Fase moto armonico
Salve,
mi trovo questo problemino tratto dal testo del Picasso: ad una molla (di costante k) disposta verticalmente , con l'estremo libero verso l'alto, viene fatto cadere un corpo di massa m da un'altezza h. Si determini l'equazione del moto fintanto che la massa è a contatto con la molla e la massima compressione della molla.
Punto 1) Posizionato l'asse x verso il basso con origine nell'estremo libero della molla l'eq. del moto è
$x''= - (k/m) x + g$ la cui soluzione generale è $x(t)=(mg/k)+C_1sin\omegat+C_2cos\omegat$, con le condizioni al contorno
$x(0)=0$ e $x'(0)=v_0$
calcoliamo le due costanti, avendosi $c_1=v_0/\omega$ e $C_2=-mg/h$, l'eq. del moto è allora:
$x(t)=mg/k - (mg/k)cos\omegat+(v_0/\omega)sin\omegat$
Punto 2) Dalla conservazione dell'energia $mg(h+x_max)=(1/2)kx_max^2$ si ricava $x_max=mg/k+((mg/k)^2+(v_0/\omega^2))^(1/2)$
La mia curiosità su questo esercizio è la seguente: qual'è la fase iniziale?
Il Picasso risolve il punto 2) riscrivendo l'eq. del moto nel seguente modo alternativo:
$x(t)=mg/k+A sin(\omegat-\phi)$ dove $A=((mg/k)^2+(v_0/\omega^2))^(1/2)$
La mia curiosità su questo esercizio è la seguente: qual'è la fase iniziale?
Non dovrebbe essere zero? In quanto all'istante iniziale (momento dell'impatto del corpo sulla molla) il suo allungamento è nullo? E poi perchè quel segno meno sulla fase?
mi trovo questo problemino tratto dal testo del Picasso: ad una molla (di costante k) disposta verticalmente , con l'estremo libero verso l'alto, viene fatto cadere un corpo di massa m da un'altezza h. Si determini l'equazione del moto fintanto che la massa è a contatto con la molla e la massima compressione della molla.
Punto 1) Posizionato l'asse x verso il basso con origine nell'estremo libero della molla l'eq. del moto è
$x''= - (k/m) x + g$ la cui soluzione generale è $x(t)=(mg/k)+C_1sin\omegat+C_2cos\omegat$, con le condizioni al contorno
$x(0)=0$ e $x'(0)=v_0$
calcoliamo le due costanti, avendosi $c_1=v_0/\omega$ e $C_2=-mg/h$, l'eq. del moto è allora:
$x(t)=mg/k - (mg/k)cos\omegat+(v_0/\omega)sin\omegat$
Punto 2) Dalla conservazione dell'energia $mg(h+x_max)=(1/2)kx_max^2$ si ricava $x_max=mg/k+((mg/k)^2+(v_0/\omega^2))^(1/2)$
La mia curiosità su questo esercizio è la seguente: qual'è la fase iniziale?
Il Picasso risolve il punto 2) riscrivendo l'eq. del moto nel seguente modo alternativo:
$x(t)=mg/k+A sin(\omegat-\phi)$ dove $A=((mg/k)^2+(v_0/\omega^2))^(1/2)$
La mia curiosità su questo esercizio è la seguente: qual'è la fase iniziale?
Non dovrebbe essere zero? In quanto all'istante iniziale (momento dell'impatto del corpo sulla molla) il suo allungamento è nullo? E poi perchè quel segno meno sulla fase?
Risposte
Spero di aver capito la domanda.
La fase iniziale è irrilevante al fine di valutare la massima elongazione: in ogni caso, la richiesta del quesito è di trovare il massimo di $x(t)$, che si ottiene quando $sin(omegat-phi)=1$ e vale: $x_(max)=(mg)/k+A$ , come trovato anche con la conservazione dell'energia.
Se proprio vuoi, per determinare la fase $phi$ basta imporre la condizione al contorno $x(0)=0$ per trovare che la fase è qualsiasi angolo per cui si abbia: $sin phi=(mg)/(kA)$ , cosa che in ogni caso non mi pare sia richiesta dal problema.
La fase iniziale è irrilevante al fine di valutare la massima elongazione: in ogni caso, la richiesta del quesito è di trovare il massimo di $x(t)$, che si ottiene quando $sin(omegat-phi)=1$ e vale: $x_(max)=(mg)/k+A$ , come trovato anche con la conservazione dell'energia.
Se proprio vuoi, per determinare la fase $phi$ basta imporre la condizione al contorno $x(0)=0$ per trovare che la fase è qualsiasi angolo per cui si abbia: $sin phi=(mg)/(kA)$ , cosa che in ogni caso non mi pare sia richiesta dal problema.
si mi hai chiarito il dubbio...grazie!
Prego!
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