[EX] Calore trasmesso in trasformazione isoterma

[DavideGenova1]

Una mole di un gas perfetto si trova inizialmente a 300 K e occupa un volume di 24 l. Subisce un'espansione isoterma raddoppiando di volume seguita da una compressione adiabatica nella quale la temperatura sale a 600 K. La capacità termica molare a pressione costante è \(C_p=2.5 R\) e quella a volume costante \(C_v=1.5 R\). Si deve calcolare il calore $Q$ fornito e il lavoro $W$ compiuto nell'intero processo.
Per il lavoro, so che per una trasformazione isoterma vale\[W_1=\int_{V_i}^{V_f}pdV=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}dV=nRT\ln\bigg(\frac{V_f}{V_i}\bigg)\]e per una adiabatica\[W_2=\int_{V_i}^{V_f}pdV=\int_{V_i}^{V_f}\frac{p_i V_i^{C_p/C_v}}{V^{C_p/C_v}}dV=\frac{p_iV_i}{\frac{C_p}{C_v}-1}\bigg(1- \frac{T_i}{T_f} \bigg)\]come si evince dal fatto che \(pV^{C_p/C_v}\) è costante.
Ma per il calore trasmesso al gas in una trasformazione isoterma non mi è nota alcuna formula (per la trasformazione adiabatica $Q_2=0$ per definizione). Nel caso di volume (o pressione) fisso si utilizza l'identità \(\delta Q=nC_v dT\), ma in tale trasformazione isoterma non sono fissi...
Come si può procedere?
$\infty$ grazie a tutti!

[Sk_Anonymous]

L'energia interna di un gas perfetto dipende soltanto dalla temperatura , e si ha che :

$du = c_vdT$

perciò il primo principio della termodinamica per il gas perfetto si può scrivere :

$dq = c_vdT + pdv $

Se la trasformazione è isoterma, $dT = 0$ , per cui : $dq = pdv$

E quindi , poiché per l'equazione di Clapeyron la pressione vale : $p = (nRT)/v$ , si ha che : $dq = nRT(dv)/v$ . Percio :

$\Deltaq = nRT ln (v_f/v_i)$

proprio come il lavoro.

Deve essere fornita energia termica al gas affinché la temperatura resti costante, mentre il gas perfetto si dilata.
SE invece il gas è soggetto a compressione, occorre sottrarre energia termica per lasciare invariata la temperatura.

[DavideGenova1]

Perfetto. $\infty$ Grazie!!!