[EX] - (Maledetto) Campo elettrostatico
Salve ragazzi,
ho un problemino con questo (e non solo questo) esercizio di Fisica 2; ne riporto il testo.
Un anello sottile di materiale isolante di raggio $R$, posto nel piano $xy$ e con centro nell'origine $O$, possiede una carica distribuita con densità $\lambda=\lambda_0\sin \theta$, dove $\theta$ è l'angolo formato con l'asse $x$. Determinare il campo elettrostatico $E$ nel centro $O$.
(NB: la carica è positiva per $y>0$ e negativa per $y<0$; non riesco a trovare un'immagine da postare
)
Bene. Calcolo innanzitutto il "campo elettrostatico elementare" $dE$, che mi risulta
\[dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{dq}{R^2}\mathbf{u}_r\]
dove $\mathbf{u}_r$ è il versore uscente dall' "elemento di carica" $dq$ diretto verso $O$. Poichè
\[dq= \lambda\, ds =\lambda_0 \sin \theta\, ds = \lambda_0 \sin \theta\, R d\theta \]
allora abbiamo
\[dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda_0 \sin \theta\, R d\theta }{R^2}\mathbf{u}_r=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda_0 \sin \theta\, d\theta }{R}\mathbf{u}_r\]
Il campo elettrico risultante lo calcolo integrando:
\[E= \int dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int \lambda_0 \sin \theta\, d\theta \mathbf{u}_r \]
Esprimo $\mathbf{u}_r$ come $(\cos \theta, \sin \theta)$ per ottenere
\[E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \left( \int \lambda_0 \sin \theta \cos \theta\, d\theta , \int \lambda_0 \sin^2 \theta\, d\theta \right) \]
E qui arrivano i problemi: come scelgo gli estremi d'integrazione? Che debbano differire di $2\pi$ è chiaro, ma con che criterio li vado a scegliere? Io ho provato con $0$ (inferiore) e $2\pi$ (superiore), dal momento che il versore $\mathbf{u}_r$, per come l'ho espresso, "gira" in senso antiorario...
Ho provato a trovare la logica che c'è dietro, ma, a quanto pare, ho capito esattamente il contrario di quello che è
dato che i risultati mi vengono spesso di segno opposto a quelli esatti...
Grazie in anticipo
EDIT: forse ho trovato l'inghippo, confermatemelo Quando sulla circonferenza ci troviamo nella posizione angolare $\theta$, il versore $\mathbf{u}_r$ forma una angolo di $\theta + \pi$ con l'asse $x$, quindi devo esprimerlo come
\[\mathbf{u}_r=(\cos(\theta +\pi), \sin (\theta+\pi))=(-\cos\theta, -\sin \theta)\]
Così ritrovo il risultato che dà il libro. Che ne pensate?
ho un problemino con questo (e non solo questo) esercizio di Fisica 2; ne riporto il testo.
Un anello sottile di materiale isolante di raggio $R$, posto nel piano $xy$ e con centro nell'origine $O$, possiede una carica distribuita con densità $\lambda=\lambda_0\sin \theta$, dove $\theta$ è l'angolo formato con l'asse $x$. Determinare il campo elettrostatico $E$ nel centro $O$.
(NB: la carica è positiva per $y>0$ e negativa per $y<0$; non riesco a trovare un'immagine da postare
)Bene. Calcolo innanzitutto il "campo elettrostatico elementare" $dE$, che mi risulta
\[dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{dq}{R^2}\mathbf{u}_r\]
dove $\mathbf{u}_r$ è il versore uscente dall' "elemento di carica" $dq$ diretto verso $O$. Poichè
\[dq= \lambda\, ds =\lambda_0 \sin \theta\, ds = \lambda_0 \sin \theta\, R d\theta \]
allora abbiamo
\[dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda_0 \sin \theta\, R d\theta }{R^2}\mathbf{u}_r=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda_0 \sin \theta\, d\theta }{R}\mathbf{u}_r\]
Il campo elettrico risultante lo calcolo integrando:
\[E= \int dE= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int \lambda_0 \sin \theta\, d\theta \mathbf{u}_r \]
Esprimo $\mathbf{u}_r$ come $(\cos \theta, \sin \theta)$ per ottenere
\[E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \left( \int \lambda_0 \sin \theta \cos \theta\, d\theta , \int \lambda_0 \sin^2 \theta\, d\theta \right) \]
E qui arrivano i problemi: come scelgo gli estremi d'integrazione? Che debbano differire di $2\pi$ è chiaro, ma con che criterio li vado a scegliere? Io ho provato con $0$ (inferiore) e $2\pi$ (superiore), dal momento che il versore $\mathbf{u}_r$, per come l'ho espresso, "gira" in senso antiorario...
Ho provato a trovare la logica che c'è dietro, ma, a quanto pare, ho capito esattamente il contrario di quello che è
dato che i risultati mi vengono spesso di segno opposto a quelli esatti...Grazie in anticipo
EDIT: forse ho trovato l'inghippo, confermatemelo
Quando sulla circonferenza ci troviamo nella posizione angolare $\theta$, il versore $\mathbf{u}_r$ forma una angolo di $\theta + \pi$ con l'asse $x$, quindi devo esprimerlo come\[\mathbf{u}_r=(\cos(\theta +\pi), \sin (\theta+\pi))=(-\cos\theta, -\sin \theta)\]
Così ritrovo il risultato che dà il libro. Che ne pensate?
Risposte
Ciao. Scusa, il risultato del libro sarebbe?
Ciao Pallit. Questo:
\[E=-\dfrac{\lambda_0}{4\varepsilon_0 R}\,\mathbf{u}_y\]
con $\mathbf{u}_y$ versore dell'asse $y$.
\[E=-\dfrac{\lambda_0}{4\varepsilon_0 R}\,\mathbf{u}_y\]
con $\mathbf{u}_y$ versore dell'asse $y$.
Io l'ho impostato così: è evidente per motivi di simmetria che la semicirconferenza con $y>0$ e carica positiva produce un campo uguale a quella con $y<0$ e carica negativa, quindi se ne calcola uno e si raddoppia. E' altrettanto evidente che per simmetria la componente $x$ del campo è nulla. L'elemento $dl=Rd theta$, con carica $dq=lambda dl = lambda_0 sin theta R d theta$ del disegno:
produce un campo di cui concorre alla somma, per quanto sopra, soltanto la componente lungo $y$, cioè:
$dE=1/(4 pi epsilon_0)(dq)/(R^2)$, in modulo, con componente
$dE_y=-dE sin theta=-1/(4 pi epsilon_0)(lambda_0 sin theta R d theta)/(R^2)sin theta=-1/(4 pi epsilon_0)(lambda_0 sin^2 theta R d theta)/(R^2)$; moltiplichi per $2$ ed integri da $0$ a $pi$:
[tex]E_y=-\frac{2\lambda _0}{4 \pi R\varepsilon _0}\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta \mathrm{d}\theta =-\frac{2\lambda _0}{4 \pi \varepsilon _0 R}\frac{\pi}{2}=-\frac{\lambda _0}{4 \varepsilon _0 R}[/tex].
produce un campo di cui concorre alla somma, per quanto sopra, soltanto la componente lungo $y$, cioè:
$dE=1/(4 pi epsilon_0)(dq)/(R^2)$, in modulo, con componente
$dE_y=-dE sin theta=-1/(4 pi epsilon_0)(lambda_0 sin theta R d theta)/(R^2)sin theta=-1/(4 pi epsilon_0)(lambda_0 sin^2 theta R d theta)/(R^2)$; moltiplichi per $2$ ed integri da $0$ a $pi$:
[tex]E_y=-\frac{2\lambda _0}{4 \pi R\varepsilon _0}\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta \mathrm{d}\theta =-\frac{2\lambda _0}{4 \pi \varepsilon _0 R}\frac{\pi}{2}=-\frac{\lambda _0}{4 \varepsilon _0 R}[/tex].
Mmm...innanzitutto grazie, Pallit 
il procedimento però è fondamentalmente lo stesso, salvo le tue considerazioni sulla simmetria che ti hanno semplificato la vita; io ho preferito, senza averne vantaggio in questo caso, fare il calcolo senza prendere "scorciatoie". Quello che non mi è chiaro al 100%, invece, è il criterio da usare nella scelta degli estremi d'integrazione. Se mi confermi l'esattezza del mio ragionamento di prima (a proposito del versore) allora forse ci ho capito qualcosa
il procedimento però è fondamentalmente lo stesso, salvo le tue considerazioni sulla simmetria che ti hanno semplificato la vita; io ho preferito, senza averne vantaggio in questo caso, fare il calcolo senza prendere "scorciatoie". Quello che non mi è chiaro al 100%, invece, è il criterio da usare nella scelta degli estremi d'integrazione. Se mi confermi l'esattezza del mio ragionamento di prima (a proposito del versore) allora forse ci ho capito qualcosa
Direi di sì, sulle componenti che rettifichi alla fine, visto che il versore l'hai orientato dall'elemento di carica verso $O$.
Bene! Grazie
In che senso l'ho orientato? Mica posso sceglierlo io il verso del versore o sbaglio? Quando il libro mi definisce il benedetto campo elettrostatico, mi dice che il versore che compare nella definizione è quello uscente dalla carica $dq$ diretto verso il punto $P$ in cui sto calcolando il campo.
"Palliit":
il versore l'hai orientato dal punto $P$ verso $O$.
In che senso l'ho orientato? Mica posso sceglierlo io il verso del versore
o sbaglio? Quando il libro mi definisce il benedetto campo elettrostatico, mi dice che il versore che compare nella definizione è quello uscente dalla carica $dq$ diretto verso il punto $P$ in cui sto calcolando il campo.
Un versore, in linea di principio, si può orientare come si vuole. Spesso, anzi, in questioni in cui si ha a che fare con un centro il versore radiale è orientato dal centro verso l'esterno (pensa per esempio alle forze centrali, il più delle volte si scrivono con $\mathbf{u}_r$ versore radiale uscente dal centro); ho pensato fosse una tua scelta perchè lo hai scritto qua:
Che sia una scelta tua o del libro cambia poco, è comunque una delle due scelte possibili, basta stabilire inizialmente come lo si vuole considerare.
EDIT: ho capito, il libro definisce il versore uscente dalla carica parlando, molto probabilmente, di un campo centrale; qui la confusione nasce dal fatto che la carica è periferica, ed il centro il punto in cui si valuta il campo... Vista la struttura del problema, sarebbe andato benissimo anche un versore radiale uscente dal centro, con le dovute modifiche.
"Plepp":
dove $\mathbf{u}_r$ è il versore uscente dall' "elemento di carica" $dq$ diretto verso $O$.
Che sia una scelta tua o del libro cambia poco, è comunque una delle due scelte possibili, basta stabilire inizialmente come lo si vuole considerare.
EDIT: ho capito, il libro definisce il versore uscente dalla carica parlando, molto probabilmente, di un campo centrale; qui la confusione nasce dal fatto che la carica è periferica, ed il centro il punto in cui si valuta il campo... Vista la struttura del problema, sarebbe andato benissimo anche un versore radiale uscente dal centro, con le dovute modifiche.
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