Fisica 1- Moto parabolico

[pisanivito]

Salve, avrei bisogno di delucidazioni in merito l'esercizio seguente:

Un oggetto di massa $m$ è alla base di un piano inclinato di $\theta$ rispetto l'orizzontale ed è lanciato con velocità iniziale $V_0$. Arrivato alla sommità del piano, che è alto $h$, l'oggetto cade con moto di proiettile sopra un oggetto di dimensioni trascurabili e massa $M$, distante $d$ dal vertice del piano e si trova su un piano inclinato di $\beta$ come mostrato in figura. Determinare: a) la velocità V _0 con cui è stato lanciato e la velocità con cui arriva su $M$.
b)Assumendo un urto completamente anelastico tra i due oggetti, determinare la velocità subito dopo l'urto e l'impulso trasmesso al piano nell'urto

Svolgimento.
Sotto trovate la raffigurazione

https://drive.google.com/open?id=0B87HSWFlyWwdbW5LZjlWd2E3RkU

1. Trovo $v_0$.
Assumendo $V_B$ come la velocità che avrà il punto una volta arrivato alla fine del primo piano inclinato (indicherò B il punto individuato tra la fine del piano inclinato di $\theta$ e l'inizio di quello inclinato di $\beta$.
Per via cinematica posso dedurre $V_0$ attraverso la relazione \( V_B^2-V_0^2=2a(x-x_0) \)
Considerando il piano liscio, lungo il piano, l'oggetto si sposterà con un'accelerazione pari ad $a=-gsen\theta$.
Inoltre conoscendo l'altezza del piano inclinato, posso determinare la lunghezza del segmento \( \overline{OB} \) , dove O indica l'origine del primo piano inclinato.
Stabilendo che $x-x_0=h/{sen\theta}$, posso calcolarmi $V_0$.
$V_0^2=V_B^2+2gh$.
D'altro canto si poteva utilizzare la conservazione dell'energia meccanica, visto che le forze in gioco sono conservative.

Ricordando che abbiamo definito come $B$ l'inizio del secondo piano inclinato, definisco $A(a_x,a_y)$ il punto dove si trova la massa $M$.

In generale è possibile impostare il moto parabolico, tramite:
\( \begin{cases} x(t)=x_0+V_Bcos\theta t \\ y(t)=y_o+V_Bsen\theta t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \)
Considerando il punto che $B(0,0)$, potrò scrivere:
\( \begin{cases} x(t)=V_Bcos\theta t \\ y(t)=V_Bsen\theta t - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \)
Calcolo la traiettoria:
\( \begin{cases} t=\frac{x}{V_Bcos\theta} \\ y(x)=xtg\theta -\frac{gx^2}{2V_B^2cos^2\theta} \end{cases} \)
Ora devo imporre che la massa $m$ debba passare per $A(a_x,a_y)$
Effettivamente, usando le relazioni trigonometriche $A(dcos\beta,-dsen\beta)$. Sostituisco nell'equazione della traiettoria:
\( -dsen\beta=dcos\beta tg\theta - \frac{d^2cos^2\beta g}{2V_B^2cos^2\theta} \)
A questo punto posso ricavare $V_B$:
\( V_B^2=\frac{gdcos^2\beta}{2cos\theta}(\frac{1}{sen\beta+tg\theta cos\beta}) \)
Fin qui tutto chiaro
Come posso calcolare le componenti della velocità una volta che la massa m sia arrivata su M?
mi dice che arrivato in A le rispettive componenti della velocità sono:
$V_{ax}=V_Bcos\theta , V_{ay}=V_Bsin\theta -g t$ da dove vengono fuori ?? non riesco ad immaginarle graficamente..
Inoltre mi dice che l'urto essendo completamente anelastico, avendo le componendi della velocità calcolate nel punto precedente vanno proiettate nel secondo piano inclinato ottenendo:
\( \begin{cases} \overleftarrow{V}_{\beta x}= V_{Bx}cos\beta\widehat{i} + V_{By}sin\beta\widehat{j} \\ \overleftarrow{V}_{\beta y}= V_{Bx}sen\beta\widehat{i} - V_{By}cos\beta\widehat{j} \end{cases} \)
Mi chiarireste le idee?

[mgrau]

"pritt":
Come posso calcolare le componenti della velocità una volta che la massa m sia arrivata su M?
mi dice che arrivato in A le rispettive componenti della velocità sono:
$V_{ax}=V_Bcos\theta , V_{ay}=V_Bsin\theta -g t$ da dove vengono fuori ??

Come, da dove vengono fuori? $V_Bcos\theta$ è la componente orizzontale della velocità in B, che non cambia nel tempo;
$V_Bsin\theta $ è la componente verticale al momento iniziale, a cui si aggiunge la velocità di caduta, $-g*t$

[pisanivito]

ti ringrazio per la risposta .
Mi devi scusare,ora ci sono. Bastava scomporre $V_B $ nelle sue componenti. Quindi m, arriverà sulla sommità del primo piano inclinato con una certa velocità $V_B$. Scomponendo avrò: \( \begin{cases} x=V_Bcos\theta \\ y=V_Bsen\theta -gt \end{cases} \)
Vorrei capire come vanno proiettate..

[mgrau]

"pritt":
Vorrei capire come vanno proiettate..

Si tratta di di un rotazione del sistema di riferimento: parti da una coppia di assi orizzontale e verticale, hai le componenti del vettore V in questo sistema, e vuoi ottenere le componenti dello stesso vettore in un sistema in cui gli assi sono ruotati di un angolo $beta$; così ottieni la componente tangenziale della velocità - che si conserva, e quella normale, che è quella che trasmette un impulso al piano

[pisanivito]

ho capito, grazie