[EX] Botola che cade dalla verticale

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Di un esercizio che avrei detto molto semplice non mi tornano i conti. Una botola di massa $M$ e lunghezza h, ruota senza attrito sui propri cardini partendo da ferma dalla posizione verticale. Si vuole esprimere la velocità angolare $\omega$ in funzione dell'angolo $\theta$ dalla verticale.

Avrei utilizzato la conservazione dell'energia meccanica calcolando l'energia solo potenziale iniziale $E_i$, ponendola a 0 quando la botola è orizzontale, e l''energia finale $E_f$ come segue\[E_i=Mg\frac{h}{2}\]\[E_f=Mg\frac{h}{2}\cos\theta +\frac{1}{2}I\omega^2=Mg\frac{h}{2}\cos\theta+\frac{1}{6}Mh^2\omega^2\]dove ho tenuto conto che il momento d'inerzia, per un tale corpo approssimativamente bidimensionale, è approssimativamente $I=\frac{Mh^2}{3}$. Da cui \(\omega=\sqrt{3g(1-\cos\theta)h^{-1}}\), mentre il mio testo dà \(\omega=\sqrt{3g(1-\cos\theta)h}\)...
Dove sbaglio?
Grazie a tutti quanti!!!

[Sk_Anonymous]

Ma è uguale a questo !
viewtopic.php?f=19&t=146500#p920586

E non sbagli, sbaglia il libro . Sotto radice il libro riporta $gh$ , che ha dimensioni del quadrato di una velocità lineare, mentre deve essere $gh^-1$ , sicché la radice restituisce la dimensione giusta : $s^-1$ .

Il momento di inerzia non è definito "approssimativamente" .

[DavideGenova1]

Bene, dubbio chiarito... Grazie per l'$n$-esima volta con \(n\gg\) di molte cose!

[Falco5x]

Se guardi il risultato dal punto di vista dimensionale, hai ragione tu, la [tex]\omega[/tex] deve avere dimensione [tex]{s^{ - 1}}[/tex]


edit: tirando la risposta per le lunghe vado a pestare i piedi a navigatore.... roba da matti.

[Sk_Anonymous]

"Falco5x":

edit: tirando la risposta per le lunghe vado a pestare i piedi a navigatore.... roba da matti.

Sono abituato alle pestate, non preoccuparti amico Falco. Perciò indosso scarponi da lavoro, con la punta metallica rinforzata.
Li mettevo quando andavo nei cantieri.

Ma l'esercizio era già stato risolto.

Una curiosità : che vuol dire "5x" ?

[Falco5x]

"navigatore":
Una curiosità : che vuol dire "5x" ?

5 rappresenta la decade del secolo XX°in cui venni al mondo.
x rappresenta l'anno, che per pudore all'inizio occultai mediante la più celebre delle incognite (ma adesso che ogni pudore è caduto posso rivelare che x=1).