Filo cilindrico con resistività variabile
Un filo cilindrico rettilineo di lunghezza 2L, con \(\displaystyle L = 0.205m \) e sezione costante, di area \(\displaystyle A = 1.19 \cdot 10^{-5} m^2 \), è composto da un materiale di resistività elettrica che varia lungo il filo, descritta dalla seguente funzione: \(\displaystyle \rho (x) = \alpha x \), per 0≤x≤L, \(\displaystyle \rho (x) = \alpha L \), per L ≤x≤2L, con \(\displaystyle \alpha = 0.102 ohm \). Il filo è collegato ai suoi estremi, attraverso dei contatti che assumiamo perfettamente conduttori, ad una batteria che fornisce la fem \(\displaystyle V = 12.8 V \). Il sistema ha raggiunto le condizioni stazionarie.
1) Calcolare la corrente I, in ampere che scorre nel filo.
2) Calcolare l'intensità del campo elettrico E, in V/m, nel punto P interno al filo che si trova alla coordinata x = L/2.
Per risolvere la prima domanda ho sfruttato la legge di Ohm \(\displaystyle V = \frac {\rho L I} {S} \), mettendo in evidenza la corrente: \(\displaystyle I = \frac {SV}{\rho L} \).
Tenendo conto della variazione della resistività ho scritto: \(\displaystyle I = \frac { SV}{L} \cdot \biggl[ \biggl( \int_0^L \alpha x dx\biggr) ^{-1} + \frac 1 {\alpha L} \biggr] = 0.38 A\), che non corrisponde al risultato riportato nel libro.
Per quanto riguarda invece la seconda domanda pensavo di sfruttare la prima legge di Ohm, per cui \(\displaystyle \overrightarrow J = \frac {\overrightarrow E} {\rho}\), dove \(\displaystyle J = \frac Q S \), solo che non capisco come trovare la carica Q.
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto.
1) Calcolare la corrente I, in ampere che scorre nel filo.
2) Calcolare l'intensità del campo elettrico E, in V/m, nel punto P interno al filo che si trova alla coordinata x = L/2.
Per risolvere la prima domanda ho sfruttato la legge di Ohm \(\displaystyle V = \frac {\rho L I} {S} \), mettendo in evidenza la corrente: \(\displaystyle I = \frac {SV}{\rho L} \).
Tenendo conto della variazione della resistività ho scritto: \(\displaystyle I = \frac { SV}{L} \cdot \biggl[ \biggl( \int_0^L \alpha x dx\biggr) ^{-1} + \frac 1 {\alpha L} \biggr] = 0.38 A\), che non corrisponde al risultato riportato nel libro.
Per quanto riguarda invece la seconda domanda pensavo di sfruttare la prima legge di Ohm, per cui \(\displaystyle \overrightarrow J = \frac {\overrightarrow E} {\rho}\), dove \(\displaystyle J = \frac Q S \), solo che non capisco come trovare la carica Q.
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto.
Risposte
Per il primo quesito meglio lavorare in termini di resistenza. Nel primo tratto
$R_1=int_0^L (rho(x))/A*dx=int_0^L alpha/A*x*dx=alpha/A*L^2/2$
$R_2=alpha/A*L^2$
$R=R_1+R_2$
da cui ...
Per il secondo quesito devi tener presente che, partendo dalla tensione del generatore, via via si perde una ddp data dalla caduta nel resistore, e questa ddp sarà funzione non lineare di x nel primo tratto. Poichè E=-dV/dx ...
$R_1=int_0^L (rho(x))/A*dx=int_0^L alpha/A*x*dx=alpha/A*L^2/2$
$R_2=alpha/A*L^2$
$R=R_1+R_2$
da cui ...
Per il secondo quesito devi tener presente che, partendo dalla tensione del generatore, via via si perde una ddp data dalla caduta nel resistore, e questa ddp sarà funzione non lineare di x nel primo tratto. Poichè E=-dV/dx ...
Per il primo punto lavorando in termini di resistenza ho trovato\(\displaystyle R_1 + R_2 = \frac 3 2 \cdot \frac {\alpha} A \cdot L^2 \) e poi ho trovato la corrente facendo il rapporto tra \(\displaystyle \Delta V \) e R, trovando I = 0.0237A
Per quanto riguarda invece la seconda domanda devo fare \(\displaystyle E = - \frac {dV}{dX} = - \frac {dR \cdot I}{dx} \) integrando tra 0 e L/2 e con \(\displaystyle dR = \frac {\alpha} A \cdot \frac {L^2}2 \), che corrisponde alla resistenza del primo tratto?
Per quanto riguarda invece la seconda domanda devo fare \(\displaystyle E = - \frac {dV}{dX} = - \frac {dR \cdot I}{dx} \) integrando tra 0 e L/2 e con \(\displaystyle dR = \frac {\alpha} A \cdot \frac {L^2}2 \), che corrisponde alla resistenza del primo tratto?
Avremo nel tratto 0
$V(x)=V_0 -R(x)*I = V_0-alpha/A*x^2/2*I$
dove R(x) si ricava facendo l'integrale per un generico punto x, e quindi
$E(x)=alpha/A*x*I$
$E(L/2)=alpha/A*L/2*I$
L'andamento di E è lineare nel primo tratto e costante nel secondo. Invece V scende parabolicamente nel primo tratto e linearmente nel secondo fino ad annullarsi per x=2L. Lì incontra il genarore che fornisce il gradino di tensione $V_0$ e permette di chiudere il loop.
$V(x)=V_0 -R(x)*I = V_0-alpha/A*x^2/2*I$
dove R(x) si ricava facendo l'integrale per un generico punto x, e quindi
$E(x)=alpha/A*x*I$
$E(L/2)=alpha/A*L/2*I$
L'andamento di E è lineare nel primo tratto e costante nel secondo. Invece V scende parabolicamente nel primo tratto e linearmente nel secondo fino ad annullarsi per x=2L. Lì incontra il genarore che fornisce il gradino di tensione $V_0$ e permette di chiudere il loop.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo