Fascio di particelle puntiformi in E, B e loro traiettoria
Considerato un sistema di riferimento $Oxyz$ cartesiano, in una regione di spazio $[0,d]$ è presente un campo elettrico $E\haty$ costante, mentre in $[d,\infty)$ un campo di induzione magnetica $B\hatz$ costante.
Determinare la traiettoria di un fascio di particelle puntiformi di massa $m$ e carica $q>0$ che entra dall'origine con velocità parallela all'asse $x$ ed energia cinetica $T_0$.
$v=v_x=\sqrt{{2T_0}/{m}}$.
Entro $[0,d]$, ognuna di tali particelle acquista una accelerazione $a_y=F/m={qE}/{m}$. Si tratta evidentemente di un moto parabolico di equazione (se ho fatto bene i conti risolvendo il sistema composto da $x=v\Delta t$ e $y=a_y\Delta t^2$)
\[y(x)=\frac{qE}{mv^2}x^2\]
E questa è l'equazione del moto per $x\in[0,d]$.
L'angolo $alpha$ che la velocità della particella nel punto $(d,y)$ forma con l'asse $x$ la trovo come, poiché $v_x=v_d=v$ e $v_y=a_y \Delta t$, dove $\Delta t$ è ricavato da $d=v \Delta t$,
\[\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}=\frac{mv^2}{qEd}\]
da cui ricavo l'angolo facendone l'arcotangente.
Quindi, per $x>d$, $F=qv_B B$, dove adesso \(v_B=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\). Il raggio dell'orbita circolare derivante è $R={mv}{qB}$, ma come faccio a trovarne il centro per poter scrivere l'equazione della circonferenza descritta?
Credo si tratti solo di un problema di geometria, nel senso che potrei calcolare la retta su cui giace $v_B$ vettore, ricavare l'equazione della retta perpendicolare ad essa passante per il punto $d,y_d$ (dove $y_d={qE}/{mv^2}d^2$) e trovare su di essa il punto distante $R$... Ma mi sembra troppo elaborato per un problema di fisica dove, presumo, la parte preponderante sia la Fisica e non dei conticini di Geometria Analitica da terza liceo...
Aiuti?
Determinare la traiettoria di un fascio di particelle puntiformi di massa $m$ e carica $q>0$ che entra dall'origine con velocità parallela all'asse $x$ ed energia cinetica $T_0$.
$v=v_x=\sqrt{{2T_0}/{m}}$.
Entro $[0,d]$, ognuna di tali particelle acquista una accelerazione $a_y=F/m={qE}/{m}$. Si tratta evidentemente di un moto parabolico di equazione (se ho fatto bene i conti risolvendo il sistema composto da $x=v\Delta t$ e $y=a_y\Delta t^2$)
\[y(x)=\frac{qE}{mv^2}x^2\]
E questa è l'equazione del moto per $x\in[0,d]$.
L'angolo $alpha$ che la velocità della particella nel punto $(d,y)$ forma con l'asse $x$ la trovo come, poiché $v_x=v_d=v$ e $v_y=a_y \Delta t$, dove $\Delta t$ è ricavato da $d=v \Delta t$,
\[\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}=\frac{mv^2}{qEd}\]
da cui ricavo l'angolo facendone l'arcotangente.
Quindi, per $x>d$, $F=qv_B B$, dove adesso \(v_B=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\). Il raggio dell'orbita circolare derivante è $R={mv}{qB}$, ma come faccio a trovarne il centro per poter scrivere l'equazione della circonferenza descritta?
Credo si tratti solo di un problema di geometria, nel senso che potrei calcolare la retta su cui giace $v_B$ vettore, ricavare l'equazione della retta perpendicolare ad essa passante per il punto $d,y_d$ (dove $y_d={qE}/{mv^2}d^2$) e trovare su di essa il punto distante $R$... Ma mi sembra troppo elaborato per un problema di fisica dove, presumo, la parte preponderante sia la Fisica e non dei conticini di Geometria Analitica da terza liceo...
Aiuti?
Risposte
Ciao. Non ho controllato i conti che precedono ma alla fine farei anch'io come dici, cioè individuerei la retta radiale nel punto $(d, y)$ , quindi eccetera con l'analitica da liceo. Considera tra l'altro che hai già trovato la pendenza della tangente (l'angolo $alpha$ tra la velocità $vec(v_B)$__ed il semiasse $x$ positivo), per cui della radiale in questione sai già che ha pendenza $pi/2-alpha$.
"Palliit":
Ciao. Non ho controllato i conti che precedono ma alla fine farei anch'io come dici, cioè individuerei la retta radiale nel punto $(d, y)$ , quindi eccetera con l'analitica da liceo. Considera tra l'altro che hai già trovato la pendenza della tangente (l'angolo $alpha$ tra la velocità $vec(v_B)$__ed il semiasse $x$ positivo), per cui della radiale in questione sai già che ha pendenza $pi/2-alpha$.
Oggi il professore ha fatto questo esercizio pari pari. Al di là dei conti (che non ho controllato), ha fatto anche lui come avrei fatto io (e te, dunque).
Grazie mille!
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