Evaporazione sottovuoto
Ciao a tutti,
sono nuovo del forum quindi spero sia la sezione giusta.
Sto studiando un problema di evaporazione sottovuoto. In sostanza è un meccanismo sfruttato industrialmente per raffreddare un prodotto. Creando il vuoto mediante una pompa, si abbassa la pressione nel serbatoio dove si trova il mio prodotto andando a raggiungere la saturazione. L'acqua evapora portando via calore latente, e quindi raffreddando il prodotto.
Il mio problema è questo. Voglio determinare il tempo che ci metto a raffreddare una massa M di prodotto da Ti a Tf.
La quantità di calore da rimuovere la posso trovare con la formula del calore scambiato Q=Mcp(Ti- Tf). Io so la potenza della mia pompa quindi potrei determinare il tempo dalla formula t=L/P. Solo che per la determinazione del lavoro come faccio?in alternativa ho pensato di trovare quest'ultimo dall'efficienza epsilon=Q/L. che però non so..qualche idea?
sono nuovo del forum quindi spero sia la sezione giusta.
Sto studiando un problema di evaporazione sottovuoto. In sostanza è un meccanismo sfruttato industrialmente per raffreddare un prodotto. Creando il vuoto mediante una pompa, si abbassa la pressione nel serbatoio dove si trova il mio prodotto andando a raggiungere la saturazione. L'acqua evapora portando via calore latente, e quindi raffreddando il prodotto.
Il mio problema è questo. Voglio determinare il tempo che ci metto a raffreddare una massa M di prodotto da Ti a Tf.
La quantità di calore da rimuovere la posso trovare con la formula del calore scambiato Q=Mcp(Ti- Tf). Io so la potenza della mia pompa quindi potrei determinare il tempo dalla formula t=L/P. Solo che per la determinazione del lavoro come faccio?in alternativa ho pensato di trovare quest'ultimo dall'efficienza epsilon=Q/L. che però non so..qualche idea?
Risposte
Per determinare la variazione di temperatura in relazione al tempo ti conviene considerare l'equazione di bilancio delle potenze, per il quale per un sistema chiuso e considerando la sola energia interna al sistema:
$M(t) (d \hat(H) (t))/(dt) + \hat H(t) (dM(t))/(dt) = \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$
Poiché il sistema è un sistema chiuso, allora il termine di accumulo $(dM)/(dt)=0$ e nel caso di variazione di temperatura dovuta al calore sensibile allora $\hat (H)(t) = c_p (T(t)) T(t)$ che per semplicità potresti ipotizzare il calore specifico indipendente dalla temperatura: $c_p(T(t))=c_p$ allora l'equazione di bilancio la puoi riscrivere come:
$M c_p (dT(t))/(dt)= \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$
Ora devi considerare le trasformazioni:
Per quanto riguarda la trasformazione isoterma, la variazione di entalpia è data solo dalla variazione di entalpia per la pressione:
$\Delta H_T = \int_(P_1)^(p_s) [ V - T ( (\partial V) / (\partial T) )_p ]_T dp$
*che nel caso dei gas perfetti puoi considerare solo $\Delta H_T= \lambda(p_s(T))$
Questa sarà quindi l'energia utile ai fini del raffreddamento.
Ora poiché si conosce la quantità di energia necessaria al raffreddamento $\DeltaH_T$, scriviamo l'isobara:
$M c_p dT=\DeltaH_T dt$
Dalla risoluzione della relazione differenziale ricavi l'andamento con il tempo.
$M(t) (d \hat(H) (t))/(dt) + \hat H(t) (dM(t))/(dt) = \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$
Poiché il sistema è un sistema chiuso, allora il termine di accumulo $(dM)/(dt)=0$ e nel caso di variazione di temperatura dovuta al calore sensibile allora $\hat (H)(t) = c_p (T(t)) T(t)$ che per semplicità potresti ipotizzare il calore specifico indipendente dalla temperatura: $c_p(T(t))=c_p$ allora l'equazione di bilancio la puoi riscrivere come:
$M c_p (dT(t))/(dt)= \dot Q + \dot L_m + V (dp)/(dt)$
Ora devi considerare le trasformazioni:
Per quanto riguarda la trasformazione isoterma, la variazione di entalpia è data solo dalla variazione di entalpia per la pressione:
$\Delta H_T = \int_(P_1)^(p_s) [ V - T ( (\partial V) / (\partial T) )_p ]_T dp$
*che nel caso dei gas perfetti puoi considerare solo $\Delta H_T= \lambda(p_s(T))$
Questa sarà quindi l'energia utile ai fini del raffreddamento.
Ora poiché si conosce la quantità di energia necessaria al raffreddamento $\DeltaH_T$, scriviamo l'isobara:
$M c_p dT=\DeltaH_T dt$
Dalla risoluzione della relazione differenziale ricavi l'andamento con il tempo.
Per determinare la variazione di temperatura in relazione al tempo ti conviene considerare l'equazione di bilancio delle potenze, per il quale per un sistema chiuso e considerando la sola energia interna al sistema:
M(t)dHˆ(t)dt+Hˆ(t)dM(t)dt=Q.+L.m+Vdpdt
che equazione è?puoi darmi qualche riferimento bibliografico..perchè cosi non mi dice niente
Ora poiché si conosce la quantità di energia necessaria al raffreddamento ΔHT, scriviamo l'isobara:
McpdT=ΔHTdt
questa eq non mi torna dimensionalmente
da una parte abbiamo i joule, dall'altra joule per secondo.non sarebbe più facile collegare la relazione del calore che q=mcpdt all'energia interna e quindi al lavoro in qualche modo?Anche perchè io di partenza so poche cose..le temperature, le pressioni i volumi , massa e calore specifico.
Dal Sandler Chemical, Biochemical and Engineering Thermodynamics IV edizione
Alla pagina 35 trovi i bilanci di materia, alla pagina 45 trovi il principio di conservazione dell'energia.
Considerando un sistema aperto in cui è presente $\dotQ$ (potenza termica) , $\dot L_m$ (potenza meccanica) , $-p(dV)/(dt)$ (lavoro effettuato dalle forze esterne su unità di tempo) e $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i)$ (potenza entrante nel sistema).
$(dE)/(dt)=\dotQ + \dotL_m -p(dV)/(dt) + (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(in)) - (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(out))$
Puoi considerare un sistema chiuso, allora $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i ) = 0$
possiamo ipotizzare che la potenza meccanica sia nulla $\dot L_m = 0$
Quindi il bilancio delle potenze è il seguente:
$(dE)/(dt) = \dot Q - p (dV)/(dt)$
Possiamo assumere che il contributo energetico sia solo quello dovuto dall'energia interna, trascurando l'energia cinetica e potenziale del sistema.
$(dU)/(dt)= \dot Q - p (dV)/(dt)$
Dalla definizione di entalpia $H=U+pV$ allora puoi scrivere il bilancio attraverso questa:
$(d(H-pV))/(dt) = \dotQ - p(dV)/(dt)$
Quindi quando sviluppi l'equazione:
$(dH)/(dt)= \dot Q + V (dp)/(dt)$
L'energia la puoi esprimere anche come energia specifica: $E=M\hat(E)$
$(d(M\hat(H)))/(dt) = \dot Q + V(dp)/(dt)$ $rarr$ $\hat(H) (dM)/(dt) + M (d\hat(H))/(dt) = \dot Q + V (dp)/(dt)$
Poiché abbiamo considerato un sistema chiuso, non c'è variazione di massa all'interno: $(dM)/(dt) = 0$
Nel caso di in cui il calore specifico sia indipendente dalla temperatura: $(d\hat(H))/(dt) = c_p (dT)/(dt)$
Quindi il bilancio lo puoi riscrivere come $Mc_p(dT)/(dt) = \dotQ + V (dp)/(dt)$
Sviluppando l'equazione differenziale: $Mc_pdT= \dot Q dt + V dp$
Poi nel caso di una trasformazione isoterma fino alla vaporizzazione per un gas perfetto puoi considerare che il calore scambiato sia $\DeltaH_T$.
Nel bilancio io ho considerato le potenze perciò dovresti considerare il calore scambiato su unità di tempo.
Quindi $\Delta \dot(H)_T= \dot Q$
Quindi nel caso più semplice come già precedentemente scritto: $Mc_pdT=\dot \lambda dt$
Alla pagina 35 trovi i bilanci di materia, alla pagina 45 trovi il principio di conservazione dell'energia.
Considerando un sistema aperto in cui è presente $\dotQ$ (potenza termica) , $\dot L_m$ (potenza meccanica) , $-p(dV)/(dt)$ (lavoro effettuato dalle forze esterne su unità di tempo) e $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i)$ (potenza entrante nel sistema).
$(dE)/(dt)=\dotQ + \dotL_m -p(dV)/(dt) + (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(in)) - (\sumF_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i))_(\text(out))$
Puoi considerare un sistema chiuso, allora $\sum F_i (\hat(E)_i + p_i \hat(V)_i ) = 0$
possiamo ipotizzare che la potenza meccanica sia nulla $\dot L_m = 0$
Quindi il bilancio delle potenze è il seguente:
$(dE)/(dt) = \dot Q - p (dV)/(dt)$
Possiamo assumere che il contributo energetico sia solo quello dovuto dall'energia interna, trascurando l'energia cinetica e potenziale del sistema.
$(dU)/(dt)= \dot Q - p (dV)/(dt)$
Dalla definizione di entalpia $H=U+pV$ allora puoi scrivere il bilancio attraverso questa:
$(d(H-pV))/(dt) = \dotQ - p(dV)/(dt)$
Quindi quando sviluppi l'equazione:
$(dH)/(dt)= \dot Q + V (dp)/(dt)$
L'energia la puoi esprimere anche come energia specifica: $E=M\hat(E)$
$(d(M\hat(H)))/(dt) = \dot Q + V(dp)/(dt)$ $rarr$ $\hat(H) (dM)/(dt) + M (d\hat(H))/(dt) = \dot Q + V (dp)/(dt)$
Poiché abbiamo considerato un sistema chiuso, non c'è variazione di massa all'interno: $(dM)/(dt) = 0$
Nel caso di in cui il calore specifico sia indipendente dalla temperatura: $(d\hat(H))/(dt) = c_p (dT)/(dt)$
Quindi il bilancio lo puoi riscrivere come $Mc_p(dT)/(dt) = \dotQ + V (dp)/(dt)$
Sviluppando l'equazione differenziale: $Mc_pdT= \dot Q dt + V dp$
Poi nel caso di una trasformazione isoterma fino alla vaporizzazione per un gas perfetto puoi considerare che il calore scambiato sia $\DeltaH_T$.
Nel bilancio io ho considerato le potenze perciò dovresti considerare il calore scambiato su unità di tempo.
Quindi $\Delta \dot(H)_T= \dot Q$
Quindi nel caso più semplice come già precedentemente scritto: $Mc_pdT=\dot \lambda dt$
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