[EX]Mecc. Raz. moto di un corpo su una sfera
è da stamattina che ragiono su questo esercizio senza venire a capo di niente
Un punto materiale P di massa m si muove nello spazio, restando vincolato alla superficie di una sfera S liscia di
raggio R, in presenza della gravità g.
a) Scrivere le equazioni del moto di P, dopo aver individuato un opportuno sistema di riferimento e una parametrizzazione opportuna di S.
b) Verificare che, se sono note le condizioni iniziali, `e possibile ottenere un’equazione del moto avente come incognita una sola coordinata lagrangiana.
c) Esprimere la reazione vincolare dinamica in funzione delle coordinate lagrangiane scelte e delle sue derivate
prime rispetto al tempo.
d) Dire per quali valori delle condizioni iniziali sono possibili traiettorie piane di P.
riporto ora i miei ragionamenti e i miei dubbi.
allora, come prima cosa mi metto in coordinate sferiche.userò quindi i versori $\hat r$ $\hat \rho$ $\hat \phi$ indicando con $\theta$ l'angolo tra il raggio vettore e l'asse z, mentre con $\phi$ l'angolo tra la proiezione del raggio sul piano xy del raggio e l'asse x
l'unica forza presente è la forza peso, $\vec P = -mg\hat k$. per calcolare la componente del peso lungo le direzioni $\hat r$ $\hat \rho$ $\hat \phi$ si fa il prodotto scalare tra il peso e ognuna delle direzioni
il vincolo è liscio, quindi avrà solo componente lungo $\hat r$. chiamo il modulo di questa reazione vincolare $F_R$
siccome si sa che
$\hat r = sin \theta cos \phi \hat i + sin \theta sin \phi \hat j + cos \theta \hat k$
$\hat \phi = -sin \phi \hat i + cos \phi \hat j$
$\hat \theta = cos \theta cos \phi \hat i + cos \theta sin \phi \hat j -sin \theta \hat k$
si ha che
$\vec P = -mg cos \theta (\hat r - \hat theta) $
impostando quindi tutte le equazioni si ha che
$m \ddot \rho= F_R-mgcos\theta$
$m \ddot \phi = 0$
$m\ddot \theta = mg sin \theta$
$\rho = R$ e questa indica che il moto avviene sulla sfera
ecco...ora da questa equazione, $m\ddot \theta = mg sin \theta$ mi ero ricavato, moltiplicando a destra e sinistra per $\dot \theta$
$\dot \theta^2/2 = -g cos \theta +C_1$...
solo che arrivato a questo punto non so proprio cosa fare...non so che scegliere come coordinata lagrangiana. $\theta$? e poi, una volta risolto questo punto, poi ho problema anche nel rispondere all'ultima domanda, con quali condizioni si ha moto piano...
a me era sembrato giusto usare le coordinate sferiche e quindi i tre versori che ho detto che così ottengo equazioni un po più semplici.
in tutta la giornata non ho saputo cavare da questo esercizio altro che questo
ah mi ero scordato di mettere questo altro risultato che avevo trovato...dalla formula $\dot \theta^2/2 = -g cos \theta +C_1$ ci si può ricavare $cos \theta$ e, inserendola qua $m \ddot \rho= F_R-mgcos\theta$ mi posso ricavare la reazione vincolare in funzione di $\theta$
Un punto materiale P di massa m si muove nello spazio, restando vincolato alla superficie di una sfera S liscia di
raggio R, in presenza della gravità g.
a) Scrivere le equazioni del moto di P, dopo aver individuato un opportuno sistema di riferimento e una parametrizzazione opportuna di S.
b) Verificare che, se sono note le condizioni iniziali, `e possibile ottenere un’equazione del moto avente come incognita una sola coordinata lagrangiana.
c) Esprimere la reazione vincolare dinamica in funzione delle coordinate lagrangiane scelte e delle sue derivate
prime rispetto al tempo.
d) Dire per quali valori delle condizioni iniziali sono possibili traiettorie piane di P.
riporto ora i miei ragionamenti e i miei dubbi.
allora, come prima cosa mi metto in coordinate sferiche.userò quindi i versori $\hat r$ $\hat \rho$ $\hat \phi$ indicando con $\theta$ l'angolo tra il raggio vettore e l'asse z, mentre con $\phi$ l'angolo tra la proiezione del raggio sul piano xy del raggio e l'asse x
l'unica forza presente è la forza peso, $\vec P = -mg\hat k$. per calcolare la componente del peso lungo le direzioni $\hat r$ $\hat \rho$ $\hat \phi$ si fa il prodotto scalare tra il peso e ognuna delle direzioni
il vincolo è liscio, quindi avrà solo componente lungo $\hat r$. chiamo il modulo di questa reazione vincolare $F_R$
siccome si sa che
$\hat r = sin \theta cos \phi \hat i + sin \theta sin \phi \hat j + cos \theta \hat k$
$\hat \phi = -sin \phi \hat i + cos \phi \hat j$
$\hat \theta = cos \theta cos \phi \hat i + cos \theta sin \phi \hat j -sin \theta \hat k$
si ha che
$\vec P = -mg cos \theta (\hat r - \hat theta) $
impostando quindi tutte le equazioni si ha che
$m \ddot \rho= F_R-mgcos\theta$
$m \ddot \phi = 0$
$m\ddot \theta = mg sin \theta$
$\rho = R$ e questa indica che il moto avviene sulla sfera
ecco...ora da questa equazione, $m\ddot \theta = mg sin \theta$ mi ero ricavato, moltiplicando a destra e sinistra per $\dot \theta$
$\dot \theta^2/2 = -g cos \theta +C_1$...
solo che arrivato a questo punto non so proprio cosa fare...non so che scegliere come coordinata lagrangiana. $\theta$? e poi, una volta risolto questo punto, poi ho problema anche nel rispondere all'ultima domanda, con quali condizioni si ha moto piano...
a me era sembrato giusto usare le coordinate sferiche e quindi i tre versori che ho detto che così ottengo equazioni un po più semplici.
in tutta la giornata non ho saputo cavare da questo esercizio altro che questo
ah mi ero scordato di mettere questo altro risultato che avevo trovato...dalla formula $\dot \theta^2/2 = -g cos \theta +C_1$ ci si può ricavare $cos \theta$ e, inserendola qua $m \ddot \rho= F_R-mgcos\theta$ mi posso ricavare la reazione vincolare in funzione di $\theta$
Risposte
Guarda, hai fatto un po' di confusione con le notazioni, le lettere greche intendo. In ogni modo, perchè non procedi da subito con le sole variabili $[phi]$ e $[theta]$? Inoltre, puoi utilizzare le equazioni di Lagrange?
dovrei aver corretto gli errori...ci sta con tutte quelle cose mi sia comunque sfuggito dell'altro
...dici di impostare una cosa del tipo
$x= Rsin\theta cos\phi$
$y= Rsin\theta sin\phi$
$z= Rcos \theta$
per definire la sfera
e poi impostare
$m\ddot x = F_Rsin\theta cos\phi$
$m\ddot y = F_R sin\theta sin\phi$
$m \ddot z = F_R cos \theta - mg$
queste equazioni erano quelle che avevo impostato inizialmente per risolvere questo esercizio. solo che non ne ero riuscito a cavare niente
quello che avevo ricavato è stato
$m \ddot x = F_R/R x$
$m \ddot y = F_R/R y$
$m \ddot z = F_R/r z-mg$
e non riuscivo a andare avanti oltre
...dici di impostare una cosa del tipo
$x= Rsin\theta cos\phi$
$y= Rsin\theta sin\phi$
$z= Rcos \theta$
per definire la sfera
e poi impostare
$m\ddot x = F_Rsin\theta cos\phi$
$m\ddot y = F_R sin\theta sin\phi$
$m \ddot z = F_R cos \theta - mg$
queste equazioni erano quelle che avevo impostato inizialmente per risolvere questo esercizio. solo che non ne ero riuscito a cavare niente
quello che avevo ricavato è stato
$m \ddot x = F_R/R x$
$m \ddot y = F_R/R y$
$m \ddot z = F_R/r z-mg$
e non riuscivo a andare avanti oltre
Ok. Volevo però sapere se puoi procedere con la Lagrangiana o se sei costretto ad utilizzare $[vecF=mveca]$.
al corso non è stata ancora introdotta. quindi devo procedere con l'utilizzo della prima cardinale...
"eugeniobene58":
...siccome si sa che
$\hat r = sin \theta cos \phi \hat i + sin \theta sin \phi \hat j + cos \theta \hat k$
$\hat \phi = -sin \phi \hat i + cos \phi \hat j$
$\hat \theta = cos \theta cos \phi \hat i + cos \theta sin \phi \hat j -sin \theta \hat k$
si ha che
$\vec P = -mg cos \theta (\hat r - \hat theta) $
impostando quindi tutte le equazioni si ha che
$m \ddot \rho= F_R-mgcos\theta$
$m \ddot \phi = 0$
$m\ddot \theta = mg sin \theta$
Io procederei in coordinate sferiche utilizzando i soliti versori legati agli assi coordinati. Volendo, si può esprimere tutto in funzione dei versori sulla sfera, come sembra tu stia facendo. Tuttavia, sei sicuro che l'accelerazione possa essere espressa in questo modo:
$[veca=ddotrhatr+ddotphihatphi+ddotthetahattheta]$
Non tornerebbe nemmeno dimensionalmente. Ti hanno mostrato come si ricava l'accelerazione in coordinate polari, nel corso dello studio del moto dei pianeti? Si lavora sul piano e, nonostante questo, è piuttosto articolato.
verissimo!!!
si, il conto s'è fatto in classe e non è molto simpatico, menomale lo ho già sul quaderno
$\vec a_P =(\ddot r - r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta)\hat r + (r \ddot \theta + 2\dot r \dot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) \hat \theta + [(r\ddot \phi + 2\dot r \dot \phi)sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta]\hat \phi$
togliendo tutte le derivate di $r$ che sono nulle, si ottiene
$m (- r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta) = F_R - mg cos\theta$
$m(r \ddot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) = mg sin \theta$
$m (r\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta) = 0$
ok. questo mi da altro su cui riflettere...ringrazio molto...casomai mi dovessi ribloccare mi faccio risentire
si, il conto s'è fatto in classe e non è molto simpatico, menomale lo ho già sul quaderno
$\vec a_P =(\ddot r - r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta)\hat r + (r \ddot \theta + 2\dot r \dot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) \hat \theta + [(r\ddot \phi + 2\dot r \dot \phi)sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta]\hat \phi$
togliendo tutte le derivate di $r$ che sono nulle, si ottiene
$m (- r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta) = F_R - mg cos\theta$
$m(r \ddot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) = mg sin \theta$
$m (r\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta) = 0$
ok. questo mi da altro su cui riflettere...ringrazio molto...casomai mi dovessi ribloccare mi faccio risentire
Ok. Solo per dirti che il problema del punto materiale vincolato a muoversi su una superficie è spesso trattato nei manuali di meccanica razionale. Inoltre, può capitare di trovare proprio la superficie sferica come caso concreto.
ho provato a vedere i testi che ci ha detto che segue. sono entrambe dispense di ex prof del corso di razionale dell'università di pisa. le dispense di Mattei e di Amendola e non c'è in entrambi...siccome ho anche il Goldstein in casa, provo a vedere li...ma tutto questo domattina.
No, non mi pare tu possa trovarlo sul Goldstein.
P.S.
Se avessi potuto procedere con strumenti più avanzati:
$[P-O=Rcosphisinthetahati+Rsinphisinthetahatj+Rcosthetahatk] rarr$
$rarr [vecv_P=(-Rdotphisinphisintheta+Rdotthetacosphicostheta)hati+(Rdotphicosphisintheta+Rdotthetasinphicostheta)hatj-Rdotthetasinthetahatk]$
$[L=T-U=1/2mR^2dotphi^2sin^2theta+1/2mR^2dottheta^2-mgRcostheta]$
$[(d)/(dt)(delL)/(deldotphi)-(delL)/(delphi)=0] rarr [(d)/(dt)(mR^2dotphisin^2theta)=0] rarr [mR^2dotphisin^2theta=C_phi]$
$[(d)/(dt)(delL)/(deldottheta)-(delL)/(deltheta)=0] rarr [ddottheta-dotphi^2sinthetacostheta-g/Rsintheta=0]$
Se non altro, analizzando le equazioni del moto ottenute per questa via, in particolar modo la prima, puoi trarre gli spunti necessari al tuo procedimento.
P.S.
Se avessi potuto procedere con strumenti più avanzati:
$[P-O=Rcosphisinthetahati+Rsinphisinthetahatj+Rcosthetahatk] rarr$
$rarr [vecv_P=(-Rdotphisinphisintheta+Rdotthetacosphicostheta)hati+(Rdotphicosphisintheta+Rdotthetasinphicostheta)hatj-Rdotthetasinthetahatk]$
$[L=T-U=1/2mR^2dotphi^2sin^2theta+1/2mR^2dottheta^2-mgRcostheta]$
$[(d)/(dt)(delL)/(deldotphi)-(delL)/(delphi)=0] rarr [(d)/(dt)(mR^2dotphisin^2theta)=0] rarr [mR^2dotphisin^2theta=C_phi]$
$[(d)/(dt)(delL)/(deldottheta)-(delL)/(deltheta)=0] rarr [ddottheta-dotphi^2sinthetacostheta-g/Rsintheta=0]$
Se non altro, analizzando le equazioni del moto ottenute per questa via, in particolar modo la prima, puoi trarre gli spunti necessari al tuo procedimento.
"eugeniobene58":
$m (- r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta) = F_R - mg cos\theta$
$m(r \ddot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) = mg sin \theta$
$m (r\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta = 0$
ok...dopo che ieri sera s'era arrivati a formulare questo sistema, stamattina mi ci sono rimesso su. semplificando qualcosa
$m (- r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta) = F_R - mg cos\theta$
$ \ddot \theta - \dot \phi^2sin\theta \cos \theta = g/R sin \theta$
$\ddot \phi sin \theta +2\dot \theta \dot \phi cos \theta = 0$
una delle due equazioni che ti torna speculor è proprio la seconda di questo sistema
per quanto riguarda le altre...bè, io son qua che provo a ragionarci e a cercare di capirci qualcosa senza successo. anche perchè sinceramente non so bene cosa devo arrivare a trovare con questo sistema. poi non so nemmeno bene come mi convenga muovermici, in quanto compaiono derivate di funzioni diverse in una stessa equazione, e anche derivate al quadrato
uno dei tentativi che ho fatto è di ricavarmi $\dot \phi^2$ dalla 2 per sostituirlo nella 3, e ho trovato
$\ddot theta = (-F_R cos \theta - mg + m R\dot \theta^2)/(mRsin\theta)$ ...ma no so nemmeno che farci
Considera questa tua:
$[m(r\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta)=0] rarr [\ddot \phi sin \theta +2\dot \theta \dot \phi cos \theta=0]$
e confrontala con questa mia:
$[(d)/(dt)(delL)/(deldotphi)-(delL)/(delphi)=0] rarr [(d)/(dt)(mR^2dotphisin^2theta)=0] rarr [mR^2dotphisin^2theta=C_phi]$
$[m(r\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta)=0] rarr [\ddot \phi sin \theta +2\dot \theta \dot \phi cos \theta=0]$
e confrontala con questa mia:
$[(d)/(dt)(delL)/(deldotphi)-(delL)/(delphi)=0] rarr [(d)/(dt)(mR^2dotphisin^2theta)=0] rarr [mR^2dotphisin^2theta=C_phi]$
la mia è proprio la derivata della tua...ma quindi integrando devo risalire a quella li? ...più che altro...non ci sarei mai arrivato, né al fatto che dovevo integrare, né a ricavarmi la primitiva
Ok. Per la precisione:
$[ddot phisintheta+2dotphidotthetacostheta=0] rarr$
$rarr [ddotphisin^2theta+2dotphidotthetasinthetacostheta=0] rarr$
$rarr [(d)/(dt)(dotphisin^2theta)=0] rarr$
$rarr [dotphisin^2theta=C_phi/(mR^2)]$
La costante $[C_phi]$ o $[C_phi/(mR^2)]$ che dir si voglia, dipende dalle condizioni iniziali alle quali faceva riferimento il testo.
$[ddot phisintheta+2dotphidotthetacostheta=0] rarr$
$rarr [ddotphisin^2theta+2dotphidotthetasinthetacostheta=0] rarr$
$rarr [(d)/(dt)(dotphisin^2theta)=0] rarr$
$rarr [dotphisin^2theta=C_phi/(mR^2)]$
La costante $[C_phi]$ o $[C_phi/(mR^2)]$ che dir si voglia, dipende dalle condizioni iniziali alle quali faceva riferimento il testo.
ok dovrei aver trovato qualcosa di buono
non capisco come tu ti trovi il $C_(\phi)/(mR^2)$ ma poco importa, può essere chiamato tutto con il nome di una nuova costante
$dotphisin^2theta=C_phi$
ho chiamato $q$, quindi ho scelto come coordinata lagrangiana, l'angolo $\theta$
a questo punto
$\dot \phi = C_(phi)/(sin q)$
per trovare la reazione del vincolo in funzione della coordinata lagrangiana e delle sue derivate, che è la seconda richiesta, sostituisco $\dot \phi$ nella prima equazione e viene
$F_R = m (-R\dot q^2 - (RC_(\phi)^2)/(sin^2 q) + g cos q)$ e dovremmo esserci
...per quanto riguarda la domanda 3. dire per quali valori delle condizioni iniziali sono possibili traiettorie piane. quindi credo che bisogni trovare delle limitazioni per $C_(\phi)$
io pensavo, per caratterizzare un moto piano, di dire che la posizione e la velocità siano sempre complanari
ora, in coordinate sferiche, la posizione è data da
$OP = R \hat r$
mentre la velocità è data da $\vec V_P = R \dot \phi sin \theta \hat \theta + R \dot \theta \hat \theta$
mettendo tutto in funzione della coordinata lagrangiana scelta
$\vec V_P = R \dot q \hat \phi + (RC_(\phi))/(sin q) \hat \theta$
affinchè siano complanari deve essere che
$R \dot q = 0$ $rarr$ $q = cost $ $rarr$ $\theta = cost$
$(RC_(\phi))/(sin q) = 0$ $rarr$ $C_(\phi) = 0$ e inoltre $q != 0 ^^ q != \pi$ in quanto nelle coordinate sferiche $0<= \theta <= \pi$
non capisco come tu ti trovi il $C_(\phi)/(mR^2)$ ma poco importa, può essere chiamato tutto con il nome di una nuova costante
$dotphisin^2theta=C_phi$
ho chiamato $q$, quindi ho scelto come coordinata lagrangiana, l'angolo $\theta$
a questo punto
$\dot \phi = C_(phi)/(sin q)$
per trovare la reazione del vincolo in funzione della coordinata lagrangiana e delle sue derivate, che è la seconda richiesta, sostituisco $\dot \phi$ nella prima equazione e viene
$F_R = m (-R\dot q^2 - (RC_(\phi)^2)/(sin^2 q) + g cos q)$ e dovremmo esserci
...per quanto riguarda la domanda 3. dire per quali valori delle condizioni iniziali sono possibili traiettorie piane. quindi credo che bisogni trovare delle limitazioni per $C_(\phi)$
io pensavo, per caratterizzare un moto piano, di dire che la posizione e la velocità siano sempre complanari
ora, in coordinate sferiche, la posizione è data da
$OP = R \hat r$
mentre la velocità è data da $\vec V_P = R \dot \phi sin \theta \hat \theta + R \dot \theta \hat \theta$
mettendo tutto in funzione della coordinata lagrangiana scelta
$\vec V_P = R \dot q \hat \phi + (RC_(\phi))/(sin q) \hat \theta$
affinchè siano complanari deve essere che
$R \dot q = 0$ $rarr$ $q = cost $ $rarr$ $\theta = cost$
$(RC_(\phi))/(sin q) = 0$ $rarr$ $C_(\phi) = 0$ e inoltre $q != 0 ^^ q != \pi$ in quanto nelle coordinate sferiche $0<= \theta <= \pi$
no scusa, affinchè siano complanari si deve annullare o una o l'altra delle due componenti della velocità. non possono esserci componenti sia lungo $\hat \theta$ che $\hat \phi$ contemporaneamente.
però non so se va bene come condizione per definire un moto piano
però non so se va bene come condizione per definire un moto piano
"eugeniobene58":
io pensavo, per caratterizzare un moto piano, di dire che la posizione e la velocità siano sempre complanari
In realtà, ad ogni istante, il raggio vettore e la velocità sono sempre complanari, per qualsiasi moto. Il moto piano è caratterizzato dal fatto che il piano che contiene il raggio vettore e la velocità è sempre lo stesso in tutti gli istanti. Questo è garantito se la direzione del momento angolare L è costante. Infatti, se consideri la definizione vettoriale del momento angolare, ti accorgi che ad ogni istante L è perpendicolare al piano formato da r e v. Se la direzione di L è costante, quindi, lo sarà anche il piano contenente la traiettoria.
molto vero...ora verifico subito
ritiro fuori dalla polvere questa discussione perchè il mio prof mi ha chiesto altre cose sulla base di questo esercizio, così ci sono già tutti quei dati che potrebbero essere utili
queste sono le nuove richieste
a) Calcolare l'energia cinetica T di P e il momento polare $\vec K_O$ di P rispetto al centro O della sfera S in funzione
delle coordinate sferiche $\theta$ e $\phi$ e delle sue derivate. Esprimere le componenti di $\vec K_O$ sia rispetto ai versori della terna fissa, sia rispetto ai versori $\hat r$, $\hat \theta$, $\hat phi$
.
b) Utilizzando opportuni principi di conservazione, ricavare nuovamente le equazioni del moto di P
ok....
come prima cosa, per l'energia cinetica di P, pensavo di prendere la formula che indica la velocità di un punto in coordinate sferiche che sarebbe
$\vec v_P = \dot r \hat r + r \dot \phi sin \theta \hat \phi + r \dot \theta \hat \theta$
dove la componente $\hat r$ è nulla, e con questa fare $T = 1/2 m |\vec v_P|^2$
poi sempre con la stessa formula calcolare $\vec K_O$
solo che pensavo...ma se alla fine dei conti mi devo trovare le equazioni del moto di P, che sono queste
ma da dove mi verrebbero fuori $m\vec g$ e $\vec F_R$ ?
perchè quello che pensavo di fare era scrivere conservazione energia meccanica, quantità di moto $\vec Q$ e momento angolare $\vec K_O$ e derivarle rispetto al tempo
queste sono le nuove richieste
a) Calcolare l'energia cinetica T di P e il momento polare $\vec K_O$ di P rispetto al centro O della sfera S in funzione
delle coordinate sferiche $\theta$ e $\phi$ e delle sue derivate. Esprimere le componenti di $\vec K_O$ sia rispetto ai versori della terna fissa, sia rispetto ai versori $\hat r$, $\hat \theta$, $\hat phi$
.
b) Utilizzando opportuni principi di conservazione, ricavare nuovamente le equazioni del moto di P
ok....
come prima cosa, per l'energia cinetica di P, pensavo di prendere la formula che indica la velocità di un punto in coordinate sferiche che sarebbe
$\vec v_P = \dot r \hat r + r \dot \phi sin \theta \hat \phi + r \dot \theta \hat \theta$
dove la componente $\hat r$ è nulla, e con questa fare $T = 1/2 m |\vec v_P|^2$
poi sempre con la stessa formula calcolare $\vec K_O$
solo che pensavo...ma se alla fine dei conti mi devo trovare le equazioni del moto di P, che sono queste
"eugeniobene58":
$m (- r\dot \theta^2 - r\dot \phi^2 sin^2\theta) = F_R - mg cos\theta$
$m(r \ddot \theta - r\dot \phi^2sin\theta \cos \theta) = mg sin \theta$
$\ddot \phi sin \theta +2r\dot \theta \dot \phi cos \theta = 0$
ma da dove mi verrebbero fuori $m\vec g$ e $\vec F_R$ ?
perchè quello che pensavo di fare era scrivere conservazione energia meccanica, quantità di moto $\vec Q$ e momento angolare $\vec K_O$ e derivarle rispetto al tempo
a parte il fatto che quello che volevo fare è completamente inutile...ripensandoci con altri miei amici siamo giunti alla conclusione che bisogna impostare la conservazione dell'energia meccanica, e fin qua ci siamo.
e poi si imposta la conservazione della quantità di moto lungo la direzione $\hat \phi$ in quanto la derivata della velocità lungo questa direzione è = 0, e quindi la velocità è costante.
per il resto non si sa come cavarci le gambe
e poi si imposta la conservazione della quantità di moto lungo la direzione $\hat \phi$ in quanto la derivata della velocità lungo questa direzione è = 0, e quindi la velocità è costante.
per il resto non si sa come cavarci le gambe
nessun aiutino ?? 
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