[Esercizo] Quadrivettore velocità
Ciao a tutti. Ho un esercizio da fare e ho qualche dubbio. Immagino che agli occhi di molti risulterà banale, ma ahime, non tutti hanno la possibilità di avere buoni docenti...
Un oggetto percorre [tex]10^5[/tex] Km in 1 secondo lungo la direzione x. Si dica qual è ka componente [tex]u_x[/tex] del quadrivettore velocità[tex](u_0, u_x, u_y, u_z)[/tex], (c=[tex]3\cdot10^5[/tex] Km/s).
Io ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo.
So che il quadrivettore velocità ha componenti [tex](\gamma, \gamma\cdot \vec \beta)[/tex], dove [tex]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}[/tex] e [tex]\beta=\frac{v_r}{c}.[/tex]
quindi la componente x sarà data dalla componente x del vettore [tex]\gamma\cdot \vec \beta.[/tex]
[tex]\gamma= \frac{3}{2\sqrt{2}}
\beta = \frac{1}{3}.[/tex]
Da cui ricavo che la [tex]u_x=\frac{1}{2\sqrt{2}}.[/tex]
Il problema è che questa non è tra le possibili risposte al problema. Dove sbaglio?
grazie
Un oggetto percorre [tex]10^5[/tex] Km in 1 secondo lungo la direzione x. Si dica qual è ka componente [tex]u_x[/tex] del quadrivettore velocità[tex](u_0, u_x, u_y, u_z)[/tex], (c=[tex]3\cdot10^5[/tex] Km/s).
Io ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo.
So che il quadrivettore velocità ha componenti [tex](\gamma, \gamma\cdot \vec \beta)[/tex], dove [tex]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}[/tex] e [tex]\beta=\frac{v_r}{c}.[/tex]
quindi la componente x sarà data dalla componente x del vettore [tex]\gamma\cdot \vec \beta.[/tex]
[tex]\gamma= \frac{3}{2\sqrt{2}}
\beta = \frac{1}{3}.[/tex]
Da cui ricavo che la [tex]u_x=\frac{1}{2\sqrt{2}}.[/tex]
Il problema è che questa non è tra le possibili risposte al problema. Dove sbaglio?
grazie
Risposte
immagino che l'oggetto che dici che percorre tale velocità sia rispetto a un osservatore in quiete, giusto? (ricorda che se usi la RR devi sempre fissare il riferimento di lorentz n cui ti trovi)
fissato dunque questo sistema di riferimento, che avrà coordinate $(ct,x,y,z)=(ct,x(t))$, il problema ti dice che il moto è unidimensionale lungo $x$, ovvero $bar{v}=(v,0,0)$.
Le possibili risposte del problema quali sono?...
fissato dunque questo sistema di riferimento, che avrà coordinate $(ct,x,y,z)=(ct,x(t))$, il problema ti dice che il moto è unidimensionale lungo $x$, ovvero $bar{v}=(v,0,0)$.
Le possibili risposte del problema quali sono?...
il testo non specifica come deve essere l'osservatore, ma immagino proprio di si.
le possibili risposte sono
1) [tex]u_x = \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
2) [tex]u_x = 10^5 Km/s[/tex]
3) [tex]u_x = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
4) [tex]u_x = \sqrt{2}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
le possibili risposte sono
1) [tex]u_x = \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
2) [tex]u_x = 10^5 Km/s[/tex]
3) [tex]u_x = \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
4) [tex]u_x = \sqrt{2}\cdot 10^5 Km/s[/tex]
osserva che i risultati che tu vedi non sono normalizzati per $c$.
cosidera la risposta 1) e normalizza per $c$ quello che ottieni è $u_x/c=1/(2\sqrt{2})$ che è quello che hai calcolato te.
normalizzare per $c$ di solito si usa per poter scrivere che, detto $u^{\mu}$ il quadrivettore velocità, la norma rispetto alla metrica di $g$ è unitaria - osserva che $g$ induce veramente una metrica dove esistono gli spostamenti ammissibili, in quanto tu consideri, a parte i fotoni (per cui non esiste infatti il riferimento proprio), spostamenti solo per vettori di tipo tempo, cioè dove $g(v,v)>0$.
Il problema è che, come hai scritto te nella tua risposta, queste non sono velocità! sono numeri puri, quindi se ti chiede la velocità devi rimoltiplicare per $c$ che è in questa situazione una costante di normalizzazione delle unità di misura .
A volte si preferisce definire (che è uguale a meno di una costante) la velocità $u^{\mu}=d/{d\tau}(ct,x(t))$ ovvero la derivata rispetto al tempo proprio. In questo modo ottieni, usando un pò di derivazioni composte (ricordando $dt=\gamma d\tau$) che $u^{mu}=(c\gamma, \gamma \dot{x})$. Nel tuo caso $\dot{x}=(v,0,0)$ da cui $u^{mu}=(c\gamma, v\gamma,0,0)$, come avevi calcolato te.
cosidera la risposta 1) e normalizza per $c$ quello che ottieni è $u_x/c=1/(2\sqrt{2})$ che è quello che hai calcolato te.
normalizzare per $c$ di solito si usa per poter scrivere che, detto $u^{\mu}$ il quadrivettore velocità, la norma rispetto alla metrica di $g$ è unitaria - osserva che $g$ induce veramente una metrica dove esistono gli spostamenti ammissibili, in quanto tu consideri, a parte i fotoni (per cui non esiste infatti il riferimento proprio), spostamenti solo per vettori di tipo tempo, cioè dove $g(v,v)>0$.
Il problema è che, come hai scritto te nella tua risposta, queste non sono velocità! sono numeri puri, quindi se ti chiede la velocità devi rimoltiplicare per $c$ che è in questa situazione una costante di normalizzazione delle unità di misura .
A volte si preferisce definire (che è uguale a meno di una costante) la velocità $u^{\mu}=d/{d\tau}(ct,x(t))$ ovvero la derivata rispetto al tempo proprio. In questo modo ottieni, usando un pò di derivazioni composte (ricordando $dt=\gamma d\tau$) che $u^{mu}=(c\gamma, \gamma \dot{x})$. Nel tuo caso $\dot{x}=(v,0,0)$ da cui $u^{mu}=(c\gamma, v\gamma,0,0)$, come avevi calcolato te.
ok. grazie. penso di aver capito.
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