Fisica 2: problema guscio sferico

[lover1]

Dopo aver superato gli scogli fisica 1 e analisi matematica 1 e 2, ora ricomincia il "bagno di sangue" ( ) con fisica 2.
Il corso è iniziato da poco, ma certi dubbi è meglio toglierseli subito. Ringrazio in anticipo tutti quelli che risponderanno.

" Si consideri una distribuzione di carica statica nel vuoto ( densità costante pari a $\rho$) all'interno di un guscio sferico di raggi R e 2R. Trovare d.d.p tra A ( punto centrale) e B ( sul bordo esterno della distribuzione."

Io la vedo cosi: Teorema di Gauss nelle regioni r
Per R Faccio così: E(r) 4 $\pi$ $r^2$ = $ 1/epsilon (int_()^() dq) $

Il mio problema è proprio la scrittura di questo dq.
dq = $ rho $ dV.
dV dovrebbe essere $ 4pi r'^2 $ che è il differenziale della volumetto di raggio r in quello spazietto. Tuttavia ho problemi a scrivere sia l'espressione della densità sia gli estremi di integrazione. Gli estremi dovrebbero essere r ed R credo.

Potreste aiutarmi?

[Palliit]

Ciao. Personalmente per usare il teorema di Gauss su una sfera di raggio $r$ compreso tra $R$ e $2R$ eviterei di integrare, basta considerare che la carica interna a tale sfera è quella che corrisponde alla densità $\rho$ (che è data ed è costante) per il volume del guscio sferico di raggi interno $R$ ed esterno $r$, calcolabile come $4/3 \pi (r^3-R^3)$.

Dedotto in questo modo il campo elettrico $E(r)$ , considera che la d.d.p. tra il centro $A$ della sfera ed un punto, diciamo $P$, sulla superficie interna del guscio è nulla in quanto per $r
$V_B-V_A=V_B-V_P=-\int_R ^(2R) E(r)dr $

Facendo così a me risulta: $V_B-V_A=(\rho R^2)/(3 \epsilon)$, salvo ovviamente errori miei.
Che soluzione propone il libro?

[lover1]

"Palliit":Ciao. Personalmente per usare il teorema di Gauss su una sfera di raggio $r$ compreso tra $R$ e $2R$ eviterei di integrare, basta considerare che la carica interna a tale sfera è quella che corrisponde alla densità $\rho$ (che è data ed è costante) per il volume del guscio sferico di raggi interno $R$ ed esterno $r$, calcolabile come $4/3 \pi (r^3-R^3)$.

Dedotto in questo modo il campo elettrico $E(r)$ , considera che la d.d.p. tra il centro $A$ della sfera ed un punto, diciamo $P$, sulla superficie interna del guscio è nulla in quanto per $r
$V_B-V_A=V_B-V_P=-\int_R ^(2R) E(r)dr $

Facendo così a me risulta: $V_B-V_A=(\rho R^2)/(3 \epsilon)$, salvo ovviamente errori miei.
Che soluzione propone il libro?

Si, il risultato va bene. Alla fine però, volendo esprire $ rho $, esso è comunque $ 4/3pi R^3 $ ?

[Palliit]

Cosa significa esprimere $rho$ ? E' un dato, è una densità che si suppone nota...

[lover1]

"Palliit":Cosa significa esprimere $rho$ ? E' un dato, è una densità che si suppone nota...

Guarda, credo di non essermi spiegato io. Ti chiedo scusa. Nel caso in cui la densità non fosse costante, cambierebbe il problema (decisamente si)? E come?

[Palliit]

Nel caso la densità fosse variabile (per semplicità ammettiamo sia funzione del solo raggio, $rho(r)$) l'unico cambiamento da apportare sarebbe nel calcolo della carica interna alla sfera per applicare il teorema di Gauss, che a quel punto non si limiterebbe al prodotto tra densità e volume ma andrebbe valutata come integrale: $Q_("int")=int_(R)^r rho(z)4 pi z^2 dz$.

[lover1]

"Palliit":Nel caso la densità fosse variabile (per semplicità ammettiamo sia funzione del solo raggio, $rho(r)$) l'unico cambiamento da apportare sarebbe nel calcolo della carica interna alla sfera per applicare il teorema di Gauss, che a quel punto non si limiterebbe al prodotto tra densità e volume ma andrebbe valutata come integrale: $Q_("int")=int_(R)^r rho(z)4 pi z^2 dz$.

Grazie. Alla fine anche io sono giunto alla tua conclusione, rimaneva però l'indecisione sugli estremi dell'integrale.
Grazie ancora!