[EX]centro di massa e tensore di inerzia

ansawo
Data la terna T ortogonale Oxyz e la linea L spezzata OABC di massa m e omogenea, con A  (l, 0, 0), B  (l, l, 0),
C  (l, l, l) , con l > 0.
a) Determinare la posizione del baricentro di L nella terna $\tau$ .
b) Determinare il tensore d'inerzia di L nella terna $\tau $ .
c) Determinare i momenti d'inerzia di L rispetto a una terna principale $\tau '$ avente origine in O e le equazioni
parametriche (nella terna $\tau$ ) delle rette che forniscono una terna di assi principali per L.
d) Determinare i coseni direttori dei versori degli assi di $\tau '$ nella terna $\tau$

io pensavo di fare così

siccome questa nostra spezzata è omogenea e le lunghezze dei tre segmenti di cui è composta sono uguali, ogni sbarrettina, che chiamerò OA = 1 AB = 2 BC = 3, ha un suo centro di messa nel mezzo della sua lunghezza

per calcolarmi quindi il centro di massa complessivo, facevo il centro di massa di questi centri di massa

si ha che $OG_1 = (l/2 , 0 , 0)$ $OG_2 = (l , l/2 , 0)$ $OG_3 = (l , l , l/2)$

$OG = m/3(OG_1 + OG_2 + OG_3)/m$ e mi viene $OG = (5/6 l , l/2 , l/6)$

per calcolare il tensore di inezia ho fatto

preso un versore $\hat u = (\alpha , \beta , \gamma)$

$d^2_i = det ((\hat i,\hat j,\hat k),(\alpha,\beta,\gamma),(X_(Gi),Y_(Gi),Z_(Gi)))$ con $i = 1 , 2 , 3$

intendendo con $d_i$ la distanza del centro di massa della sbarra i dalla retta di versore $\hat u$

e ho impostato che $I=m/3 \sum_{i=1}^3 d_i ^2$

a questo punto ho svolto tutti i calcoli che ci sono da fare e raggruppato in modo da avere tutti i termini in $\alpha ^2$ $\beta ^2$ e in modo da avere in coefficiente 2 davanti ai doppi prodotti tipo $\alpha \gamma$

quindi, con tutti i termini così raggruppati basta soltanto inserirli nella matrice nell'ordine corretto per avere il tensore...

è che non sono sicuro di quel che ho fatto, e quindi mi farebbe piacere avere un check su quanto fatto fin ora :)

Risposte
ansawo
ok questo lo ho risolto. e ho capito anche i miei errori. non va bene considerare il solo centro di massa e fare la sua distanza da O per calcolare le inerzie...bisogna impostare gli integrali. in questo caso comunque sono molto semplici

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