Esericizio Moto Armonico Gravitazione
Salve vi propongo un esercizio di cui non ho la soluzione.
In una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ è scavata una cavità cilindrica di dimensioni trascurabili , passante per il suo centro e parallela all'asse $y$.
Determinare in funzione di y all'interno della sfera la forza F, agente su una piccola massa $m$ posta nella cavità.
Se la massa è posta con velocotà nulla all'estremo della cavità, dopo quanto tempo e con che velocità raggiunge il centro della sfera?
Per la soluzione pensavo di sfruttare il teorema dei gusci.
$F = G*mM/R^3*y$, dove $y$ è la distanza dal centro della sfera. Questo rileva un moto di tipo armonico con $F=-ky$ e $k=G*mM/R^3$.
E' un ragionamento valido? Avrei difficoltà nel determinare tempo e la velocità. Non saprei proprio come impostare l'unica infomazione che ho $Asin(wt+ P)$ è l'equazione del moto armonico.
Grazie per le eventuali risposte.
In una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ è scavata una cavità cilindrica di dimensioni trascurabili , passante per il suo centro e parallela all'asse $y$.
Determinare in funzione di y all'interno della sfera la forza F, agente su una piccola massa $m$ posta nella cavità.
Se la massa è posta con velocotà nulla all'estremo della cavità, dopo quanto tempo e con che velocità raggiunge il centro della sfera?
Per la soluzione pensavo di sfruttare il teorema dei gusci.
$F = G*mM/R^3*y$, dove $y$ è la distanza dal centro della sfera. Questo rileva un moto di tipo armonico con $F=-ky$ e $k=G*mM/R^3$.
E' un ragionamento valido? Avrei difficoltà nel determinare tempo e la velocità. Non saprei proprio come impostare l'unica infomazione che ho $Asin(wt+ P)$ è l'equazione del moto armonico.
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
"WalterLewin90":
....
Questo rileva un moto di tipo armonico con $F=-ky$ e $k=G*(mM)/R^3$.
.....
Mi sembra che si potrebbe continuare così .....
Se
$F=-G*(mM)/R^3 y$,
allora
$m ddot y = -G*(mM)/R^3 y$
e cioè
$ddot y = -G*M/R^3 y=-omega^2 y$, con $omega=sqrt(G*M/R^3)$.
Il moto è oscillatorio armonico con pulsazione $omega$ e periodo
$T=(2 pi)/omega=2 pi sqrt(R^3/(GM))$.
Date le condizioni iniziali poste, l'equazione oraria è
$y(t)=Rcos(omega t)$
e la velocità ha espressione
$dot y(t)=-omegaRsin(omega t)=-sqrt(GM/R)sin(omega t)$.
La massa $m$ raggiunge per la prima volta il centro dopo $1/4$ di periodo, coè per
$t=1/4T=pi/(2 omega)=pi/2 sqrt(R^3/(GM))$.
La velocità in quel punto è
$dot y(T/4)=-sqrt(GM/R)sin(omega T/4)=-sqrt(GM/R)sin(pi/2)=-sqrt(GM/R)$.
Grazie mille per la risposta!
Purtroppo non mi è chiaro un passaggio: Perchè la massa impiega un $1/4$ di T per giungere al centro della sfera?
Grazie mille per l'aiuto!
Purtroppo non mi è chiaro un passaggio: Perchè la massa impiega un $1/4$ di T per giungere al centro della sfera?
Grazie mille per l'aiuto!
Un'oscillazione completa, che consiste in un'andata e un ritorno, viene descritta in un periodo. Quindi un'andata da un estremo all'altro in $1/2$ periodo e il percorso da un estremo al centro dell'oscillazione in $1/4$ di periodo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo