[EX]Mecc. Raz. Coordinate lagrangiane

[ansawo]

questo è l'esercizo

Sono dati un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz “fisso” nello spazio, la parabola γ di equazioni cartesiane

$\{(2ay-z^2 = 0),(x=0):}$

e la semiretta s di equazioni $\{(y=a),(x>=0), (z=0):}$

Due punti P1 e P2 si muovono nello spazio: P1 vincolato a scorrere su γ, P2 vincolato a
scorrere su s, inoltre $|P_1P_2| =sqrt(2)$

a) Individuare una coordinata lagrangiana q atta a descrivere le posizioni di P1 e P2 e delimitarla opportunamente.
b) Esprimere $\vec v_(P1), \vec v_(P2), \vec a_(P1), \vec a_(P2)$ in funzione di q e delle sue derivate temporali prime e seconde.
c) Sostituire i punti P1 e P2 con una sbarretta rigida di lunghezza$sqrt(2)$ Detto Ps un generico punto della sbarretta,
esprimere $\vec v_(Ps)$ e $\vec a_(Ps)$ in funzione di q e delle sue derivate temporali prime e seconde

allora per la risoluzione.

io ho scelto come coordinata lagrangiana q la coordinata x del punto $P_2$

detto questo mi trovo, dalla relazione $|P_1 P_2| = sqrt(2)$ la limitazione su q, cioè

$0<= q <= sqrt((12a^4 - z_2^4)/(4a^2))$ e, siccome la radice deve avere argomento positivo, si trova che

$z_2 = root(4)(12a^4-4a^2q^2)$

e anche la limitazione su $z_2 to -root(4)(12) a<=z_2<=root(4)(12) a$

ora, mettendo queste cose nelle coordinate delle due curve, $\gamma$ e $s$ e derivando beceramente, si ottengono tutte le risposte al punto b, la cosa quindi non è complicata

...quello che non mi torna proprio è come fare il punto c...sarebbe molto gradita una mano, che davvero non so da dove iniziare

[Sk_Anonymous]

Intanto, se:

$P_1(0,z^2/(2a),z) ^^ P_2(x,a,0) ^^ [x>=0]$

si ottiene:

$[x^2+a^2-z^2+z^4/(4a^2)+z^2=2a^2] rarr$

$rarr [x^2+z^4/(4a^2)-a^2=0] rarr$

$rarr [z^4=4a^2(a^2-x^2)] rarr$

$rarr [z=+-root(4)(4a^2(a^2-x^2))] ^^ [0<=x<=|a|]$

Vista quella doppia determinazione, conviene senz'altro esprimere $[x]$ in funzione di $[z]$:

$[x=sqrt(a^2-z^4/(4a^2))] ^^ [-|a|sqrt2<=z<=|a|sqrt2]$

In definitiva:

$P_1(0,q^2/(2a),q) ^^ P_2(sqrt(a^2-q^4/(4a^2)),a,0) ^^ [-|a|sqrt2<=q<=|a|sqrt2]$

[ansawo]

ops, ho fatto un piccolo errore nel ricopiare il testo. spero non sia grave...la lunghezza $|P_1P_2| = sqrt(2)a$...c'è un a che non ho messo...

mi scuso davvero tanto per l'errore di trascrizione, sono mortificato

per questo credo che a non abbia bisogno di limitazioni...

comunque, sbaglio o hai preso un altra coordinata te?

[Sk_Anonymous]

Ho modificato. In ogni modo, le soluzioni ancora non corrispondono. Inoltre, ho preferito esprimere tutto in funzione di $[z]$ per non avere la doppia determinazione di cui ho parlato in precedenza. Per quanto riguarda l'ultimo punto, ti conviene parametrizzare un generico punto della sbarretta mediante la seguente formula:

$[P(q,s)=P_1(q)+s(P_2(q)-P_1(q))] ^^ [0<=s<=1]$

e derivare rispetto a $[q]$. Ovviamente, avendolo già fatto per gli estremi della sbarretta, puoi procedere più speditamente servendoti delle formule che hai ricavato al punto precedente.

[ansawo]

Grazie mille speculor...ti ringrazio tanto...la mia preoccupazione per il punto c era di dove usare la formula fondamentale del moto rigido...solo che in classe non si era fatta la forma in 3D per questo dubitavo di questa mia scelta..ora provo i conti

[Sk_Anonymous]

Ho capito ma, di grazia, per quale motivo le tue soluzioni sono differenti dalle mie? Mi sto riferendo a quelle ottenute esprimendo tutto in funzione di $[x]$.

[ansawo]

ho sbagliato io...ho messo $4a^2$ invece che che $2a^2$...è radice di 2 al quadrato...che palle faccio errori scemi...