Fase per sistema del 2 ordine

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Salve a tutti

Non riesco a capire una cosa per quanto riguarda lo studio dei sistemi dinamici del 2 ordine.

Supponendo di avere un sistema governato da un equazione del tipo (oscillazioni forzate)
[tex]\displaystyle m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_0\cos(\omega t)[/tex]
devo trovare la funzione d'uscsita [tex]x(t)[/tex] a regime (quindi a transitorio esaurito).

Dall'analisi dei sistemi dinamici, ricordo che in transitorio un sistema lineare che riceve un ingresso sinusoidale restituisce un uscita sinusoidale, eventualmente sfasata, ovvero qualcosa del tipo [tex]\displaystyle x(t)=X_0 \cos(\omega t + \varphi)[/tex].
Il problema ora è calcolare ampiezza e fase dell'uscita

Posso analizzare nel dominio di Laplace il sistema, ottenendo la funzione di trasferimento
[tex]\displaystyle G(s)=\frac{1}{ms^2+cs+k}[/tex]
A questo punto posso considerare l'ingresso cosinusoidale [tex]I(s)=F_0e^{j0}[/tex], e trovare quindi trasformata in uscita*
[tex]\displaystyle X(s)=\frac{F_0}{m(s)^2+cs+k}[/tex]
a questo punto mi è sufficiente sostituire [tex]s=j\omega[/tex] e calcolare modulo ($X_0$)e fase ($\varphi$) dell'uscita.
Per l'ampiezza tutto ok
[tex]|X(j\omega)|=X_0 =\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}[/tex]

Il problema si ha nella fase. Per quanto siano arrugginiti i miei rudimenti di algebra dei numeri complessi dovrei avere

[tex]\displaystyle \angle X(j\omega)= \varphi = \angle\left [ \frac{F_0}{k-m\omega^2+jc\omega} \right ] = \angle\left [ \frac{F_0\left ( \left (k-m\omega^2 \right )-jc\omega \right )}{\left |k-m\omega^2+jc\omega \right |^2} \right ] = \\ = \angle [ (k-m\omega^2 )-jc\omega ] =\tan^{-1}\left (\frac{-c\omega}{k-m\omega^2} \right )[/tex]

il problema è che stando agli appunti del professore la fase è
[tex]\displaystyle \tan^{-1}\left (\frac{c\omega}{k-m\omega^2} \right )[/tex].

Purtroppo non è sicuramente un errore di trascrizione degli appunti, perchè sia nella teoria che in svariati esempi mi trovo con la fase con segno discorde, quindi mi chiedo... dove sbaglio?

*
Ovviamente [tex]I(s)=F_0e^{j0}[/tex] non è la trasformata di Laplace di un ingresso sinusoidale, ma a regime dovrebbero essere questi i valori che mi interessano per calcolare l'uscita.

[cyd1]

se la tua uscita è banalmente il moto :
se il sistema è lineare la risposta ad una sinusoide di ampiezza A e fase $phi$ è chiaramente una sinusoide di ampiezza $|G(jomega)|*A$ e fase $phi +
nel tuo caso la fase di G è $

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[enpires1]

ma infatti il problema e' che nella risoluzione data dal professore manca quel segno meno.

[cyd1]

allora probabilmente ha sbagliato

[enpires1]

"cyd":allora probabilmente ha sbagliato

in tutti gli esercizi e nel libro di testo?

[cyd1]

$z = m(j omega) ^2 + j c omega + k = k-m omega^2 + j omega c$ è un numero complesso. la cui fase vale $a r g z = arctg((omega c)/(k - m omega^2))$
quindi la fase di $1/z$ è $- a r g z = - arctg((omega c)/(k - m omega^2))$. non so cosa dirti, in questo caso a me la formula del tuo prof sembra errata, magari si riferisce ad altro quando la usa. in ogni caso chiedi a lui è li per quello e poi sappimi dire

[enpires1]

Oggi ho dato l'esame, e questo tipo di esercizi non è uscito in ogni caso per curiosità glie lo chiederò alla correzione il 27 Grazie in ogni caso dell'aiuto

[cyd1]

grande, io ce l'ho domani! comunque fammi sapere che sono curioso