Estremi di integrazione nella dimostrazione di Biot-Savart
Salve a tutti, sto avendo problemi nel comprendere la dimostrazione della legge di Biot-Savart, nello specifico capire quali sono gli estremi di integrazione; mi spiego meglio.
La situazione è questa:
Il punto di partenza è la prima legge elementare di Laplace:
\(\displaystyle d\vec{B} = \frac{\mu_0i}{4\pi} \frac{d\vec{s} \times \hat{u}_r}{r^2} \)
e dopo una serie di cambi di variabile e proiezioni si arriva alla funzione integranda per metà filo:
\(\displaystyle dB = -\frac{\mu_0i}{4\pi} \frac{d(cos\theta)}{R} \)
guardando la figura non riesco proprio a capire in che modo e secondo quale criterio il libro sceglie gli estremi di integrazione; sul web tutte le fonti che ho trovato dimostrano la legge in un altro modo, integrando \(\displaystyle sen\theta\,d\theta \) ma io preferirei comprendere la dimostrazione in linea con quella del libro. Che procede così:
\(\displaystyle B_a = - \frac{\mu_0i}{4\pi R} \int_{cos\theta_1}^0 d(cos\theta) = \frac{\mu_0\,i\,cos\theta_1}{4\pi R} \)
ma non riesco proprio a seguirlo.
Qualcuno saprebbe per caso spiegarmi cosa succede?
Grazie mille in ogni caso
La situazione è questa:
Il punto di partenza è la prima legge elementare di Laplace:
\(\displaystyle d\vec{B} = \frac{\mu_0i}{4\pi} \frac{d\vec{s} \times \hat{u}_r}{r^2} \)
e dopo una serie di cambi di variabile e proiezioni si arriva alla funzione integranda per metà filo:
\(\displaystyle dB = -\frac{\mu_0i}{4\pi} \frac{d(cos\theta)}{R} \)
guardando la figura non riesco proprio a capire in che modo e secondo quale criterio il libro sceglie gli estremi di integrazione; sul web tutte le fonti che ho trovato dimostrano la legge in un altro modo, integrando \(\displaystyle sen\theta\,d\theta \) ma io preferirei comprendere la dimostrazione in linea con quella del libro. Che procede così:
\(\displaystyle B_a = - \frac{\mu_0i}{4\pi R} \int_{cos\theta_1}^0 d(cos\theta) = \frac{\mu_0\,i\,cos\theta_1}{4\pi R} \)
ma non riesco proprio a seguirlo.
Qualcuno saprebbe per caso spiegarmi cosa succede?
Grazie mille in ogni caso
Risposte
Gli estremi integrando in $sin\theta d\theta$ li sapresti scrivere? Se la risposta, come mi pare di aver capito dal tuo dilemma è sì, allora non devi far altro che notare che non ha fatto altro che scrivere $-sin\theta d\theta=d(cos\theta)$ . Una normale sostituzione $y=cos\theta$ ti porta ai nuovi estremi.
"Nikikinki":
Gli estremi integrando in $sin\theta d\theta$ li sapresti scrivere? Se la risposta, come mi pare di aver capito dal tuo dilemma è sì, allora non devi far altro che notare che non ha fatto altro che scrivere $-sin\theta d\theta=d(cos\theta)$ . Una normale sostituzione $y=cos\theta$ ti porta ai nuovi estremi.
Se devo essere sincero non ho afferrato neanche il modo in cui sceglie gli angoli, anche lavorando solo con \(\displaystyle sen\theta\,d\theta \). Fino a questo punto nella dimostrazione abbiamo lavorato solo con l'angolo \(\displaystyle \theta \) originale compreso tra \(\displaystyle d\vec{s} \) e \(\displaystyle \hat{u}_r \), differenziali e trigonometria varia, tutto nell'ambito del triangolo superiore della seconda immagine (quella in bianco e nero).
Capisco concettualmente di aver lavorato solo con mezzo filo fino al momento, e di aver trascurato tutta la parte "inferiore", ma guardando meglio quel \(\displaystyle \theta_1 \) per me salta fuori dal nulla. Da che stavamo lavorando sul triangolo "superiore" al momento di integrare salta fuori l'altra metà e vuoi perché dopo un giorno di studio sono stanco vuoi perché mi manca qualche concetto non capisco proprio
Per quanto riguarda la mia domanda originale ovvero gli estremi di integrazione, riconosco che non ha molto senso concentrarmi sull'integrale di sostituzione se non saprei risolvere neanche quello con gli angoli invariati.
Comunque grazie per la risposta
In realtà mi pare parta da sotto. Nel pezzo di sotto l'angolo varia da $\theta_1$ a $\pi/2$ e quindi il coseno dell'angolo varia da $cos(\theta_1)$ a $cos(\pi/2)=0$
"Nikikinki":
In realtà mi pare parta da sotto. Nel pezzo di sotto l'angolo varia da $\theta_1$ a $\pi/2$ e quindi il coseno dell'angolo varia da $cos(\theta_1)$ a $cos(\pi/2)=0$
Ti chiedo scusa per la mia testa dura, ho un esame orale domani e al momento ho così tante cose in testa che ho perso la lucidità che ci vuole per concentrarsi bene sul problema
Questo è il testo della dimostrazione:
ho seguito il ragionamento fino al momento dell'integrazione e come si vede si lavora tutto il tempo sulla metà superiore del triangolo, in pratica non ho mai fatto uso (?) della metà inferiore. Al momento di integrare, però. salta tutto.
Dovessi inventare io la dimostrazione (e probabilmente sbaglierei) integrerei da \(\displaystyle \pi - \theta \) a 0 senza sostituzioni varie, ma magari sto "visualizzando" mentalmente male il processo di integrazione.
La situazione è identica sopra e sotto. Usa il triangolo di sopra per ricavare quelle relazioni ma poi wuando va a integrare parte da sotto e, dato che sopra è uguale, moltiplica per 2 il risultato. Non capisco dove tu ti perda. Gli estremi sono quelli che ho detto.
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