Fisica 2 - esercitazione
Ciao a tutti, ho riscontrato qualche perplessità ai quesiti di un problema di Fisica 2. Grazie a coloro che mi aiuteranno.
"Un filo di materiale isolante, con densità di carica lineare $ lambda $ costante, viene piegato fino ad assumere la forma mostrata
in figura (la parte circolare ha raggio R e forma un arco con angolo al centro di $ pi $ , i due tratti rettilinei sono ciascuno di lunghezza R). Calcolare il potenziale elettrico nel punto P (centro della parte circolare)
Successivamente una carica Q puntiforme viene collocata nel punto P. Calcolare l’energia potenziale elettrostatica della carica puntiforme Q.
1) La carica del filo vale
2) Il potenziale nel punto P generato dalla carica di tutto il filo, rispetto all’infinito dove è nullo
3)L’energia potenziale elettrostatica della carica Q quando è posta nel punto P vale, rispetto all’infinito dove è nulla"
A seguire il mio procedimento
1) Essendo la carica distribuita uniformemente sul filo con densità lineare di carica $ lambda $ la carica totale sarà pari a $ lambda $ per la lunghezza del filo. Quindi la carica totale è pari a $ lambda*R(2+pi) $
2) Il potenziale nel punto O è la somma del potenziale dei 2 fili rettilinei (uguali tra di loro, per simmetria) più quello della carica sulla semicirconferenza.
La carica elementare situata nell'elemento d di filo, distante dal punto P è:
$ dq=lambda*dl $
Quindi il potenziale generato dalla carica dq in P è:
$ dV^(filo)=1/(4piepsilon _o)*(dq)/R=1/(4piepsilon _o)*(lambda*dl)/R $
Integrando su ciascun tratto rettilineo si ottiene:
$ V^(filo)=1/(4piepsilon_o)*lambdaint_(R)^(2R) 1/r dl =lambda/(4piepsilon_o)*ln2 $
Calcolare il potenziale in P generato dalla carica distribuita sul filo circolare. La carica elementare situata sull'elemento $ dl=R*dTheta $
$ dq=lambda*dl=lambda*R*dTheta $
Pertanto
$ dV^(semi)=1/(4piepsilon_o)*(dq)/R=1/(4piepsilon_o)*(lambda*R*dTheta)/R=1/(4piepsilon_o)*
(lambda*dTheta) $
Integrando sulla semicirconferenza
$ V^(semi)=int_(0)^(pi) 1/(4piepsilon_o)*lambda*senTheta*dTheta=1/(4piepsilon_o)*lambda*int_(0)^(pi)senThetadTheta=[-cosTheta]_0^pi=(lambda*pi)/4piepsilon_o $
Il potenziale in P è quindi:
$ V_p=2*V^(filo)+V^(semi)=lambda/(4piepsilono)*(2ln2+pi) $
3) L’energia elettrostatica di una carica posta nel punto P si calcola moltiplicando la carica
per il potenziale elettrostatico nel punto P
$ U=Q*lambda/(4piepsilono)*(2ln2+pi) $
"Un filo di materiale isolante, con densità di carica lineare $ lambda $ costante, viene piegato fino ad assumere la forma mostrata
in figura (la parte circolare ha raggio R e forma un arco con angolo al centro di $ pi $ , i due tratti rettilinei sono ciascuno di lunghezza R). Calcolare il potenziale elettrico nel punto P (centro della parte circolare)
Successivamente una carica Q puntiforme viene collocata nel punto P. Calcolare l’energia potenziale elettrostatica della carica puntiforme Q.
1) La carica del filo vale
2) Il potenziale nel punto P generato dalla carica di tutto il filo, rispetto all’infinito dove è nullo
3)L’energia potenziale elettrostatica della carica Q quando è posta nel punto P vale, rispetto all’infinito dove è nulla"
A seguire il mio procedimento
1) Essendo la carica distribuita uniformemente sul filo con densità lineare di carica $ lambda $ la carica totale sarà pari a $ lambda $ per la lunghezza del filo. Quindi la carica totale è pari a $ lambda*R(2+pi) $
2) Il potenziale nel punto O è la somma del potenziale dei 2 fili rettilinei (uguali tra di loro, per simmetria) più quello della carica sulla semicirconferenza.
La carica elementare situata nell'elemento d di filo, distante dal punto P è:
$ dq=lambda*dl $
Quindi il potenziale generato dalla carica dq in P è:
$ dV^(filo)=1/(4piepsilon _o)*(dq)/R=1/(4piepsilon _o)*(lambda*dl)/R $
Integrando su ciascun tratto rettilineo si ottiene:
$ V^(filo)=1/(4piepsilon_o)*lambdaint_(R)^(2R) 1/r dl =lambda/(4piepsilon_o)*ln2 $
Calcolare il potenziale in P generato dalla carica distribuita sul filo circolare. La carica elementare situata sull'elemento $ dl=R*dTheta $
$ dq=lambda*dl=lambda*R*dTheta $
Pertanto
$ dV^(semi)=1/(4piepsilon_o)*(dq)/R=1/(4piepsilon_o)*(lambda*R*dTheta)/R=1/(4piepsilon_o)*
(lambda*dTheta) $
Integrando sulla semicirconferenza
$ V^(semi)=int_(0)^(pi) 1/(4piepsilon_o)*lambda*senTheta*dTheta=1/(4piepsilon_o)*lambda*int_(0)^(pi)senThetadTheta=[-cosTheta]_0^pi=(lambda*pi)/4piepsilon_o $
Il potenziale in P è quindi:
$ V_p=2*V^(filo)+V^(semi)=lambda/(4piepsilono)*(2ln2+pi) $
3) L’energia elettrostatica di una carica posta nel punto P si calcola moltiplicando la carica
per il potenziale elettrostatico nel punto P
$ U=Q*lambda/(4piepsilono)*(2ln2+pi) $
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