[EX] Manubrio rotante
Ciao, amici! Si ha un oggetto rotante come quello in figura -si chiama manubrio, giusto?- con due sfere di massa $M$ attaccate ad un asta colleggata ad un asse entrambi di massa trascurabile.
Con ragionamenti analoghi a quelli che il mitico Prof. K, cui non smetterò mai di essere grato, mi ha insegnato ad applicare qui, deduco che il momento angolare \(\mathbf{L}\) rispetto all'origine e il momento \(\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\) esercitato sull'asse dalla forza dei cuscinetti sono, rispettivamente:\[\mathbf{L}=2Mr^2\omega_zsin\theta(\sin\theta\mathbf{k}+\cos\theta\mathbf{j})\]\[\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}=-2 Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\mathbf{i}.\]Il mio libro dice che la componente orizzontale della forza esercitata dal cuscinetto superiore sull'asse è \(F_c=\frac{Mr^2\omega^2}{D}\cos\theta\sin\theta\).
Intuitivamente mi sembra del tutto ovvio che, data la simmetria del sistema, i momenti siano equipartiti tra cuscinetti superiori e inferiori e quindi che \(\boldsymbol{\tau}_{\sup}=\boldsymbol{\tau}_{\inf}=\frac{1}{2}\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\), da cui \(\tau_{\sup,x}=-F_cD=-Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\), ma come si procede per verificare che sia veramente così?
$\infty$ grazie per ogni risposta!
EDIT: Corretto \(\omega_z|\omega_z|\) con \(\omega_z^2\) perché mi sono accorto che il segno di \(\omega_z\) non influenza \(\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\).
Con ragionamenti analoghi a quelli che il mitico Prof. K, cui non smetterò mai di essere grato, mi ha insegnato ad applicare qui, deduco che il momento angolare \(\mathbf{L}\) rispetto all'origine e il momento \(\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\) esercitato sull'asse dalla forza dei cuscinetti sono, rispettivamente:\[\mathbf{L}=2Mr^2\omega_zsin\theta(\sin\theta\mathbf{k}+\cos\theta\mathbf{j})\]\[\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}=-2 Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\mathbf{i}.\]Il mio libro dice che la componente orizzontale della forza esercitata dal cuscinetto superiore sull'asse è \(F_c=\frac{Mr^2\omega^2}{D}\cos\theta\sin\theta\).
Intuitivamente mi sembra del tutto ovvio che, data la simmetria del sistema, i momenti siano equipartiti tra cuscinetti superiori e inferiori e quindi che \(\boldsymbol{\tau}_{\sup}=\boldsymbol{\tau}_{\inf}=\frac{1}{2}\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\), da cui \(\tau_{\sup,x}=-F_cD=-Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\), ma come si procede per verificare che sia veramente così?
$\infty$ grazie per ogni risposta!
EDIT: Corretto \(\omega_z|\omega_z|\) con \(\omega_z^2\) perché mi sono accorto che il segno di \(\omega_z\) non influenza \(\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}\).
Risposte
Guarda qui
Ma che vuoi dire con la frase " i momenti sono ugualmente ripartiti tra i due cuscinetti superiore e inferiore " ?
Le due sfere alle estremità del manubrio, di uguale massa e poste a uguale distanza dall'asse di rotazione, sono soggette a forza centrifuga nel sistema rotante. Le due forze centrifughe costituiscono una coppia rotante di forze, essendo uguali in intensità e dirette in versi opposti ; il momento di tale coppia tenderebbe a far ruotare l'asse, se non fosse per la presenza dei due supporti, i quali reagiscono con una coppia di forze, anch'esse uguali e contrarie, il cui momento bilancia il momento delle forze centrifughe prima detto.
È un esercizio di Scienza delle Costruzioni molto semplice, trovare le reazioni nei due cuscinetti , e peraltro non è detto quali sono le "condizioni di vincolo" , cioè come si vogliono considerare i cuscinetti stessi : semplice appoggio, incastro…
e prescindono dal problema in esame.
Guarda l'esempio n.3 qui, dove si considera una trave isostatica appoggiata con una coppia concentrata. LA distanza dagli estremi non ha importanza.
Ma che vuoi dire con la frase " i momenti sono ugualmente ripartiti tra i due cuscinetti superiore e inferiore " ?
Le due sfere alle estremità del manubrio, di uguale massa e poste a uguale distanza dall'asse di rotazione, sono soggette a forza centrifuga nel sistema rotante. Le due forze centrifughe costituiscono una coppia rotante di forze, essendo uguali in intensità e dirette in versi opposti ; il momento di tale coppia tenderebbe a far ruotare l'asse, se non fosse per la presenza dei due supporti, i quali reagiscono con una coppia di forze, anch'esse uguali e contrarie, il cui momento bilancia il momento delle forze centrifughe prima detto.
È un esercizio di Scienza delle Costruzioni molto semplice, trovare le reazioni nei due cuscinetti , e peraltro non è detto quali sono le "condizioni di vincolo" , cioè come si vogliono considerare i cuscinetti stessi : semplice appoggio, incastro…
e prescindono dal problema in esame.
Guarda l'esempio n.3 qui, dove si considera una trave isostatica appoggiata con una coppia concentrata. LA distanza dagli estremi non ha importanza.
"navigatore":Già, scusa il linguaggio poco rigoroso. Intendo che, come ho scritto, direi intuitivamente senza alcun dubbio, data la simmetria del sistema, che i momenti delle forze rispettivamente esercitate dai cuscinetti superiori e inferiori sono uguali e coincidono con la metà della loro somma: \(\boldsymbol{\tau}_{\sup}=\boldsymbol{\tau}_{\inf}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\tau}_{\sup}+\boldsymbol{\tau}_{\inf}) \), e quindi \(\boldsymbol{\tau}_{\sup}=\boldsymbol{\tau}_{\inf}=- Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\mathbf{i}\).
Ma che vuoi dire con la frase " i momenti sono ugualmente ripartiti tra i due cuscinetti superiore e inferiore " ?
In spoiler metto i miei ragionamenti fatti in termini di forze centrifughe, ma non arrivo comunque a nulla che già non sapessi...
Tuttavia non mi riesce di dimostrare che effettivamente i due momenti siano la metà della quantità -che ho calcolato senza alcun problema- \(\sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}=\boldsymbol{\tau}_{\sup}+\boldsymbol{\tau}_{\inf}=- 2Mr^2\omega_z^2\sin\theta\cos\theta\mathbf{i}\), e di cui non trovo una spiegazione diretta nelle interessantissime fonti che hai linkato e di cui ti ringrazio tantissimo.
Ti ripeto : i due cuscinetti non esercitano "momenti" . I due cuscinetti esercitano ciascuno una forza di reazione. Le due forze sono uguali in valore e opposte in direzione , e quindi formano una "coppia" , il cui momento equilibra il momento applicato dalla barretta che porta le masse e ruota.
Non ha importanza il punto in cui la barretta è collegata all'asse. Ti ho messo il link ad un semplice esercizio di Scienza delle Costruzioni, dove si vede che, indipendentemente dalla distanza del punto di collegamento dagli appoggi, il valore di ciascuna reazione è dato semplicemente dal rapporto : $M/l $ , dove $M$ è il momento applicato ed $l$ è la distanza tra gli appoggi. Nel caso del tuo esercizio , $l = 2D$ . Ma anche se la barretta fosse collegata all'asse in un punto diverso dal punto medio le reazioni avrebbero quel valore.
È una questione di Scienza delle Costruzioni. Non mi piacciono soluzioni "impapocchiate" e fuorvianti, come sembra fare il tuo libro. Sembrerebbe che se la distanza $D$ fosse maggiore della metà della lunghezza asse, la reazione sarebbe inferiore : NO !
Vai a pag. 3-19 della dispensa del link , all'esempio 3 : "Trave appoggiata con coppia concentrata" . È l'esempio che fa per il tuo caso. Come vedi, indipendentemente dai valori di $a$ e $b$ dell'esempio, le reazioni in A e B sono uguali e valgono semplicemente : $M/l$ . Il momento concentrato è , nel tuo caso, quello delle due forze centrifughe agenti sulle due masse.
Non ha importanza il punto in cui la barretta è collegata all'asse. Ti ho messo il link ad un semplice esercizio di Scienza delle Costruzioni, dove si vede che, indipendentemente dalla distanza del punto di collegamento dagli appoggi, il valore di ciascuna reazione è dato semplicemente dal rapporto : $M/l $ , dove $M$ è il momento applicato ed $l$ è la distanza tra gli appoggi. Nel caso del tuo esercizio , $l = 2D$ . Ma anche se la barretta fosse collegata all'asse in un punto diverso dal punto medio le reazioni avrebbero quel valore.
È una questione di Scienza delle Costruzioni. Non mi piacciono soluzioni "impapocchiate" e fuorvianti, come sembra fare il tuo libro. Sembrerebbe che se la distanza $D$ fosse maggiore della metà della lunghezza asse, la reazione sarebbe inferiore : NO !
Vai a pag. 3-19 della dispensa del link , all'esempio 3 : "Trave appoggiata con coppia concentrata" . È l'esempio che fa per il tuo caso. Come vedi, indipendentemente dai valori di $a$ e $b$ dell'esempio, le reazioni in A e B sono uguali e valgono semplicemente : $M/l$ . Il momento concentrato è , nel tuo caso, quello delle due forze centrifughe agenti sulle due masse.
"navigatore":Grazie anche per le precisazioni terminologiche. Anche a me -forse l'hai notato- piace l'accuratezza terminologica, anche se il mio testo usa, in effetti, momento esercitato dai cuscinetti per momento esercitato dall forza esercitata dai cuscinetti. Comunque il concetto mi è chiaro.
Ti ripeto : i due cuscinetti non esercitano "momenti" . I due cuscinetti esercitano ciascuno una forza di reazione.
"navigatore":Quindi confermi la mia intuizione.
Le due forze sono uguali in valore e opposte in direzione
"navigatore":Sai che non trovo la pagina cui ti riferisci e i passaggi che permettono per analogia, di vedere che \(\boldsymbol{\tau}_{\sup}=\boldsymbol{\tau}_{\sup}\)?
Ti ho messo il link ad un semplice esercizio di Scienza delle Costruzioni, dove si vede che, indipendentemente dalla distanza del punto di collegamento dagli appoggi, il valore di ciascuna reazione è dato semplicemente dal rapporto : $M/l $ , dove $M$ è il momento applicato ed $l$ è la distanza tra gli appoggi.
"navigatore":Mi sa che alcuni esercizi presuppongono una preparazione superiore a quella fornita dalla parte teorica del testo. In particolare quelli risolvibili utilizzando l'equazione cardinale della dinamica \(\sum\tau_{\text{ext}}=I\alpha_z\) in contesti per cui il libro non ha dimostrato che vale, come qui...
Non mi piacciono soluzioni troppo semplicistiche o "impapocchiate" , come sembra fare il tuo libro.
$\infty$ grazie ancora!
Ho modificato il precedente messaggio mentre scrivevi tu : devi andare a pag 3-19 , esempio 3 : "trave appoggiata con coppia concentrata" .
Ma non è difficile : se ho un'asta lunga $l$, vincolata agli estremi, e in un suo punto applico una coppia concentrata di momento $M$, i due vincoli creano una coppia di reazione, le due reazioni sono uguali e opposte, e valgono : $R_a = R_b = M/l$ .
Ma non è difficile : se ho un'asta lunga $l$, vincolata agli estremi, e in un suo punto applico una coppia concentrata di momento $M$, i due vincoli creano una coppia di reazione, le due reazioni sono uguali e opposte, e valgono : $R_a = R_b = M/l$ .
Subito non ci capivo niente -soprattutto che cosa fosse quel $C$ con l'archetto orientato e la coppia concentrata (di coppia, non concentrata, avevo sentito parlare solo qui e avevo capito che è quello che conoscevo come un momento di una forza, un, per dirlo in inglese, torque)-, ma, grazie a questo post -indovina di chi?- mi sono chiarito le idee.
Quindi chiamando $A$ e $B$ come il testo che mi hai consigliato i due poli scelti, $C_1$ il punto dove è applicata la forza \(\mathbf{F}\), $C_2$ il punto dove è applicata la forza \(-\mathbf{F}\), \(\mathbf{F}_A\) la forza applicata in $B$ necessaria ad annullare il momento risultante \(\sum\boldsymbol{\tau}_A\) rispetto ad $A$ e \(\mathbf{F}_B\) la forza applicata in $A$ necessaria ad annullare il momento risultante \(\sum\boldsymbol{\tau}_B\) rispetto a $B$, abbiamo che devono valere le uguaglianze \[\sum\boldsymbol{\tau}_A=\overrightarrow{AC_1}\times\mathbf{F}+\overrightarrow{AC_2}\times(-\mathbf{F})+\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_A=\mathbf{0} \]\[\sum\boldsymbol{\tau}_B=\overrightarrow{BC_1}\times\mathbf{F}+\overrightarrow{BC_2}\times(-\mathbf{F})+\overrightarrow{BA}\times\mathbf{F}_B=\mathbf{0} \]ossia\[\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_A=-\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F},\quad\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_B=\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F} \]Tali equazioni in \(\mathbf{F}_A\) e \(\mathbf{F}_A\) sono risolubili se \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F} \), cosa che accade per esempio quando \(\mathbf{F}\) giace sul piano dove giacciono $A,B,C_1$ e $C_2$. Utilizzando la formula risolutiva generale \(\mathbf{x}=\|\mathbf{a}\|^{-2}(\mathbf{b}\times\mathbf{a})+\lambda\mathbf{a},\) \(\lambda\in\mathbb{R}\) per l'equazione \(\mathbf{a}\times\mathbf{x}=\mathbf{b}\), con \(\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\), vediamo che\[\mathbf{F}_A=-\|\overrightarrow{AB}\|^{-2}(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F})\times\overrightarrow{AB}+\lambda_A \overrightarrow{AB} \]\[\mathbf{F}_B=\|\overrightarrow{AB}\|^{-2}(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F})\times\overrightarrow{AB}+\lambda_B \overrightarrow{AB} \]Si noti che $\mathbf{F}_A$ e $\mathbf{F}_B$ non dipendono dalla posizione di $C_1$ e $C_2$ rispetto ad $A$ e $B$, ma solo dalla loro posizione reciproca \(\overrightarrow{C_1C_2}\). Se, come nel nostro caso, \(\mathbf{F}_A\perp\overrightarrow{AB}\) e \(\mathbf{F}_B\perp\overrightarrow{AB}\), si pone \(\lambda_A=0=\lambda_B\) e \(\mathbf{F}_A=-\mathbf{F}_B\). Quod erat demonstrandum.
$\infty$ grazie per avermi introdotto allo studio delle coppie concentrate, che mi affascinano molto proprio per questa proprietà di esercitare un momento \(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F}\) che non dipende che dalla posizione reciproca di $C_1$ e $C_2$!!!
EDIT: nella fretta di andare ad aiutare la mia compagna che stava montando un mobile qui accanto a me, avevo scritto \(\mathbf{F}_A=\mathbf{F}_A\) invece di \(\mathbf{F}_A=-\mathbf{F}_B\): corretto.
Quindi chiamando $A$ e $B$ come il testo che mi hai consigliato i due poli scelti, $C_1$ il punto dove è applicata la forza \(\mathbf{F}\), $C_2$ il punto dove è applicata la forza \(-\mathbf{F}\), \(\mathbf{F}_A\) la forza applicata in $B$ necessaria ad annullare il momento risultante \(\sum\boldsymbol{\tau}_A\) rispetto ad $A$ e \(\mathbf{F}_B\) la forza applicata in $A$ necessaria ad annullare il momento risultante \(\sum\boldsymbol{\tau}_B\) rispetto a $B$, abbiamo che devono valere le uguaglianze \[\sum\boldsymbol{\tau}_A=\overrightarrow{AC_1}\times\mathbf{F}+\overrightarrow{AC_2}\times(-\mathbf{F})+\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_A=\mathbf{0} \]\[\sum\boldsymbol{\tau}_B=\overrightarrow{BC_1}\times\mathbf{F}+\overrightarrow{BC_2}\times(-\mathbf{F})+\overrightarrow{BA}\times\mathbf{F}_B=\mathbf{0} \]ossia\[\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_A=-\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F},\quad\overrightarrow{AB}\times\mathbf{F}_B=\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F} \]Tali equazioni in \(\mathbf{F}_A\) e \(\mathbf{F}_A\) sono risolubili se \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F} \), cosa che accade per esempio quando \(\mathbf{F}\) giace sul piano dove giacciono $A,B,C_1$ e $C_2$. Utilizzando la formula risolutiva generale \(\mathbf{x}=\|\mathbf{a}\|^{-2}(\mathbf{b}\times\mathbf{a})+\lambda\mathbf{a},\) \(\lambda\in\mathbb{R}\) per l'equazione \(\mathbf{a}\times\mathbf{x}=\mathbf{b}\), con \(\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\), vediamo che\[\mathbf{F}_A=-\|\overrightarrow{AB}\|^{-2}(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F})\times\overrightarrow{AB}+\lambda_A \overrightarrow{AB} \]\[\mathbf{F}_B=\|\overrightarrow{AB}\|^{-2}(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F})\times\overrightarrow{AB}+\lambda_B \overrightarrow{AB} \]Si noti che $\mathbf{F}_A$ e $\mathbf{F}_B$ non dipendono dalla posizione di $C_1$ e $C_2$ rispetto ad $A$ e $B$, ma solo dalla loro posizione reciproca \(\overrightarrow{C_1C_2}\). Se, come nel nostro caso, \(\mathbf{F}_A\perp\overrightarrow{AB}\) e \(\mathbf{F}_B\perp\overrightarrow{AB}\), si pone \(\lambda_A=0=\lambda_B\) e \(\mathbf{F}_A=-\mathbf{F}_B\). Quod erat demonstrandum.
$\infty$ grazie per avermi introdotto allo studio delle coppie concentrate, che mi affascinano molto proprio per questa proprietà di esercitare un momento \(\overrightarrow{C_2C_1}\times\mathbf{F}\) che non dipende che dalla posizione reciproca di $C_1$ e $C_2$!!!
EDIT: nella fretta di andare ad aiutare la mia compagna che stava montando un mobile qui accanto a me, avevo scritto \(\mathbf{F}_A=\mathbf{F}_A\) invece di \(\mathbf{F}_A=-\mathbf{F}_B\): corretto.
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