Esericizio Eq.ni del Moto - Lagrange

[zoritativo]

ciao ragazzi, voglio porvi il seguente esercizio poichè ho un dubbio su come individuare il vettore posizione di un punto avendo nota la velocità angolare di una asta.



questa è la soluzione data dal professore:

$L=1/2m{v_p}^T{v_p}-k/2theta^2 =$
$m/2[L_1^2omega^2+L_2^2(omega+dot theta)^2+2L_1L_2omega(omega+dot theta)cos(theta)]-k/2theta^2$

Ho provato a scrivere il vettore posizione impostando gli assi come vedete in figura, ma non sono per nulla sicuro di quella espressione. Ho pensato che lo spostamento virtuale non dipende dal tempo, calcolo il sistema cioè come se fosse immobile ma non mi pare che la mia espressione sia giusta.
Vi ringrazio per l'aiuto.

Luca

[mathbells]

Ciao! Allora, nella tua espressione la prima cosa che si nota è che è dimensionalmente sbagliata: $L_1\omega$ è una velocità mentre $L_2\cos \theta$ e $L_2\sin \theta$ sono lunghezze.

Inoltre, dalla figura sembra che tu voglia "inseguire" l'asta con l'asse $x$, orientandolo lungo di essa: capisci bene che è una "guerra persa" perché l'asta ruota mentre l'asse $X$ deve rimanere fisso

Io ti consiglio di orientare gli assi nel modo usulae: $x$ orizzontale verso destra e $y$ verticale verso l'alto, con l'origine nel centro di rotazione dell'asta vincolata al muro. In questo modo si ha:

$P_x=L_1\sin (\omega t)+L_2\sin (\omega t +\theta)$
$P_y=-L_1\cos (\omega t)-L_2\cos (\omega t +\theta)$

con l'ipotesi che per $t=0$ l'asta 1 sia verticale