[fisica 2] esercizio
Salve, ho svolto questo esercizio e ho alcuni dubbi al riguardo del procedimento. Grazie mille a chi mi risponderà.
Nella figura è rappresentato un guscio sferico isolante di raggio interno $a = 2.00 cm$ ed esterno $b=2.40cm$. Esso presenta una densità di carica $ delta = A/r $ dove A è una costante e r è la generica distanza dal centro del guscio. Inoltre al centro della sua cavità, vuota, è presente una carica puntiforme positiva $ q = 45*10^(-15)C $
IL MIO RAGIONAMENTO
1) Quale deve essere il valore di A, in $C/m$ , affinché il modulo del campo elettrostatico calcolato ad una distanza r, all'interno nel guscio (a ≤ r ≤ b) abbia un valore indipendente da r.
$ Phi = int deltadS = (Q_(TOT)/epsilon_0) $
$ Q =int_r^bp(r)*4pir^2dr = int_r^bA/r*4pir^2dr = A4piint_r^brdr $
$ q=A4pi(b^2/2-r^2/2) => A=q/(4pi(b^2/2-r^2/2)) $
Con il valore di A calcolato nel quesito precedente, calcolare:
2) la carica elettrica totale del guscio, in fC:
$ Q_(TOT)=int_a^bp(r)*4pir^2dr = int_a^bA/r*4pir^2dr = A4piint_a^brdr = A4pi[r^2/2]dr= A4pi[b^2/2-a^2/2] $
3) la differenza di potenziale, in V, tra un punto sulla superficie esterna del guscio (r = b) ed il
punto C, situato a distanza $r_c = 5.00 cm$:
$ V(C)-V(R)= V(R_c)-V(B) = int_(r_c)^b E(r) dr = Q/(4pi*epsilon_0)int_(r_c)^b 1/r dr = Q/(4pi*epsilon_0)lnr|_(r_c)^b=Q/(4pi*epsilon_0)(lnr_c)-ln(b) $
Nella figura è rappresentato un guscio sferico isolante di raggio interno $a = 2.00 cm$ ed esterno $b=2.40cm$. Esso presenta una densità di carica $ delta = A/r $ dove A è una costante e r è la generica distanza dal centro del guscio. Inoltre al centro della sua cavità, vuota, è presente una carica puntiforme positiva $ q = 45*10^(-15)C $
IL MIO RAGIONAMENTO
1) Quale deve essere il valore di A, in $C/m$ , affinché il modulo del campo elettrostatico calcolato ad una distanza r, all'interno nel guscio (a ≤ r ≤ b) abbia un valore indipendente da r.
$ Phi = int deltadS = (Q_(TOT)/epsilon_0) $
$ Q =int_r^bp(r)*4pir^2dr = int_r^bA/r*4pir^2dr = A4piint_r^brdr $
$ q=A4pi(b^2/2-r^2/2) => A=q/(4pi(b^2/2-r^2/2)) $
Con il valore di A calcolato nel quesito precedente, calcolare:
2) la carica elettrica totale del guscio, in fC:
$ Q_(TOT)=int_a^bp(r)*4pir^2dr = int_a^bA/r*4pir^2dr = A4piint_a^brdr = A4pi[r^2/2]dr= A4pi[b^2/2-a^2/2] $
3) la differenza di potenziale, in V, tra un punto sulla superficie esterna del guscio (r = b) ed il
punto C, situato a distanza $r_c = 5.00 cm$:
$ V(C)-V(R)= V(R_c)-V(B) = int_(r_c)^b E(r) dr = Q/(4pi*epsilon_0)int_(r_c)^b 1/r dr = Q/(4pi*epsilon_0)lnr|_(r_c)^b=Q/(4pi*epsilon_0)(lnr_c)-ln(b) $
Risposte
Per quanto riguarda il punto 1), alcune osservazioni:
a) Visto che $\delta$ non può che essere una densità volumetrica, sarebbe strano che \([A]=\text{C/m}\), no?
b) Perché integrare fra $r$ e $b$? ... che non si debba forse da integrare da $a$ a $r$?
c) A deve essere determinata imponendo la costanza del campo elettrico, non l'uguaglianza fra la carica puntiforme e quella racchiusa nella parte di guscio interno o esterno al raggio $r$.
d) Il risultato da te indicato per A non è una costante, come richiesto dal problema.
e) Lascio a te la correzione dei passaggi, in LaTeX, ovviamente, ma troverai che
$A=q/(2\pi a^2)\ \ \text{C}/\text{m}^2$
Per il 2), ok.
Per il 3) direi che viene richiesta la differenza di potenziale $V(b)-V(c)$ e inoltre la relazione da te usata per il campo elettrico, che vai a integrare, non è corretta.
a) Visto che $\delta$ non può che essere una densità volumetrica, sarebbe strano che \([A]=\text{C/m}\), no?
b) Perché integrare fra $r$ e $b$? ... che non si debba forse da integrare da $a$ a $r$?
c) A deve essere determinata imponendo la costanza del campo elettrico, non l'uguaglianza fra la carica puntiforme e quella racchiusa nella parte di guscio interno o esterno al raggio $r$.
d) Il risultato da te indicato per A non è una costante, come richiesto dal problema.
e) Lascio a te la correzione dei passaggi, in LaTeX, ovviamente, ma troverai che
$A=q/(2\pi a^2)\ \ \text{C}/\text{m}^2$
Per il 2), ok.
Per il 3) direi che viene richiesta la differenza di potenziale $V(b)-V(c)$ e inoltre la relazione da te usata per il campo elettrico, che vai a integrare, non è corretta.
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