Evoluzione temporale

[Landau1]

Salve, sto guardando qualche esercizio sull'evoluzione temporale e ho qualche problema con un conto. Dato un sistema con hamiltoniana \[\displaystyle \hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat x^2, \] dopo una certa misura il sistema si trova al tempo $t=0$ nello stato \[\displaystyle |\phi\rangle=\frac{1}{2}[(1+i)|0\rangle+(1-i)|3\rangle], \] ovvero in una sovrapposizione dello stato fondamentale e del terzo stato eccitato. Mi si chiede di determinare ad ogni tempo $t$ il valor medio e l'indeterminazione della posizione. Quindi in pratica dovrei ricavarmi \(\displaystyle |\phi(t)\rangle=\hat S(0,t)|\phi\rangle \); siccome l'hamiltoniana non dipende dal tempo, dovrei poter scrivere \[\displaystyle \hat S(0,t)=\exp(\frac{1}{i\hbar}t\hat H). \] Se sì però, non capisco come si arrivi alla soluzione \[\displaystyle |\phi\rangle=\frac{1}{2}[(1+i)|0\rangle e^{-\frac{i}{2}\omega t}+(1-i)|3\rangle e^{-\frac{7i}{2}\omega t}]. \] Qualcuno mi sa illuminare?

[Cuppls1]

Quella è l'hamiltoniana di un oscillatore armonico che si sa diagonalizzare. È tutto giusto quello che hai detto devi solo usare gli autovettori e autovalori per quell'hamiltoniana. Sai che $\hat H$ la puoi scrivere tramite l'operatore numero vero?

[Landau1]

Effettivamente mi sfuggiva che \(|\psi(t)\rangle=\sum_n \langle n|\psi_0\rangle \exp(-i\omega(n+\frac{1}{2})t)|n\rangle \). Era una parte che non avevamo ancora studiato in classe. Grazie lo stesso per la risposta.