Fisica 1: Esercizio su un sistema di 2 corpi
Salve. Ormai oggi è l'ultimo giorno prima dell'esame scritto di fisica 1, tuttavia vedendo un esercizio mi sono reso conto di avere ancora molti dubbi e dunque volevo chiedervi un aiuto sia per quanto riguarda l'aspetto teorico sia sulla risoluzione in sè. L'esercizio dice:
"Un blocchetto (puntiforme) di massa $m = 100 g$ si muove con
velocità $v_0 = 1.5 m/s$ su un piano orizzontale liscio (è trascurabile
l’attrito). Da un certo istante in poi il blocco si viene a trovare sopra un blocco di massa $M = 500 g$, inizialmente fermo,
che a sua volta può scorrere su un piano orizzontale liscio. Tra i due
blocchi c’è attrito e il coefficiente di attrito dinamico fra le due
superfici è $µ_d = 0.15$. Il blocco di massa $M$ ha lunghezza molto
maggiore di quella del blocchetto di massa m e sufficiente affinché
quest ultimo non cada. Determinare:
a) la velocità comune dei due blocchi, dopo che la loro velocità
relativa si è annullata;
b) la lunghezza del percorso che il blocchetto di massa m compie sul
blocco di massa M prima di fermarsi;
c) il tempo necessario perché questo avvenga."
Sperando che non sia contro il regolamento metto sotto "spoiler" il disegno dell'esercizio
Ora partiamo con l'analizzare il problema. Il primo dubbio che mi veniva era se in questo caso l'attrito dovesse essere considerato o meno una forza esterna. Perchè da un lato l'attrito è solo frai 2 corpi che costituiscono il sistema stesso e dunque dovrebbe essere una forza interna, da un altro lato se non ci fossero forze esterne sull'asse delle ascisse, varebbe la legge di conservazione della quantità di moto, il che significherebbe che il sistema dovrebbe continuare a muoversi indefinitivamente, ma dato che il blocchetto alla fine si fermerà è veramente corretta come cosa?
Ora senza essere sicuro della possibilità di utilizzare qualche legge di conservazione, pensavo di ragionare in questo modo:
Usare il teorema dell'energia cinetica sul corpo di massa minore, considerando la sua velocità relativa al corpo di massa maggiore e dunque $-1/2mv_0^2=-mg\mu _d x$ dove $x$ denota lo spazio percorso prima che il corpo piccolo abbia stessa velocità del corpo grande. Dunque poichè il moto è uniformemente accelerato scrivo la legge oraria $x=-1/2g \mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in funzione del tempo. Ora per calcolare la velocità assoluta del blocco, scrivo l'altra legge oraria $v=v_0-g \mu_d t$ mettendo al posto di $t$ il tempo ricavato prima. Per trovare invece la lunghezza perchè il blocchetto si fermi volevo applicare di nuovo il teorema della conservazione dell'energia cinetica, tuttavia per fare ciò dovrei sapere la velocità del blocco di massa maggiore e a questo punto mi è venuto un altro dubbio, ovvero la velocità del corpo grande è costante, oppure a causa della forza di attrito con il corpo piccolo pure lei diminuisce? So che sono dubbi molto stupidi ma sono tutte cose che non ci sono mai state precisate e ora stanno venendo alla luce. Ora il punto è che se anche questa velocità non fosse costante, io non saprei come procedere. Se invece non fosse costante, allora forse l'osservazione iniziale era errata e di fatto posso usare la conservazione della quantità di moto.
Dunque in questo secondo caso, rivediamo l'esercizio:
$mv_0=mv_f+Mv_f$ allora $v_f=m/(m+M)v_0$. Fatto ciò passiamo al secondo punto: per il teorema dell'energia cinetica $1/2(m+M)v_f^2-1/2mv_0^2=-g\mu_d x$ e da qui ricavo dunque lo spostamento. Per terminare scrivo la legge oraria $x=-1/2g\mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in $t$ e ho finito.
So che il messaggio è lungo e ricco di cose che forse non hanno il minimo senso, tuttavia se non vi reca disturbo, potreste togliermi questi dubbi?
"Un blocchetto (puntiforme) di massa $m = 100 g$ si muove con
velocità $v_0 = 1.5 m/s$ su un piano orizzontale liscio (è trascurabile
l’attrito). Da un certo istante in poi il blocco si viene a trovare sopra un blocco di massa $M = 500 g$, inizialmente fermo,
che a sua volta può scorrere su un piano orizzontale liscio. Tra i due
blocchi c’è attrito e il coefficiente di attrito dinamico fra le due
superfici è $µ_d = 0.15$. Il blocco di massa $M$ ha lunghezza molto
maggiore di quella del blocchetto di massa m e sufficiente affinché
quest ultimo non cada. Determinare:
a) la velocità comune dei due blocchi, dopo che la loro velocità
relativa si è annullata;
b) la lunghezza del percorso che il blocchetto di massa m compie sul
blocco di massa M prima di fermarsi;
c) il tempo necessario perché questo avvenga."
Sperando che non sia contro il regolamento metto sotto "spoiler" il disegno dell'esercizio
Ora partiamo con l'analizzare il problema. Il primo dubbio che mi veniva era se in questo caso l'attrito dovesse essere considerato o meno una forza esterna. Perchè da un lato l'attrito è solo frai 2 corpi che costituiscono il sistema stesso e dunque dovrebbe essere una forza interna, da un altro lato se non ci fossero forze esterne sull'asse delle ascisse, varebbe la legge di conservazione della quantità di moto, il che significherebbe che il sistema dovrebbe continuare a muoversi indefinitivamente, ma dato che il blocchetto alla fine si fermerà è veramente corretta come cosa?
Ora senza essere sicuro della possibilità di utilizzare qualche legge di conservazione, pensavo di ragionare in questo modo:
Usare il teorema dell'energia cinetica sul corpo di massa minore, considerando la sua velocità relativa al corpo di massa maggiore e dunque $-1/2mv_0^2=-mg\mu _d x$ dove $x$ denota lo spazio percorso prima che il corpo piccolo abbia stessa velocità del corpo grande. Dunque poichè il moto è uniformemente accelerato scrivo la legge oraria $x=-1/2g \mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in funzione del tempo. Ora per calcolare la velocità assoluta del blocco, scrivo l'altra legge oraria $v=v_0-g \mu_d t$ mettendo al posto di $t$ il tempo ricavato prima. Per trovare invece la lunghezza perchè il blocchetto si fermi volevo applicare di nuovo il teorema della conservazione dell'energia cinetica, tuttavia per fare ciò dovrei sapere la velocità del blocco di massa maggiore e a questo punto mi è venuto un altro dubbio, ovvero la velocità del corpo grande è costante, oppure a causa della forza di attrito con il corpo piccolo pure lei diminuisce? So che sono dubbi molto stupidi ma sono tutte cose che non ci sono mai state precisate e ora stanno venendo alla luce. Ora il punto è che se anche questa velocità non fosse costante, io non saprei come procedere. Se invece non fosse costante, allora forse l'osservazione iniziale era errata e di fatto posso usare la conservazione della quantità di moto.
Dunque in questo secondo caso, rivediamo l'esercizio:
$mv_0=mv_f+Mv_f$ allora $v_f=m/(m+M)v_0$. Fatto ciò passiamo al secondo punto: per il teorema dell'energia cinetica $1/2(m+M)v_f^2-1/2mv_0^2=-g\mu_d x$ e da qui ricavo dunque lo spostamento. Per terminare scrivo la legge oraria $x=-1/2g\mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in $t$ e ho finito.
So che il messaggio è lungo e ricco di cose che forse non hanno il minimo senso, tuttavia se non vi reca disturbo, potreste togliermi questi dubbi?
Risposte
"mklplo":
Il primo dubbio ...
Se, come sistema, si considera l'insieme dei due blocchi, la forza di attrito è sicuramente una forza interna. Quindi, per determinare la velocità comune dei due blocchi, dopo che la loro velocità relativa si è annullata, è sufficiente conservare la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale. Inoltre, l'energia cinetica totale non si conserva perché la forza di attrito sviluppa una potenza (in modulo) maggiore sul corpo inizialmente in moto piuttosto che sul corpo inizialmente in quiete, visto che, in ogni istante e finché la loro velocità relativa non si è annullata, la velocità del primo è maggiore della velocità del secondo.
Ah, ok, grazie. Dunque questa parte è corretta
"$mv_0=mv_f+Mv_f$ allora $v_f=m/(m+M)v_0$. Fatto ciò passiamo al secondo punto: per il teorema dell'energia cinetica $1/2(m+M)v_f^2-1/2mv_0^2=-g\mu_d x$ e da qui ricavo dunque lo spostamento. Per terminare scrivo la legge oraria $x=-1/2g\mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in $t$." ?
"$mv_0=mv_f+Mv_f$ allora $v_f=m/(m+M)v_0$. Fatto ciò passiamo al secondo punto: per il teorema dell'energia cinetica $1/2(m+M)v_f^2-1/2mv_0^2=-g\mu_d x$ e da qui ricavo dunque lo spostamento. Per terminare scrivo la legge oraria $x=-1/2g\mu_d t^2+v_0t$ e risolvo in $t$." ?
Prima di tentare mediante considerazioni energetiche, procederei con il 2° principio della dinamica:
In questo modo, puoi anche verificare se l'equazione che hai scritto è corretta.
Blocco di massa m
$[ma=-\mu_dmg] ^^ [v(0)=v_0]$
Blocco di massa M
$[MA=\mu_dmg] ^^ [V(0)=0]$
In questo modo, puoi anche verificare se l'equazione che hai scritto è corretta.
Quindi usando il secondo principio mi ricavo le due velocità, le pongo uguali, trovo l'istante e poi sostituisco ? Infine proprio dalla legge oraria ricavo quando il corpo si ferma?
Le considerazioni energetiche e sul momento erano dunque sbagliate? Se sì, ti dispiace se ti chiedo dove?
Le considerazioni energetiche e sul momento erano dunque sbagliate? Se sì, ti dispiace se ti chiedo dove?
Blocco di massa m
$[ma=-\mu_dmg] ^^ [v(0)=v_0] rarr [v=-\mu_dg t+v_0]$
Blocco di massa M
$[MA=\mu_dmg] ^^ [V(0)=0] rarr [V=(\mu_dmg)/M t]$
Condizione di quiete relativa
$[-\mu_dg t+v_0=(\mu_dmg)/M t] rarr [t=(Mv_0)/(\mu_dg(m+M))]$
Tra l'altro:
$v(t)=V(t)=(mv_0)/(m+M)$
Infine:
$[x=-1/2\mu_dg t^2+v_0t] ^^ [X=1/2(\mu_dmg)/M t^2] ^^ [t=(Mv_0)/(\mu_dg(m+M))] rarr$
$rarr [x-X=(Mv_0^2)/(2\mu_dg(m+M))]$
"mklplo":
Le considerazioni energetiche ...
Non ti resta che fare una verifica.
[ot]
[xdom="Faussone"]Visto che è la seconda volta che lo chiedi ti rispondo: mettere immagini tramite link esterni è permesso (infatti c'è la possibilità di farlo), ma dovrebbe essere evitato e usato solo quando necessario perché a lungo tempo i link esterni possono diventare non disponibili e rendere intere discussioni incomprensibili e "mutilate".
Detto questo tu hai però copiato il testo integrale e messo sotto spolier l'immagine, questo va benissimo, anzi dovrebbe essere preso da esempio.
[/xdom][/ot]
"mklplo":
Sperando che non sia contro il regolamento metto sotto "spoiler" il disegno dell'esercizio
[xdom="Faussone"]Visto che è la seconda volta che lo chiedi ti rispondo: mettere immagini tramite link esterni è permesso (infatti c'è la possibilità di farlo), ma dovrebbe essere evitato e usato solo quando necessario perché a lungo tempo i link esterni possono diventare non disponibili e rendere intere discussioni incomprensibili e "mutilate".
Detto questo tu hai però copiato il testo integrale e messo sotto spolier l'immagine, questo va benissimo, anzi dovrebbe essere preso da esempio.
[/xdom][/ot]
@anonymous_0b37e9: grazie nuovamente per aver risposto. Ho rifatto tutti i conti ed effettivamente l'unica cosa che non avevo considerato con le considerazioni energetiche è che poi la legge oraria doveva essere quella della distanza relativa al blocco e quindi comunque alla fine avrei dovuto trovare entrambe le leggi oraria ed effettivamente avrei fatto prima come hai fatto tu.
[ot]se posso farti una domanda off-topic: da quello che mi hanno detto, se ho avuto difficoltà con questo esame, l'anno prossimo con fisica-matematica sarò rovinato...quindi volevo chiederti, per curiosità, che genere di esercizi mi aspetteranno?[/ot]
@Fuassone: grazie per la conferma sul regolamento
[ot]se posso farti una domanda off-topic: da quello che mi hanno detto, se ho avuto difficoltà con questo esame, l'anno prossimo con fisica-matematica sarò rovinato...quindi volevo chiederti, per curiosità, che genere di esercizi mi aspetteranno?[/ot]
@Fuassone: grazie per la conferma sul regolamento
[ot]Ammesso e non concesso che tu sia iscritto a Matematica, non posso esserti molto d'aiuto. Ho l'impressione che l'esame di fisica - matematica sia, almeno in parte, sovrapponibile all'esame di meccanica razionale. Ad ogni modo, non ho la minima idea della difficoltà degli esercizi. Molto meglio se chiedi delucidazioni a qualcuno laureato in Matematica o che sta frequentando la tua facoltà.[/ot]
[ot]Va bene. Grazie per tutto.[/ot]
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