Fem indotta su una bobina da un "campo elettromagnetico monocromatico"
Dunque c'è una tipologia di esercizi che non riesco a capire , ed un esempio è il seguente esercizio d'esame ,che mi sta facendo tribolare non poco :
Un'antenna isotropa emette un campo elettromagnetico monocromatico con frequenza $ nu $ , con una potenza media P .
Un'antenna ricevente composta da N spire circolari di raggio R è posta a distanza D . Calcolare l'ampiezza della fem indotta sulla bobina nel caso in cui l'asse della bobina formi con la direzione del campo magnetico un angolo di 0 , 30 , 60 , 90 gradi.
Riporto qualche "passaggio" che ho provato ad eseguire , fino dove mi sono fermato , non essendo in grado di procedere.
Se chiamo $ I $ l'intensità media di energia per unità di tempo e superficie , $ E_0 $ l'ampiezza della sinusoide che rappresenta E , $ B_0 $ l'ampiezza della sinusoide che rappresenta B , ho
$ I=P/S=1/2c_0epsi_0E_0^2=1/2c_0epsi_0c_0^2B_0^2=1/2c_0^3epsi_0B_0^2 $
Da cui ricavo $ B_0 $ ( $ c_0 $ è la velocità della luce nel vuoto)
Per definizione di onda monocromatica dovrebbe essere :
$ B=B_0sen(kx-omegat) $
$ k= omega/c_0 $
L'ultima relazione trovata a partire dalla def di k , e dalla relazione fra lunghezza d'onda e frequenza.
Ora la f.e.m indotta è :
$ V_epsi=-(dphi(B))/dt $
$ phi(B)=int_SvecB*vec(ds) $
Quindi credo sia ora che interviene la distinzione dei casi in base all'angolo fra asse e campo induzione magnetica , quindi avrò i quattro casi separati :
1) $ phi(B)=int_SBScos(0)dS $
2) $ phi(B)=int_SBScos(pi/6)dS $
3) $ phi(B)=int_SBScos(pi/3)dS $
4) $ phi(B)=int_SBScos(pi/2)dS $
(ovviamente quelli di sopra sono per una singola spira , poi lo moltiplicherò ogni volta per N)
Ora , malgrado io non ne vada affatto fiero , mi bloccano questi integrali... cioè non riesco a trovare un modo di risolverli per non impiegarci 1 giornata e magari neanche riuscirci .
Avete qualche idea? Nel senso , io vorrei ricondurmi quest'integrale a uno di linea in dx , ma non riesco a farlo poichè non so come impostare il sistema di riferimento. Ho immaginato che E fosse l'ungo l'asse y , B lungo z , e la propagazione lungo x . A una distanza x=d+R ho il centro di una spira(che poi il testo non specifica se d è la distanza dall'asse , o dal bordo della bobina) , come uso tutto questo per fare quell'integrale?
Una volta trovata la variazione di flusso nei vari casi , l'idea era , alla fine , di esprimere il "valore efficace" della fem indotta , con l'espressioncina :
$ V_epsi(eff)=root2(1/Tint_0^TV_epsi^2dt)=V_0/root2 2 $
L'ultima uguaglianza nel caso generale ( $ V_0 $ sarebbe il valore massimo della fem , o l'ampiezza volendo).
Quindi spero mi diate una spintarella nella direzione giusta per risolvere quegli integrali , e che mi diciate se il procedimento è corretto , perchè il prof in tutti i compiti propone un esercizio in cui c'è un'antenna che emette isotropicamente un campo e.m. e chiede la fem indotta su un qualche conduttore nelle vicinanze...diciamo che la tipologia è molto simile ogni volta.
Grazie in anticipo.
Un'antenna isotropa emette un campo elettromagnetico monocromatico con frequenza $ nu $ , con una potenza media P .
Un'antenna ricevente composta da N spire circolari di raggio R è posta a distanza D . Calcolare l'ampiezza della fem indotta sulla bobina nel caso in cui l'asse della bobina formi con la direzione del campo magnetico un angolo di 0 , 30 , 60 , 90 gradi.
Riporto qualche "passaggio" che ho provato ad eseguire , fino dove mi sono fermato , non essendo in grado di procedere.
Se chiamo $ I $ l'intensità media di energia per unità di tempo e superficie , $ E_0 $ l'ampiezza della sinusoide che rappresenta E , $ B_0 $ l'ampiezza della sinusoide che rappresenta B , ho
$ I=P/S=1/2c_0epsi_0E_0^2=1/2c_0epsi_0c_0^2B_0^2=1/2c_0^3epsi_0B_0^2 $
Da cui ricavo $ B_0 $ ( $ c_0 $ è la velocità della luce nel vuoto)
Per definizione di onda monocromatica dovrebbe essere :
$ B=B_0sen(kx-omegat) $
$ k= omega/c_0 $
L'ultima relazione trovata a partire dalla def di k , e dalla relazione fra lunghezza d'onda e frequenza.
Ora la f.e.m indotta è :
$ V_epsi=-(dphi(B))/dt $
$ phi(B)=int_SvecB*vec(ds) $
Quindi credo sia ora che interviene la distinzione dei casi in base all'angolo fra asse e campo induzione magnetica , quindi avrò i quattro casi separati :
1) $ phi(B)=int_SBScos(0)dS $
2) $ phi(B)=int_SBScos(pi/6)dS $
3) $ phi(B)=int_SBScos(pi/3)dS $
4) $ phi(B)=int_SBScos(pi/2)dS $
(ovviamente quelli di sopra sono per una singola spira , poi lo moltiplicherò ogni volta per N)
Ora , malgrado io non ne vada affatto fiero , mi bloccano questi integrali... cioè non riesco a trovare un modo di risolverli per non impiegarci 1 giornata e magari neanche riuscirci .
Avete qualche idea? Nel senso , io vorrei ricondurmi quest'integrale a uno di linea in dx , ma non riesco a farlo poichè non so come impostare il sistema di riferimento. Ho immaginato che E fosse l'ungo l'asse y , B lungo z , e la propagazione lungo x . A una distanza x=d+R ho il centro di una spira(che poi il testo non specifica se d è la distanza dall'asse , o dal bordo della bobina) , come uso tutto questo per fare quell'integrale?
Una volta trovata la variazione di flusso nei vari casi , l'idea era , alla fine , di esprimere il "valore efficace" della fem indotta , con l'espressioncina :
$ V_epsi(eff)=root2(1/Tint_0^TV_epsi^2dt)=V_0/root2 2 $
L'ultima uguaglianza nel caso generale ( $ V_0 $ sarebbe il valore massimo della fem , o l'ampiezza volendo).
Quindi spero mi diate una spintarella nella direzione giusta per risolvere quegli integrali , e che mi diciate se il procedimento è corretto , perchè il prof in tutti i compiti propone un esercizio in cui c'è un'antenna che emette isotropicamente un campo e.m. e chiede la fem indotta su un qualche conduttore nelle vicinanze...diciamo che la tipologia è molto simile ogni volta.
Grazie in anticipo.
Risposte
"Algo":
... mi bloccano questi integrali... cioè non riesco a trovare un modo di risolverli per non impiegarci 1 giornata e magari neanche riuscirci .
Avete qualche idea?
Si, direi che non serva nessun integrale!
"Algo":
... Ho immaginato che E fosse l'ungo l'asse y , B lungo z , e la propagazione lungo x . A una distanza x=d+R ho il centro di una spira(che poi il testo non specifica se d è la distanza dall'asse , o dal bordo della bobina) , come uso tutto questo per fare quell'integrale?
Come vedi sarebbe una "mission impossible", e anche conoscendo tutta la geometria del problema sarebbe un calcolo analiticamente molto complesso, ne segue che nel testo di quel problema e' chiaramente sottinteso che D >> R e quindi tutto diventa più semplice.
Eh infatti (perdonami se non l'ho specificato) , la distanza D è 10 km , mentre il raggio una cosa come 5 cm ...
Ma in che senso tutto diventa più semplice? Come dovrei procedere se D>>R?
Ma in che senso tutto diventa più semplice? Come dovrei procedere se D>>R?
Scusa, ma se D >> R, su tutta la sezione della spira, il campo $\vec B$ sarà costante, non credi?
E quando abbiamo delle costanti, sia per il modulo di B sia per l'angolo fra campo e normale alla superficie della spira, portiamo tutto fuori integrale, anzi l'integrale manco lo scriviamo, no?
E quando abbiamo delle costanti, sia per il modulo di B sia per l'angolo fra campo e normale alla superficie della spira, portiamo tutto fuori integrale, anzi l'integrale manco lo scriviamo, no?
Quindi tu dici , ad esempio nel caso a) :
$ phi(B)=BS=B_0sen(kx-omegat)piR^2 $
$ V_epsi=-(dphi(B))/dt=omegaB_0cos(kx-omegat)piR^2 $
Cioè considero B costante nella spira , ma quella x ? la posso sostituire con la distanza D? Così avrei il valore del campo B che investe la spira , credo.
Se così fosse ho sbagliato a tenermi quella x , quindi avrei :
$ V_epsi=omegaB_0cos(kD-omegat)piR^2, V_epsi(eff)=(omegaB_0piR^2)/root2 2 $
E il valore trovato lo moltiplico per N numero di spire , quindi dovrei avere la F.e.m indotta nella bobina nel caso a) , giusto?
$ phi(B)=BS=B_0sen(kx-omegat)piR^2 $
$ V_epsi=-(dphi(B))/dt=omegaB_0cos(kx-omegat)piR^2 $
Cioè considero B costante nella spira , ma quella x ? la posso sostituire con la distanza D? Così avrei il valore del campo B che investe la spira , credo.
Se così fosse ho sbagliato a tenermi quella x , quindi avrei :
$ V_epsi=omegaB_0cos(kD-omegat)piR^2, V_epsi(eff)=(omegaB_0piR^2)/root2 2 $
E il valore trovato lo moltiplico per N numero di spire , quindi dovrei avere la F.e.m indotta nella bobina nel caso a) , giusto?
"Algo":
Quindi tu dici , ad esempio nel caso a) :
$ V_epsi=-(dphi(B))/dt=omegaB_0cos(kx-omegat)piR^2 $
Cioè considero B costante nella spira , ma quella x la posso sostituire con la distanza D?
In effetti la condizione D >> R serve solo per poter ritenere puntiforme l'antenna ricevente, visto che ci assicurano già che l'antenna trasmittente è isotropa, ma oltre a quella condizione, per poter considerare costante il campo su tutta la regione spaziale occupata dalla spira, serve anche verificare la condizione $\lambda$ >> R, in questo modo il termine $kx$ può essere ritenuto costante, in quanto il numero d'onda $k\prop 1/\lambda $.
"Algo":
...
$ V_epsi=omegaB_0cos(kD-omegat)piR^2, V_epsi(eff)=(omegaB_0piR^2)/root2 2 $
E il valore trovato lo moltiplico per N numero di spire , quindi dovrei avere la F.e.m indotta nella bobina nel caso a) , giusto?
Si, ma visto che ti chiedono l'ampiezza direi che non serva ricavarsi il valore efficace, basta quello massimo, quel kD poi lo puoi anche fare sparire andando a scegliere l'origine per l'asse x nel centro della spira.
Per i casi b) c) e d) basterà poi aggiungere il coseno dell'angolo.
BTW Giusto per curiosità puoi postare tutti i dati? o meglio ancora un'immagine del testo originale?
BTW2 Non usare quell'inutile 2 per le radici quadrate.
Dunque , l'immagine non credo ti sia utile visto che c'è solo il testo , e l'ho riportato esattamente com'è a inizio post .
I dati sono :
$ nu=99.6 MHz, P_m=10 kW,N=10,r=5cm,D=7km $
Per il resto , puoi ripetermi quale condizione devo verificare per assicurarmi che il campo è costante all'interno della spira?
E in effetti hai ragione , mi chiede l'ampiezza della fem , ed è lecito che io risponda che
$ V_0=omega B_0piR^2N $
?
Se considerassi l'origine al centro della spira , non cambierebbe anche l'espressione che ho scelto a priori per il campo? cioè la funzione armonica?
Ps (hai ragione è orribile ,ma non riesco a levarlo quando scrivo le formule usando l'editor xD mea culpa)
I dati sono :
$ nu=99.6 MHz, P_m=10 kW,N=10,r=5cm,D=7km $
Per il resto , puoi ripetermi quale condizione devo verificare per assicurarmi che il campo è costante all'interno della spira?
E in effetti hai ragione , mi chiede l'ampiezza della fem , ed è lecito che io risponda che
$ V_0=omega B_0piR^2N $
?
Se considerassi l'origine al centro della spira , non cambierebbe anche l'espressione che ho scelto a priori per il campo? cioè la funzione armonica?
Ps (hai ragione è orribile ,ma non riesco a levarlo quando scrivo le formule usando l'editor xD mea culpa)
"Algo":
... puoi ripetermi quale condizione devo verificare per assicurarmi che il campo è costante all'interno della spira?
Devi controllare che la lunghezza d'onda sia molto più grande del raggio (o meglio del diametro) della spira, per far si che
$kD \approx k(D+2R)$ in quanto, ricordando che $k=(2\pi)/\lambda$, avremo che $ k(D+2R) =(2\pi D)/\lambda+(2\pi 2R)/\lambda \approx (2\pi D)/\lambda$
"Algo":
...Se considerassi l'origine al centro della spira , non cambierebbe anche l'espressione che ho scelto a priori per il campo? cioè la funzione armonica?
Visto che l'espressione del campo la scegli tu, nessuno ti vieta di sceglierla a tua convenienza, verrebbe solo traslata nello spazio.
Ok , sono un pò confuso . Tu come risolveresti un es del genere? Cioè come mi conviene impostare il problema?
E in ogni caso se D>>R non si può dire che la condizione che hai scritto è comunque verificata?
E in ogni caso se D>>R non si può dire che la condizione che hai scritto è comunque verificata?
"Algo":
Ok , sono un pò confuso . Tu come risolveresti un es del genere? Cioè come mi conviene impostare il problema?
Come hai fatto.
"Algo":
E in ogni caso se D>>R non si può dire che la condizione che hai scritto è comunque verificata?
Hai ragione, non dovevo scrivere ...
... per far si che
$kD \approx k(D+2R)$
ma bensì, per far si che
$cos(kD) \approx cos(k(D+2R))$
ovvero che quel 2R porti ad uno trascurabile incremento nell'argomento del coseno.
Ok la cosa mi solleva un pò.Entro domani posto un tentativo di risoluzione completo . Ti ringrazio per il tempo che impieghi a rispondermi , e la chiarezza con cui lo fai 
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