[EX] Ruote che si toccano
Ciao, amici! Due ruote $B$ e $C$, entrambe di massa $M$, raggio $R_0$ e momento di inerzia $I$, girano senza attrito su assi paralleli. La ruota $C$ ha velocità angolare \(\omega_0\mathbf{k}\) e la ruota $B$ è ferma quando i loro bordi vengono posti a contatto. Immediatamente dopo i moduli delle loro velocità angolari sono uguali per contatto: \(\boldsymbol{\omega}_C=\omega\mathbf{k}\) e \(\boldsymbol{\omega}_B=-\omega\mathbf{k}\). Si vuole dimostrare che il momento esercitato su ciascuna ruota rispetto all'asse è \(-F R_0\mathbf{k}\) dove $F$ è il modulo della forza d'attrito -cosa che mi sembra del tutto banale e su cui qui non mi soffermo-, che (a) $\omega=1/2\omega_0$ e (b) calcolare il momento angolare finale del sistema [sic].
a) Data l'espressione per il momento meccanico \(F R_0\mathbf{k}\) e l'espressione del lavoro $\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_zd\theta$, ovvero $-F R_0\Delta\theta$, per il nostro momento costante, avrei detto che, per il $\Delta\theta_B=\<0$ percorso da $B$ si abbia $-F R_0\Delta\theta_B=\Delta K_B=\frac{1}{2}I\omega^2$ e, per il $\Delta\theta_C=-\Delta\theta_B$ percorso da $C$ si abbia $-F R_0\Delta\theta_C=F R_0\Delta\theta_B=\frac{1}{2}I\omega^2-\frac{1}{2}I\omega_0^2$, ossia $\frac{1}{2}I\omega^2-\frac{1}{2}I\omega_0^2=-\frac{1}{2}I\omega^2$ e $\omega=\frac{1}{\sqrt{2}}\omega_0$, che è sbagliato...
b) Mi viene da pensare che il testo saggi piuttosto l'attenzione del lettore al fatto che il momento angolare è definito rispetto ad un punto e non in via intrinseca come potrebbe apparire dalla domanda...
$\infty$ grazie a tutti!
a) Data l'espressione per il momento meccanico \(F R_0\mathbf{k}\) e l'espressione del lavoro $\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_zd\theta$, ovvero $-F R_0\Delta\theta$, per il nostro momento costante, avrei detto che, per il $\Delta\theta_B=\<0$ percorso da $B$ si abbia $-F R_0\Delta\theta_B=\Delta K_B=\frac{1}{2}I\omega^2$ e, per il $\Delta\theta_C=-\Delta\theta_B$ percorso da $C$ si abbia $-F R_0\Delta\theta_C=F R_0\Delta\theta_B=\frac{1}{2}I\omega^2-\frac{1}{2}I\omega_0^2$, ossia $\frac{1}{2}I\omega^2-\frac{1}{2}I\omega_0^2=-\frac{1}{2}I\omega^2$ e $\omega=\frac{1}{\sqrt{2}}\omega_0$, che è sbagliato...
b) Mi viene da pensare che il testo saggi piuttosto l'attenzione del lettore al fatto che il momento angolare è definito rispetto ad un punto e non in via intrinseca come potrebbe apparire dalla domanda...
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Ti propongo due domande:
-secondo te l'energia si conserva? prova a motivare la risposta.
-secondo te il momento angolare si conserva? si direbbe di no visto che alla fine il momento angolare è nullo. E allora come giustifichi il fatto?
-secondo te l'energia si conserva? prova a motivare la risposta.
-secondo te il momento angolare si conserva? si direbbe di no visto che alla fine il momento angolare è nullo. E allora come giustifichi il fatto?
"Falco5x":Avrei detto di sì per come ho risposto alla (a), ma a quanto pare, sbaglio. Suppongo che una parte di energia meccanica si dissipi convertendosi diciamo in calore.
-secondo te l'energia si conserva? prova a motivare la risposta.
"Falco5x":Rispetto a quale punto ti riferisci? Rispetto ad un punto qualsiasi sull'asse di rotazione di $C$ all'inizio è chiaramente, per la simmetria della ruota, $I\omega_0\mathbf{k}$, ma alla fine è \(\ell_C+\ell_B=I\omega\mathbf{k}+\ell_B\), dove \(\ell_B=\int_B\rho\mathbf{r}\times\mathbf{v}dV\), dove $\mathbf{r}$ è la posizione del punto (di $B$) rispetto al centro di $C$, non mi sembra troppo agevole da calcolare.
-secondo te il momento angolare si conserva? si direbbe di no visto che alla fine il momento angolare è nullo.
La prima risposta è giusta. Infatti la forza di attrito fa sì che lo strisciamento reciproco tra le superfici delle due ruote consumi energia. Per calcolare la velociità finale usa un altro metodo.
Riguardo al secondo punto il momento angolare di un corpo che ruota attorno al suo centro di massa che sta fermo è invariante qualunque sia il polo rispetto al quale lo calcoli. Pertanto il momento angolare della ruota 1 è uguale e contrario a quello della ruota due, dunque il momento angolare totale è zero.
Riguardo al secondo punto il momento angolare di un corpo che ruota attorno al suo centro di massa che sta fermo è invariante qualunque sia il polo rispetto al quale lo calcoli. Pertanto il momento angolare della ruota 1 è uguale e contrario a quello della ruota due, dunque il momento angolare totale è zero.
"Falco5x":Penso che si debba supporre la distribuzione di massa simmetrica rispetto all'asse di rotazione del corpo, rigido, in rotazione, giusto? In tal caso il mio testo dimostra come si ha sempre che, scegliendo come polo un punto $C$ qualunque sull'asse di rotazione, vale \(\mathbf{L}_C=I\boldsymbol{\omega}\). Chiamando $P_i$ il punto dove si trova la massa $m_i$, $O$ un punto qualunque e $C$ un punto sull'asse di rotazione del corpo, tenendo conto poi che (considero un corpo rigido costituito da masse puntiformi discrete, ma si generalizza il tutto ponendo \(\mathbf{p}_i=m_i\mathbf{v}_i=\rho_i\mathbf{v}_i\Delta V_i\) e calcolando i limiti al tendere dei $\Delta V_i$ a 0, integrando -si nota che non mi piacciono proprio le notazioni tipo \(dm=\rho dV\)?
Riguardo al secondo punto il momento angolare di un corpo che ruota attorno al suo centro di massa che sta fermo è invariante qualunque sia il polo rispetto al quale lo calcoli.
-)\[\mathbf{L}_O =\sum_i \overrightarrow{OP_i}\times \mathbf{p}_i=\sum_i(\overrightarrow{OC}\times \mathbf{p}_i)+\sum_i (\overrightarrow{CP_i}\times \mathbf{p}_i)=\overrightarrow{OC}\times\Big(\sum_i \mathbf{p}_i\Big)+ \mathbf{L}_C\]ma \(\sum_i \mathbf{p}_i=\mathbf{0}\) a causa della simmetria del corpo rotante -me ne sono accorto facendo un disegnino... 
- e quindi \(\mathbf{L}_O=\mathbf{L}_C=I\boldsymbol{\omega}\) per qualunque punto. Grazie di cuore di avermi fatto notare questa cosa, ché la tua osservazione mi ha acceso la 
per dimostrarla..."Falco5x":Mmh... Qui non mi viene in mente proprio niente...
Per calcolare la velociità finale usa un altro metodo.
Grazie ancora a te e a chiunque intervenga!
Adesso non ho tempo per dimostrarlo, ma penso che la simmetria non importi, basta che ruoti attorno al CM immobile. E per l'altro metodo di calcolo pensa a momenti e accelerazioni angolari. E poi mi devi dire se il momento angolare non si conserva dove sono i momenti che lo azzerano.
"Falco5x":Prendiamo per comodità come polo un punto sull'asse di rotazione di $C$. A parte l'attrito reciproco, che esercita un momento interno che non fa variare \(\mathbf{L}\), direi che le altre forze agenti siano quelle che spostano l'asse di $B$ verso $C$, ma tale forza mi sembra collineare alla congiungente i due assi e applicata all'asse di $B$, quindi con momento nullo
E poi mi devi dire se il momento angolare non si conserva dove sono i momenti che lo azzerano.
Senz'altro sbaglio qualcosa...
Il momento è offerto dalla reazione dei cuscinetti che sorreggono i perni.
"Falco5x":Hai un suggerimento su come possa essere quantificato tale momento, che chiamo \(\sum\mathbf{\tau}_{\text{ext}}\), in modo da integrarlo per ottenere \(\Delta\mathbf{L}=\int_{t_i}^{t_f}\sum\mathbf{\tau}_{\text{ext}}dt\)?
Il momento è offerto dalla reazione dei cuscinetti che sorreggono i perni.
Tempo fa, rispondendo a un ragazzo, misi questa soluzione, che per il suo esercizio era sbagliata. Risulta invece esatta per il tuo esercizio.
Il primo disco, che chiamo $A$ , è dotato di moto rotatorio attorno ad un asse mobile; il secondo, che chiamo $B$ , è inizialmente fermo, imperniato su di un asse fisso, che è parallelo all'asse di $A$. Si fa spostare il disco $A$ traslando il suo asse con una certa velocità $v_0$ fino a quando il disco A tocca il disco B.
Quando $A$ tocca $B$, innanzitutto si può dire che avviene un urto anelastico; i due assi non si muovono più.
C'è inevitabilmente un brevissimo periodo di strisciamento tra i due dischi, perché A deve trasferire a B un impulso angolare, e lo può fare solo se nel contatto nasce uno strisciamento e quindi una forza di attrito tangenziale $F_t$. L'impulso angolare deve uguagliare la variazione del momento angolare del disco B . Pertanto, sul disco A si ha :
$R\int_0^tF_tdt = I_A(\omega_(A2) - \omega_(A1)) = 1/2 m_AR^2* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) $
dove ovviamente la velocità angolare finale del disco $A$ è inferiore a quella iniziale. Sul volano B si ha la stessa relazione, ma la velocità angolare iniziale di $B$ è zero : :
$R\int_0^tF_tdt = I_B\omega_(B2) = 1/2 m_BR^2 *\omega_(B2) $
il pedice $2$ si riferisce a "dopo l'urto" e il pedice $1$ a "prima dell'urto" , e il raggio$R$ è uguale per entrambi i dischi.
I due impulsi devono essere uguali ed opposti , quindi uguagliando i secondi membri, ma cambiando di segno all'impulso subito dal disco B, e semplificando i fattori uguali, si ha:
$ m_A* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) = - m_B *\omega_(B2) $--------(1)
Inoltre quando finisce la fase di strisciamento le velocità angolari dei due dischi devono essere uguali , perché in ogni caso deve valere l'uguaglianza delle velocità tangenziali, per cui sarebbe :
$\omega_(A2)*R_A = \omega_(B2)*R_B$ , e noi abbiamo che $R_A = R_B = R $ . Percio :
$\omega_(A2) = \omega_(B2)$-----------(2)
Le (1) e (2) permettono di ricavare la velocità angolare finale dei due dischi :
$\omega_(A2) = \omega_(B2) =\omega_(A1)/(1 + (m_B/m_A)) $
Naturalmente occorre sostituire i valori delle masse dei due dischi. SE sono uguali, risulta che la velocità angolare finale di ciascun disco è la metà di quella iniziale del disco A .
Si potrebbe, volendo, anche calcolare la durata della fase di strisciamento.
Ciascun disco, alla fine, ha un certo momento angolare proprio rispetto al proprio asse. MA la somma dei due momenti angolari è nulla. Le velocità angolari di A e di B sono uguali in valore, ma opposte in verso.
Il primo disco, che chiamo $A$ , è dotato di moto rotatorio attorno ad un asse mobile; il secondo, che chiamo $B$ , è inizialmente fermo, imperniato su di un asse fisso, che è parallelo all'asse di $A$. Si fa spostare il disco $A$ traslando il suo asse con una certa velocità $v_0$ fino a quando il disco A tocca il disco B.
Quando $A$ tocca $B$, innanzitutto si può dire che avviene un urto anelastico; i due assi non si muovono più.
C'è inevitabilmente un brevissimo periodo di strisciamento tra i due dischi, perché A deve trasferire a B un impulso angolare, e lo può fare solo se nel contatto nasce uno strisciamento e quindi una forza di attrito tangenziale $F_t$. L'impulso angolare deve uguagliare la variazione del momento angolare del disco B . Pertanto, sul disco A si ha :
$R\int_0^tF_tdt = I_A(\omega_(A2) - \omega_(A1)) = 1/2 m_AR^2* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) $
dove ovviamente la velocità angolare finale del disco $A$ è inferiore a quella iniziale. Sul volano B si ha la stessa relazione, ma la velocità angolare iniziale di $B$ è zero : :
$R\int_0^tF_tdt = I_B\omega_(B2) = 1/2 m_BR^2 *\omega_(B2) $
il pedice $2$ si riferisce a "dopo l'urto" e il pedice $1$ a "prima dell'urto" , e il raggio$R$ è uguale per entrambi i dischi.
I due impulsi devono essere uguali ed opposti , quindi uguagliando i secondi membri, ma cambiando di segno all'impulso subito dal disco B, e semplificando i fattori uguali, si ha:
$ m_A* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) = - m_B *\omega_(B2) $--------(1)
Inoltre quando finisce la fase di strisciamento le velocità angolari dei due dischi devono essere uguali , perché in ogni caso deve valere l'uguaglianza delle velocità tangenziali, per cui sarebbe :
$\omega_(A2)*R_A = \omega_(B2)*R_B$ , e noi abbiamo che $R_A = R_B = R $ . Percio :
$\omega_(A2) = \omega_(B2)$-----------(2)
Le (1) e (2) permettono di ricavare la velocità angolare finale dei due dischi :
$\omega_(A2) = \omega_(B2) =\omega_(A1)/(1 + (m_B/m_A)) $
Naturalmente occorre sostituire i valori delle masse dei due dischi. SE sono uguali, risulta che la velocità angolare finale di ciascun disco è la metà di quella iniziale del disco A .
Si potrebbe, volendo, anche calcolare la durata della fase di strisciamento.
Ciascun disco, alla fine, ha un certo momento angolare proprio rispetto al proprio asse. MA la somma dei due momenti angolari è nulla. Le velocità angolari di A e di B sono uguali in valore, ma opposte in verso.
Bellissima spiegazione: $\infty$ grazie!
Ti dovevo una dimostrazione (adesso ho un po' di tempo) a proposito del momento angolare invariante.
Preso un punto O qualsiasi, origine del calcolo del momento angolare, chiamo [tex]{{\bar L}_O}[/tex] il momento angolare rispetto a questo, e chiamo [tex]{{\bar L}_{CM}}[/tex] il momento angolare rispetto al CM del corpo rigido che ruota e trasla (eventualmente).
Allora posso eseguire il seguente sviluppo:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{{\bar L}_O} = \int {{{\bar r}_{O - P}} \times {{\bar v}_P}dm} = \int {\left( {{{\bar r}_{O - CM}} + {{\bar r}_{CM - P}}} \right) \times {{\bar v}_P}dm} = \int {{{\bar r}_{O - CM}} \times {{\bar v}_P}dm} + \int {{{\bar r}_{CM - P}} \times {{\bar v}_P}dm} \\
\int {{{\bar r}_{CM - P}} \times {{\bar v}_P}dm} = {{\bar L}_{CM}} \\
\int {{{\bar r}_{O - CM}} \times {{\bar v}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \int {{{\bar v}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \int {\frac{d}{{dt}}{{\bar r}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \frac{d}{{dt}}\int {{{\bar r}_P}dm} \\
\int {{{\bar r}_P}dm} = M{{\bar r}_{CM}} \\
\frac{d}{{dt}}M{{\bar r}_{CM}} = M{{\bar v}_{CM}} \\
{{\bar L}_O} = {{\bar L}_{CM}} + {{\bar r}_{O - CM}} \times M{{\bar v}_{CM}} \\
\end{array}[/tex]
Da questo ultimo risultato si vede che se la velocità del CM è nulla, il momento angolare calcolato dal punto O qualsiasi coincide col momento angolare calcolato dal CM, altrimenti se il CM si muove allora il momento angolare dipende dal punto O.
Preso un punto O qualsiasi, origine del calcolo del momento angolare, chiamo [tex]{{\bar L}_O}[/tex] il momento angolare rispetto a questo, e chiamo [tex]{{\bar L}_{CM}}[/tex] il momento angolare rispetto al CM del corpo rigido che ruota e trasla (eventualmente).
Allora posso eseguire il seguente sviluppo:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{{\bar L}_O} = \int {{{\bar r}_{O - P}} \times {{\bar v}_P}dm} = \int {\left( {{{\bar r}_{O - CM}} + {{\bar r}_{CM - P}}} \right) \times {{\bar v}_P}dm} = \int {{{\bar r}_{O - CM}} \times {{\bar v}_P}dm} + \int {{{\bar r}_{CM - P}} \times {{\bar v}_P}dm} \\
\int {{{\bar r}_{CM - P}} \times {{\bar v}_P}dm} = {{\bar L}_{CM}} \\
\int {{{\bar r}_{O - CM}} \times {{\bar v}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \int {{{\bar v}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \int {\frac{d}{{dt}}{{\bar r}_P}dm} = {{\bar r}_{O - CM}} \times \frac{d}{{dt}}\int {{{\bar r}_P}dm} \\
\int {{{\bar r}_P}dm} = M{{\bar r}_{CM}} \\
\frac{d}{{dt}}M{{\bar r}_{CM}} = M{{\bar v}_{CM}} \\
{{\bar L}_O} = {{\bar L}_{CM}} + {{\bar r}_{O - CM}} \times M{{\bar v}_{CM}} \\
\end{array}[/tex]
Da questo ultimo risultato si vede che se la velocità del CM è nulla, il momento angolare calcolato dal punto O qualsiasi coincide col momento angolare calcolato dal CM, altrimenti se il CM si muove allora il momento angolare dipende dal punto O.
Bello!!! Mi annoto questa cosa sul libro...
$\infty$ grazie: quant'è bella la fisica attraverso cui vediamo come la natura segue eleganti e meravigliosi principi matematici...
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