Evoluzione temporale di un operatore
Salve a tutti
Ho l'operatore hamiltoniano H e due osservabili A e B
Mi si chiede di calcolare:
(t) e (t)
Sapevo che l'evoluzione temporale di un osservabile è data dal commutatore con l'hamiltoniana quantistica
$F(t) = -i/h [F,H]$
ma a quanto pare non è così dato che devo calcolare $(t)$ rispetto alla funzione d'onda che mi viene data e non semplicemente $A(t)$
Inoltre i risultati sono:
come ci si arriva?
Ho l'operatore hamiltoniano H e due osservabili A e B
Mi si chiede di calcolare:
(t) e (t)
Sapevo che l'evoluzione temporale di un osservabile è data dal commutatore con l'hamiltoniana quantistica
$F(t) = -i/h [F,H]$
ma a quanto pare non è così dato che devo calcolare $(t)$ rispetto alla funzione d'onda che mi viene data e non semplicemente $A(t)$
Inoltre i risultati sono:
come ci si arriva?
Risposte
La formula che citi è quella della derivata totale dell'operatore F rispetto al tempo nel caso in cui F non dipenda esplicitamente dal tempo.
Sì infatti non va bene, dovrei usare quelle nel riquadro, solo che non so impostare $A | Psi(t) > $...A è una matrice...
Le tratterei formalmente... Piuttosto, cosa significherebbe $|0>$ ? Il primo autovettore di H ?
Ciao,
provo a darti un aiutino:
Prendi l'Hamiltoniano, e trova i suoi autovalori, questi ti servono perchè devi trovare la $|\Psi(t)>$ e per farlo devi usare l'operatore $e^(-i\hatHt)$, quindi dovranno essere 3 autovalori chiamamoli $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_3$ ciascuno corrispondente a vettore di stato.
Gli autovalori mi risultano (controlla pure tu sono di fretta quindi potrei aver fatto errori fatto errori) $\lambda_1=h\omega$ $\lambda_2=\lambda_3=3h\omega$
Quindi ora possiamo scrivere $|\Psi(t)> = e^(-ih\omegat)/sqrt(2)|0>+e^(-i3h\omegat)/2|1>+e^(-i3h\omegat)/2|2>$
Ti ricordo che $<\Psi(t)|$ è il complesso coniugato e quindi devi mettere negli esponenziali $i$ e non $-i$.
Ora però ti chiedo di postare l'esercizio intero che vedo che è tagliato una parte e vorrei essere sicuro di quello che ti chiede. Infatti anche arrigo vedo ch3e ha chiesto il significato di $|0>$, ed è per questo che bisognerebbe sapere il testo intero..
Chiedo comunque ai più esperti come arrigo se sono daccoro con quello che ho scritto o invece se ho scritto boiate
Ciao
provo a darti un aiutino:
Prendi l'Hamiltoniano, e trova i suoi autovalori, questi ti servono perchè devi trovare la $|\Psi(t)>$ e per farlo devi usare l'operatore $e^(-i\hatHt)$, quindi dovranno essere 3 autovalori chiamamoli $\lambda_1$ $\lambda_2$ $\lambda_3$ ciascuno corrispondente a vettore di stato.
Gli autovalori mi risultano (controlla pure tu sono di fretta quindi potrei aver fatto errori fatto errori) $\lambda_1=h\omega$ $\lambda_2=\lambda_3=3h\omega$
Quindi ora possiamo scrivere $|\Psi(t)> = e^(-ih\omegat)/sqrt(2)|0>+e^(-i3h\omegat)/2|1>+e^(-i3h\omegat)/2|2>$
Ti ricordo che $<\Psi(t)|$ è il complesso coniugato e quindi devi mettere negli esponenziali $i$ e non $-i$.
Ora però ti chiedo di postare l'esercizio intero che vedo che è tagliato una parte e vorrei essere sicuro di quello che ti chiede. Infatti anche arrigo vedo ch3e ha chiesto il significato di $|0>$, ed è per questo che bisognerebbe sapere il testo intero..
Chiedo comunque ai più esperti come arrigo se sono daccoro con quello che ho scritto o invece se ho scritto boiate
Ciao
esatto grimx
L'esercizio è preso da questo pdf
Esercizio 3 e sotto vi è la risoluzione
solo all'ultimo punto però non riesco a capire come calcola i risultati...
http://scienze-como.uninsubria.it/benen ... 200913.pdf
L'esercizio è preso da questo pdf
Esercizio 3 e sotto vi è la risoluzione
solo all'ultimo punto però non riesco a capire come calcola i risultati...
http://scienze-como.uninsubria.it/benen ... 200913.pdf
Eh! C'è il trucco 
i vettori di stato $|0>$ $|1>$ e $|2>$sono una base ortonormale, ciò significa che se vogliamo rappresentari con una matrice verticale otteniamo per $|0> = (1 0 0)$ (non mi funziona la matrice, comunque è verticale); $|1> =(0 1 0)$ e $|2> =(0 0 1)$
Ora, IL VETTORE $|\psi(t)> =(1/sqrt(2) 1/2 1/2)$ che moltiplicato con <\Psi(t)| da 1, se non ti è chiaro te lo rispiego con più calma. Fattostà che quello da 1 mentre la matrice $A$ bisogna usare il suo autovalore, che è $a$ da cui il risultato.
So che l'ho spiegato malissimo, me ne scuso, ma sono di fretta. se vuoi te lo rispiego meglio con più clama dopo
i vettori di stato $|0>$ $|1>$ e $|2>$sono una base ortonormale, ciò significa che se vogliamo rappresentari con una matrice verticale otteniamo per $|0> = (1 0 0)$ (non mi funziona la matrice, comunque è verticale); $|1> =(0 1 0)$ e $|2> =(0 0 1)$
Ora, IL VETTORE $|\psi(t)> =(1/sqrt(2) 1/2 1/2)$ che moltiplicato con <\Psi(t)| da 1, se non ti è chiaro te lo rispiego con più calma. Fattostà che quello da 1 mentre la matrice $A$ bisogna usare il suo autovalore, che è $a$ da cui il risultato.
So che l'ho spiegato malissimo, me ne scuso, ma sono di fretta. se vuoi te lo rispiego meglio con più clama dopo
Ok, come promesso ri-spiego meglio quello che ho scritto prima..
Il testo ti dice che i vettori $|0> ;|1>; |2> $ sono una base ortonormale, una base ortonormale è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.
In parole povere si ha che, se rappresentiamo i vettori come delle matrici verticali abbiamo:
$ |0>$ $=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$
$ |1>$ $=( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$
$ |2>$ $=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
Allora, il vettore che descrive lo stato del sistema può essere riscritto in questa forma matriciale:
$| \Psi(t)>$ $= ( ( e^(-ih\omegat)/sqrt(2) ),( e^(-i3h\omegat)/2 ),( e^(-i3h\omegat)/2 ) ) $
e ricordando che $<\Psi(t)|$ è il vettore complesso coniugato a $| \ Psi(t)>$ si ha:
$<\Psi(t)|$ $= ( e^(+ih\omegat)/sqrt(2) , e^(+i3h\omegat)/2 , e^(+i3h\omegat)/2 ) $
Ora, quando si calcola $<\Psi(t)|A|\Psi(t)>$ bisogna mettere al posto di $A$ il suo autovalore, che risulta essere $a$.
possiamo quindi riscrivere così: $a*(<\Psi(t)||\Psi(t)>)$ che è un prodotto scalare (matrice colonna x matrice riga) risulta essere uguale ad $1$, infatti gli esponenziali si cancellano e si ottine $½+¼+¼=1$ , ma moltiplicando per $a$ si ottiene $a$, come da risultato .
E' importante interpretare il risultato, notiamo che il valor medio NON dipende dal tempo.
Spero ti sia di aiuto
Il testo ti dice che i vettori $|0> ;|1>; |2> $ sono una base ortonormale, una base ortonormale è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.
In parole povere si ha che, se rappresentiamo i vettori come delle matrici verticali abbiamo:
$ |0>$ $=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) )$
$ |1>$ $=( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$
$ |2>$ $=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
Allora, il vettore che descrive lo stato del sistema può essere riscritto in questa forma matriciale:
$| \Psi(t)>$ $= ( ( e^(-ih\omegat)/sqrt(2) ),( e^(-i3h\omegat)/2 ),( e^(-i3h\omegat)/2 ) ) $
e ricordando che $<\Psi(t)|$ è il vettore complesso coniugato a $| \ Psi(t)>$ si ha:
$<\Psi(t)|$ $= ( e^(+ih\omegat)/sqrt(2) , e^(+i3h\omegat)/2 , e^(+i3h\omegat)/2 ) $
Ora, quando si calcola $<\Psi(t)|A|\Psi(t)>$ bisogna mettere al posto di $A$ il suo autovalore, che risulta essere $a$.
possiamo quindi riscrivere così: $a*(<\Psi(t)||\Psi(t)>)$ che è un prodotto scalare (matrice colonna x matrice riga) risulta essere uguale ad $1$, infatti gli esponenziali si cancellano e si ottine $½+¼+¼=1$ , ma moltiplicando per $a$ si ottiene $a$, come da risultato
.E' importante interpretare il risultato, notiamo che il valor medio NON dipende dal tempo.
Spero ti sia di aiuto
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