni: $T_2=T_3$ e $T_1=2T_2$
Tra le accelerazioni vale la seguente: $-a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$
Risolvendo mi risulta così:
$T_3=T_2=\frac{T_1}{2}=\frac{60}{37}g$
$a_3=-\frac{17}{37}g$ (negativa, quindi verso il basso)
$a_2=-\frac{7}{37}g$ (negativa, quindi verso il basso)
$a_1=\frac{12}{37}g$ (positiva, verso destra)
Flavio ciao..
sono d'accordo con tutte le tue equazioni tranne che per l'ultima..
dici che $-a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$, pero' se provi a combinare le prime 2 equazioni e sommare membro a membro ottieni
l'accelerazione $a1=m_2/m_1(g+a_2) + m_3/m_1(g+a_3)$ convieni con me che c'e' qualcosa che non va?
Puoi spiegarmi bene come ottieni questa relazione? $-a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$
Come hai notato anche io sono molto testardo..
e fin quando non mi dimostrerai tutto matematicamente non ti potro' credere
Sono contento che tu sia testardo, la voglia di capire davvero è un bene prezioso che non tutti possiedono.
No. Se sostituisci i valori ti accorgi che tutto quadra.
Sì.
Considera la figura sottostante, dove ho rappresentato una carrucola:
Scrivo le equazioni delle coordinate, tenendo presente che il tratto di corda che va da B a C girando intorno alla carrucola è di lunghezza costante $l$, come pure è costante $r$, il raggio della carrucola.
$ x_B = x_D + d + b $
$ x_C = x_D + d + c $
$ b + c + \pi r = l $
Sommando le prime due membro a membro:
$ x_B + x_C = 2x_D + 2d + b + c = 2x_A + 2d + l - \pi r $
Derivando due volte rispetto al tempo spariscono i pezzi costanti e resta la relazione cercata
$ v_B + v_C = 2v_D $
$ a_B + a_C = 2a_D $
Tieni presente che tutti i versi sono nella direzione dell'asse x. Se invertiamo i versi delle accelerazioni B e C, allora compare il segno meno, come nella relazione che ti avevo presentato.
"Daniele515":
l'accelerazione $a1=m_2/m_1(g+a_2) + m_3/m_1(g+a_3)$ convieni con me che c'e' qualcosa che non va?
No. Se sostituisci i valori ti accorgi che tutto quadra.
"Daniele515":
Puoi spiegarmi bene come ottieni questa relazione? $-a_1=\frac{a_2+a_3}{2}$
Sì.
Considera la figura sottostante, dove ho rappresentato una carrucola:
Scrivo le equazioni delle coordinate, tenendo presente che il tratto di corda che va da B a C girando intorno alla carrucola è di lunghezza costante $l$, come pure è costante $r$, il raggio della carrucola.
$ x_B = x_D + d + b $
$ x_C = x_D + d + c $
$ b + c + \pi r = l $
Sommando le prime due membro a membro:
$ x_B + x_C = 2x_D + 2d + b + c = 2x_A + 2d + l - \pi r $
Derivando due volte rispetto al tempo spariscono i pezzi costanti e resta la relazione cercata
$ v_B + v_C = 2v_D $
$ a_B + a_C = 2a_D $
Tieni presente che tutti i versi sono nella direzione dell'asse x. Se invertiamo i versi delle accelerazioni B e C, allora compare il segno meno, come nella relazione che ti avevo presentato.
Come promesso, inserisco lo studio completo del problema propostomi da Daniele, risolto in due modi diversi.
Per calcolare le accelerazioni delle tre masse di figura si può procedere in due modi. Il primo modo consiste nel lavorare nel sistema inerziale assoluto, il secondo modo consiste nel lavorare nel sistema accelerato che trasla verso il basso con accelerazione identica a quella della carrucola mobile.
Calcolo nel sistema inerziale (fig. 1)
Ogni massa è soggetta soltanto a 2 forze: la forza peso e la tensione della corda che la traina. Dunque ogni accelerazione dipende soltano da queste due componenti ed è completamente indipendente da quanto accade nel resto del sistema.
I valori di accelerazione rappresentati in figura e calcolati con questo metodo rappresentano dunque valori assoluti (riferiti dunque a sistema fisso, o inerziale).
Tra le accelerazioni sussiste una relazione che ho ampiamente discusso in un post precedente.
Le tensioni delle corde poi non sono tra loro indipendenti, poiché la corda che traina la massa 1 ha tensione doppia rispetto alle corde che trainano le masse 2 e 3, che tra loro sono identiche (essendo le carrucole prive di massa).
Detto ciò è possibile scrivere le relazioni:
$ T_2 = m_2g + m_2a_2 $
$ T_3 = m_3g + m_3a_3 $
$ T_2 = T_3 $
$ T_1 = m_1a_1 $
$ T_1 = T_2 + T_3 $
$ - 2a_1 = a_2 + a_3 $
Risulta :
$ a_2 = g\frac{m_1m_3 - m_1m_2 - 4m_3m_2}{m_1m_2 + 4m_3m_2 + m_1m_3} $
$ a_2 = - \frac{7}{37}g $
$ T_2 = T_3 = \frac{T_1}{2} = 2g - \frac{14}{37}g = \frac{60}{37}g $
$ a_3 = \frac{T_3}{m_3} - g = - \frac{17}{37}g $
$ a_1 = \frac{ - a_2 - a_3}{2} = \frac{12}{37}g $
Calcolo nel sistema accelerato (fig. 2)
Per un noto principio di equivalenza un sistema accelerato con accelerazione $a$ può essere studiato come se fosse inerziale, aggiungendo però a tutte le masse un influsso pseudo-gravitazionale di valore $-a$.
Con questa unica avvertenza il caso si può ricondurre a quello precedente , con queste varianti:
1. i valori di accelerazione delle masse 2 e 3 sono adesso relativi al sistema e vengono indicati come $a_{2r}$ e $a_{3r}$. Tra essi sussiste la semplice relazione $a_{3r}=- a_{2r}$.
2. il valore della gravità complessiva diventa adesso $g-a_1$, per il principio di equivalenza detto in premessa (l’accelerazione del sistema produce un influsso pseudo-gravitazionale contrario al verso di $g$)
Detto ciò è possibile scrivere le relazioni:
$ T_2 = m_2(g - a_1) + m_2a_{2r} $
$ T_3 = m_3(g - a_1) + m_3a_{3r} $
$ a_{3r} = - a_{2r} $
$ T_2 = T_3 $
$ T_1 = T_2 + T_3 = 2T_2 $
$ T_1 = m_1a_1 $
Risulta :
$ a_{2r} = - a_{3r} = g\frac{m_1m_3 - m_1m_2}{m_1m_2 + m_1m_3 + 4m_2m_3} = \frac{5}{37}g $
$ a_1 = \frac{2m_2g + 2m_2a_{2r}}{m_1 + 2m_2} = \frac{12}{37}g $
Confronto tra i due metodi.
E’ facile verificare che tra il sistema di riferimento assoluto e il sistema di riferimento relativo valgono le seguenti relazioni:
$a_2=a_{2r}-a_1$
$a_3=a_{3r}-a_1$
($a_1$ invece è già un valore assoluto, poiché è calcolata in un sistema inerziale)
da cui:
$a_2=\frac{5}{37}g - \frac{12}{37}g =- \frac{7}{37}g $
$a_3=-\frac{5}{37}g - \frac{12}{37}g =- \frac{17}{37}g $
L’identità dei valori assoluti trovati con i due metodi conferma la correttezza dei metodi utilizzati.
Per calcolare le accelerazioni delle tre masse di figura si può procedere in due modi. Il primo modo consiste nel lavorare nel sistema inerziale assoluto, il secondo modo consiste nel lavorare nel sistema accelerato che trasla verso il basso con accelerazione identica a quella della carrucola mobile.
Calcolo nel sistema inerziale (fig. 1)
Ogni massa è soggetta soltanto a 2 forze: la forza peso e la tensione della corda che la traina. Dunque ogni accelerazione dipende soltano da queste due componenti ed è completamente indipendente da quanto accade nel resto del sistema.
I valori di accelerazione rappresentati in figura e calcolati con questo metodo rappresentano dunque valori assoluti (riferiti dunque a sistema fisso, o inerziale).
Tra le accelerazioni sussiste una relazione che ho ampiamente discusso in un post precedente.
Le tensioni delle corde poi non sono tra loro indipendenti, poiché la corda che traina la massa 1 ha tensione doppia rispetto alle corde che trainano le masse 2 e 3, che tra loro sono identiche (essendo le carrucole prive di massa).
Detto ciò è possibile scrivere le relazioni:
$ T_2 = m_2g + m_2a_2 $
$ T_3 = m_3g + m_3a_3 $
$ T_2 = T_3 $
$ T_1 = m_1a_1 $
$ T_1 = T_2 + T_3 $
$ - 2a_1 = a_2 + a_3 $
Risulta :
$ a_2 = g\frac{m_1m_3 - m_1m_2 - 4m_3m_2}{m_1m_2 + 4m_3m_2 + m_1m_3} $
$ a_2 = - \frac{7}{37}g $
$ T_2 = T_3 = \frac{T_1}{2} = 2g - \frac{14}{37}g = \frac{60}{37}g $
$ a_3 = \frac{T_3}{m_3} - g = - \frac{17}{37}g $
$ a_1 = \frac{ - a_2 - a_3}{2} = \frac{12}{37}g $
Calcolo nel sistema accelerato (fig. 2)
Per un noto principio di equivalenza un sistema accelerato con accelerazione $a$ può essere studiato come se fosse inerziale, aggiungendo però a tutte le masse un influsso pseudo-gravitazionale di valore $-a$.
Con questa unica avvertenza il caso si può ricondurre a quello precedente , con queste varianti:
1. i valori di accelerazione delle masse 2 e 3 sono adesso relativi al sistema e vengono indicati come $a_{2r}$ e $a_{3r}$. Tra essi sussiste la semplice relazione $a_{3r}=- a_{2r}$.
2. il valore della gravità complessiva diventa adesso $g-a_1$, per il principio di equivalenza detto in premessa (l’accelerazione del sistema produce un influsso pseudo-gravitazionale contrario al verso di $g$)
Detto ciò è possibile scrivere le relazioni:
$ T_2 = m_2(g - a_1) + m_2a_{2r} $
$ T_3 = m_3(g - a_1) + m_3a_{3r} $
$ a_{3r} = - a_{2r} $
$ T_2 = T_3 $
$ T_1 = T_2 + T_3 = 2T_2 $
$ T_1 = m_1a_1 $
Risulta :
$ a_{2r} = - a_{3r} = g\frac{m_1m_3 - m_1m_2}{m_1m_2 + m_1m_3 + 4m_2m_3} = \frac{5}{37}g $
$ a_1 = \frac{2m_2g + 2m_2a_{2r}}{m_1 + 2m_2} = \frac{12}{37}g $
Confronto tra i due metodi.
E’ facile verificare che tra il sistema di riferimento assoluto e il sistema di riferimento relativo valgono le seguenti relazioni:
$a_2=a_{2r}-a_1$
$a_3=a_{3r}-a_1$
($a_1$ invece è già un valore assoluto, poiché è calcolata in un sistema inerziale)
da cui:
$a_2=\frac{5}{37}g - \frac{12}{37}g =- \frac{7}{37}g $
$a_3=-\frac{5}{37}g - \frac{12}{37}g =- \frac{17}{37}g $
L’identità dei valori assoluti trovati con i due metodi conferma la correttezza dei metodi utilizzati.
Ciao scusate, io e un'amica abbiamo un dubbio! Abbiamo visto l'esercizio1 postato tramite appunti da uno di voi, quello di un corpo collegato a due carrucole e bilanciato da una forza esterna.....sappiamo che la forza deve essere pari a 1/2mg.....peccato che non capiamo perchè, qualcuno ha qualche idea?
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