[Fisica 2] Esercizio 02
Tra le armature di un condensatore piano di area A = 200 $cm^2$, distanti d = 0.8 cm, è posta una lastra di dielettrico con costante dielettrica relativa $ε_r$ = 3.0 e di spessore s = d/2 parallela alle armature. Il condensatore è carico con una carica q = 5.0 µC ed è isolato. Determinare la capacità del condensatore e la variazione di energia elettrostatica quando le armature vengono avvicinate fino ad una distanza fra esse pari a d/2.
Figura 1
Figura 2
La capacità del condensatore dipende dal fatto che il dielettrico sia esteso completamente all'interno del condensatore (Figura 1), oppure tale capacità sarebbe la stessa anche se il dielettrico occupasse solo una parte di area compresa tra le armature del condensatore? (Figura 2)
Detto ciò il testo mi dice che il dielettrico ha uno spessore d/2 e viene inserito tra le armature, quindi siamo nel caso rappresentato nella figura 2?
E' giusto calcolare la capacità utlizzando la seguente formula: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ , trattando il sistema come due condensatori collegati in serie?
Figura 1
Figura 2
La capacità del condensatore dipende dal fatto che il dielettrico sia esteso completamente all'interno del condensatore (Figura 1), oppure tale capacità sarebbe la stessa anche se il dielettrico occupasse solo una parte di area compresa tra le armature del condensatore? (Figura 2)
Detto ciò il testo mi dice che il dielettrico ha uno spessore d/2 e viene inserito tra le armature, quindi siamo nel caso rappresentato nella figura 2?
E' giusto calcolare la capacità utlizzando la seguente formula: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ , trattando il sistema come due condensatori collegati in serie?
Risposte
Dato che la distanza fra le armature del condensatore è $d$ e lo spessore del dielettrico è $d/2$ mi pare chiaro che, inizialmente, si è nella condizione della figura 2. Un modo per risolvere questo tipo di esercizi è proprio quello di considerare il sistema costituito da due condensatori in serie: uno riempito con dielettrico, l'altro col vuoto.
"DelCrossB":
Dato che la distanza fra le armature del condensatore è $d$ e lo spessore del dielettrico è $d/2$ mi pare chiaro che, inizialmente, si è nella condizione della figura 2. Un modo per risolvere questo tipo di esercizi è proprio quello di considerare il sistema costituito da due condensatori in serie: uno riempito con dielettrico, l'altro col vuoto.
Ma il dielettrico secondo te, è attaccato ad una delle due armature A e B oppure è posizionato nel centro tra queste?
Ho il sentore che ai fini dei calcoli che devi fare è ininfluente se lo posizioni addossato ad una delle due armature o al centro. Nel primo caso puoi considerare il sistema composto da soli due capacitori, nel secondo invece da 3.
Sono riuscito a calcolare la capacità del condensatore il cui risultato è: $ 3,31 * 10^-11 $ farad basandomi sulla figura 3 (figura 1 e 2 sbagliate)
Adesso come posso calcolare la variazione di energia potenziale quando le due armature si uniscono fino a distanza d/2?
Ho utilizzato questa formula:
$ \DeltaU = \frac{Q^2}{Capacità} $
sostituendo alla capacità il valore $ 3,31 * 10^-11 $ farad
il risultato già ottenuto è già la soluzione al problema, oppure devo sottrarre tale risultato all'energia U calcolata allo stesso modo sul condensatore di figura 3?
Il valore della capacità (prima della variazione della distanza fra le armature) è $6.6*10^(-11)F$: sembra tu ti sia perso un $2$ per strada. Hai considerato che la distanza fra le armature dei due condensatori in serie è $d/2$?
Per il secondo punto, quando avvicini le armature di fatto sta cambiando la capacità del condensatore ed è questo a determinare una variazione di energia elettrostatica immagazzinata:
$U_i = 1/2 Q^2/C_(i)$
$U_(f) = 1/2 Q^2/C_(f)$
$\DeltaU= U_(f)-U_(i)=(Q^2)/2(1/C_(f)-1/C_(i))$
P.s.: $C_f$ la conosci già.. giusto?
Per il secondo punto, quando avvicini le armature di fatto sta cambiando la capacità del condensatore ed è questo a determinare una variazione di energia elettrostatica immagazzinata:
$U_i = 1/2 Q^2/C_(i)$
$U_(f) = 1/2 Q^2/C_(f)$
$\DeltaU= U_(f)-U_(i)=(Q^2)/2(1/C_(f)-1/C_(i))$
P.s.: $C_f$ la conosci già.. giusto?
Ho seguito i passaggi nell'immagine che ho postato. La capacità da me calcolata è $3,3175 * 10^-11$ farad (questa capacità è riferita alla situazione iniziale, cioè quando i condensatori sono collegati in serie).
Adesso per calcolare l' energia potenziale elettrostatica ho fatto i seguenti passaggi:
1) Ho calcolato la capacità quando le armature del condensatore sono a distanza d/2 cioè quando tra le armature si ha solamente il dielettrico.
2) Poi ho calcolato $ \Delta U_i = \frac{Q^2}{2*Capacità}$ cioè $\frac{(5*10^-6)^2}{2 * 3,3175*10^-11} = 0,376789751 $ Joule (energia calcolata quando la distanza tra le armature del condensatore è uguale a d)
3) Poi ho calcolato $ \Delta U_f = \frac{Q^2}{2*Capacità}$ cioè $\frac{(5*10^-6)^2}{2 * 1,3275*10^-10} = 0,094161958 $ Joule
(energia calcolata quando la distanza tra le armature del condensatore è uguale a d/2)
4) Ed infine calcolo la variazione di energia potenziale elettrostatica tra: $ \Delta U_f $ - $\Delta U_i = -0,282627792 $ Joule
Penso di aver fatto i passaggi correttamente, ma vorrei avere un controllo da parte vostra
Ti ricordo che i due condensatori che consideri hanno distanza fra le armature pari a $d/2$, non $d$: è lì che manca il $2$ di cui ti parlavo. Correggi i conti e vedrai che il risultato è $6.6*10^(-11)F$.
La capacità del condensatore quando rimane solo il dielettrico tra le armature è ovviamente pari alla capacità $C_1$ del primo condensatore.
Per la variazione di energia elettrostatica, i passaggi sono corretti (io avevo dimenticato l'un mezzo, ora ho corretto), però dal momento che utilizzi valori errati di $C_i$ e $C_f$ i conti non tornano: il risultato dovrebbe essere $-0.14J$.
La capacità del condensatore quando rimane solo il dielettrico tra le armature è ovviamente pari alla capacità $C_1$ del primo condensatore.
Per la variazione di energia elettrostatica, i passaggi sono corretti (io avevo dimenticato l'un mezzo, ora ho corretto), però dal momento che utilizzi valori errati di $C_i$ e $C_f$ i conti non tornano: il risultato dovrebbe essere $-0.14J$.
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