[EX] Densità di carica

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Un esercizietto che avrei detto facile facile chiede, sapendo che il campo elettrico terrestre, diretto verso il basso, vale 100 N/C a 200 m di altitudine e 50 N/C a 300, di calcolare la densità di carica nell'intervallo di altitudine tra 200 m e 300 m.
Io avrei calcolato, tenendo conto della legge di Gauss, la carica contenuta nella regione descritta come differenza delle cariche $Q_2$ e $Q_1$ contenute nelle sfere $S_2$ e $S_1$ centrate nel centro della terra e di raggi rispettivamente \(R_2=300 \text{ m}\) e \(R_1=200 \text{ m}\) come:\[\frac{Q_2-Q_1}{\frac{4}{3}\pi(R_2^3-R_1^3)}=\frac{3\varepsilon_0}{4\pi(R_2^3-R_1^3)} \Bigg(\iint_{S_2}\mathbf{E}_2\cdot\mathbf{N}_2d\sigma- \iint_{S_1}\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{N}_1d\sigma\Bigg)\]\[=\frac{3\varepsilon_0}{4\pi((300\text{ m})^3-(200\text{ m})^3)}\Bigg(\iint_{S_2}-50d\sigma+\iint_{S_1}100d\sigma\Bigg)\text{ N/C}=\frac{3\varepsilon_0(-50\cdot4\pi\cdot300^2+100\cdot4\pi\cdot200^2)}{4\pi(300^3-200^3)} \text{ N m}^2\text{ C}^{-1}\approx -7.0\cdot10^{-13}\text{ C/m}^3\]mentre il libro dà come soluzione \(4.4\cdot10^{-12}\text{ C/m}^3\).
Dove sbaglio?
Grazie per ogni aiuto!!!

[RenzoDF]

"DavideGenova":... nelle sfere $S_2$ e $S_1$ centrate nel centro della terra e di raggi rispettivamente \(R_2=300 \text{ m}\) e \(R_1=200 \text{ m}\)

Centrate nel centro della terra ... che si trova ovviamente ad "altitudine" zero.

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Densità che, visti gli ordini di grandezza della geometria del problema, può tranquillamente essere calcolata, senza scomodare nessuna sfera, con un'approssimazione di Gauss unidimensionale

$\rho \approx \epsilon \frac{\Delta E}{\Delta h} =8.86 \cdot 10^{-12} (50 \text {V})/(100 \text{m}) \approx 4.4 \text{ pC /m}^(3) $

[DavideGenova1]

Invece della Terra, consideravo un asteroide tanto piccolo da avere raggio trascurabile, ma con un campo elettrico tanto intenso... Devo fare meno esercizi e riposarmi di più... $\infty$ grazie!