[EX] potenza sviluppata da una pompa
Per svuotare uno scantinato dall’acqua viene impiegata una pompa, che riesce a
spingere 5 litri/s di acqua, attraverso una manichetta di 2 cm di diametro, fino al piano
della strada, che si trova 5 m sopra il pelo dell’acqua. Che potenza sta sviluppando la
pompa?
sono molto insicuro di questa mia risoluzione...
io so che $P = (dW)/(dt)$
perfetto, applicando Bernoulli tra il punto appena fuori al piano della strada (che chiamo punto 1, e quindi tutte le cose con 1 sono riferite in quel punto) e il punto appena fuori la pompa dalla parte dello scantinato si ha che
$P = 1/2 \rho V_1^2 + P_0 + \rho g h$ con h = 5m, $P_0$ la pressione atmosferica e $V_1 = I_v /S$ che S (sezione manichetta) si ricava dal diametro della manichetta.
trovata così la pressione nel punto appena fuori la pompa, nello scantinato, si ha che $F = P S$, e, trovata F,
si può ricavare W moltiplicando F per h
trovato W faccio la derivata rispetto al tempo, e mettendo i calcoli mi viene
$F = (1/2 \rho I_v ^2/((\phi /2)^2 \pi)^2 + P_0 + \rho g h) \phi h$ con $\phi$ il diametro della manicotta
facendo la derivata si ottiene $W = (dh)/(dt) \phi (1/2 \rho I_v ^2/((\phi /2)^2 \pi)^2 + P_0 + \rho g h) $ dove $(dh)/(dt)$ è $V_1$
...ma va bene?...a me sembra proprio un bel casino
spingere 5 litri/s di acqua, attraverso una manichetta di 2 cm di diametro, fino al piano
della strada, che si trova 5 m sopra il pelo dell’acqua. Che potenza sta sviluppando la
pompa?
sono molto insicuro di questa mia risoluzione...
io so che $P = (dW)/(dt)$
perfetto, applicando Bernoulli tra il punto appena fuori al piano della strada (che chiamo punto 1, e quindi tutte le cose con 1 sono riferite in quel punto) e il punto appena fuori la pompa dalla parte dello scantinato si ha che
$P = 1/2 \rho V_1^2 + P_0 + \rho g h$ con h = 5m, $P_0$ la pressione atmosferica e $V_1 = I_v /S$ che S (sezione manichetta) si ricava dal diametro della manichetta.
trovata così la pressione nel punto appena fuori la pompa, nello scantinato, si ha che $F = P S$, e, trovata F,
si può ricavare W moltiplicando F per h
trovato W faccio la derivata rispetto al tempo, e mettendo i calcoli mi viene
$F = (1/2 \rho I_v ^2/((\phi /2)^2 \pi)^2 + P_0 + \rho g h) \phi h$ con $\phi$ il diametro della manicotta
facendo la derivata si ottiene $W = (dh)/(dt) \phi (1/2 \rho I_v ^2/((\phi /2)^2 \pi)^2 + P_0 + \rho g h) $ dove $(dh)/(dt)$ è $V_1$
...ma va bene?...a me sembra proprio un bel casino
Risposte
Eugenio, ti mando un link ad un esercizio sulla potenza sviluppata da una pompa, che avevo risolto tempo fa per un altro utente del forum:
esercizio-di-macchine-t92671-10.html
qui il calcolo era stato sviluppato da un punto di vista più ingegneristico, capisco che per te forse è prematuro parlare di prevalenza, perdite di carico e rendimento, ma insomma si tratta pur sempre di una applicazione del teorema di Bernoulli in forma cosidetta generalizzata. La parte di calcolo su cui dovresti concentrare l'attenzione è quella del messaggio del 8.3.2012 alle 18:20, con attenzione particolare alla eq. 2.
Richiamo la tua attenzione su un fatto : l'energia meccanica fornita dal motore alla pompa è superiore all'energia che la pompa cede al liquido, perché una parte si perde inevitabilmente, come ho detto a Pablo nel messaggio di cui sopra.
SE hai qualche dubbio, scrivi.
esercizio-di-macchine-t92671-10.html
qui il calcolo era stato sviluppato da un punto di vista più ingegneristico, capisco che per te forse è prematuro parlare di prevalenza, perdite di carico e rendimento, ma insomma si tratta pur sempre di una applicazione del teorema di Bernoulli in forma cosidetta generalizzata. La parte di calcolo su cui dovresti concentrare l'attenzione è quella del messaggio del 8.3.2012 alle 18:20, con attenzione particolare alla eq. 2.
Richiamo la tua attenzione su un fatto : l'energia meccanica fornita dal motore alla pompa è superiore all'energia che la pompa cede al liquido, perché una parte si perde inevitabilmente, come ho detto a Pablo nel messaggio di cui sopra.
SE hai qualche dubbio, scrivi.
ho letto il tuo post, e mi torna abbastanza.
in effetti l'esercizio era lo stesso, solo che nel mio caso non si fa allusioni a perdite o a rendimenti della pompa.
quello che comunque ti volevo chiedere è questo.
leggendo la tua risoluzione, ho visto che hai introdotto questa quantità $gH_t$ di energia totale che trasmette la pompa a 1 Kg di fluido...
ecco, una considerazione simile io non l'avrei mai fatta. nel senso di calcolarmi questa energia.
e la potenza non sapevo proprio si potesse esprimere in quel modo
in effetti l'esercizio era lo stesso, solo che nel mio caso non si fa allusioni a perdite o a rendimenti della pompa.
quello che comunque ti volevo chiedere è questo.
leggendo la tua risoluzione, ho visto che hai introdotto questa quantità $gH_t$ di energia totale che trasmette la pompa a 1 Kg di fluido...
ecco, una considerazione simile io non l'avrei mai fatta. nel senso di calcolarmi questa energia.
e la potenza non sapevo proprio si potesse esprimere in quel modo
Te l'ho detto, l'esercizio era stato risolto come normalmente si fa in Idraulica e in Macchine.
Comunque, se ci pensi, in Meccanica un corpo di massa $m$ che aumenta la propria quota di $\Deltaz$ acquista una energia potenziale $mg\Deltaz$, quindi se la massa è unitaria l'energia acquistata sarà $g\Deltaz$ : l'energia per unità di massa si esprime in $J/(kg) = m^2/s^2$.
Ma per una massa unitaria di fluido bisogna considerare altre variazioni di energia, non solo quella di posizione:
1) l'energia di pressione, che in generale aumenta di $ (\Deltap)/\rho$ (l' unità di misura è sempre la stessa)
2)l'energia cinetica, che in generale aumenta di $1/2(v_2^2 - v_1^2)$
La somma dei tre termini detti, se non ci sono altre forme di energia scambiate ( ad es. energia termica) è tutto ciò che occorre dare al $kg$ dal fluido. Come puoi intuire, qui è sempre Bernoulli che domina la scena, in una forma generalizzata. E questo ragionamento si può ampliare includendo appunto il calore, il lavoro meccanico,le perdite...si studia nei corsi a cui ho accennato. È sempre e comunque un bilancio energetico da fare ( primo principio della Termodinamica per i sistemi aperti), e da adattare al caso in esame.
Nel caso che stiamo esaminando noi ( portare del liquido da una cantina alla strada), non vi sono altre forme di energia in gioco. Una volta trovata l'energia da somministrare a un $kg$ di fluido, ci chiediamo: quanti kg di fluido dobbiamo trattare, nel tempo? La risposta è immediata : la portata di massa $Q_m$, in $(kg)/s$ (o equivalenti unità).
Perciò il gioco che ti serve risolvere è presto risolto: Potenza = $Q_m$* Energia unitaria .
E la macchina che dà questa potenza è la pompa.
Comunque, se ci pensi, in Meccanica un corpo di massa $m$ che aumenta la propria quota di $\Deltaz$ acquista una energia potenziale $mg\Deltaz$, quindi se la massa è unitaria l'energia acquistata sarà $g\Deltaz$ : l'energia per unità di massa si esprime in $J/(kg) = m^2/s^2$.
Ma per una massa unitaria di fluido bisogna considerare altre variazioni di energia, non solo quella di posizione:
1) l'energia di pressione, che in generale aumenta di $ (\Deltap)/\rho$ (l' unità di misura è sempre la stessa)
2)l'energia cinetica, che in generale aumenta di $1/2(v_2^2 - v_1^2)$
La somma dei tre termini detti, se non ci sono altre forme di energia scambiate ( ad es. energia termica) è tutto ciò che occorre dare al $kg$ dal fluido. Come puoi intuire, qui è sempre Bernoulli che domina la scena, in una forma generalizzata. E questo ragionamento si può ampliare includendo appunto il calore, il lavoro meccanico,le perdite...si studia nei corsi a cui ho accennato. È sempre e comunque un bilancio energetico da fare ( primo principio della Termodinamica per i sistemi aperti), e da adattare al caso in esame.
Nel caso che stiamo esaminando noi ( portare del liquido da una cantina alla strada), non vi sono altre forme di energia in gioco. Una volta trovata l'energia da somministrare a un $kg$ di fluido, ci chiediamo: quanti kg di fluido dobbiamo trattare, nel tempo? La risposta è immediata : la portata di massa $Q_m$, in $(kg)/s$ (o equivalenti unità).
Perciò il gioco che ti serve risolvere è presto risolto: Potenza = $Q_m$* Energia unitaria .
E la macchina che dà questa potenza è la pompa.
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