Esercizo interazione tra due corpi
i due corpi sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile e lunghezza $l$; il manicotto di massa $m1$ può scorrere senza attrito lungo un'asta orizzontale. i due corpi vengono lasciati liberi di muoversi con velocità iniziali nulle in corrispondenza al valore $ alpha =alpha 0 $ dell'angolo che il filo forma con la verticale. Si calcoli:
a) l'ampiezza A del moto oscillatorio del manicotto
b) i moduli $v1$ e $v2$ della velocità che i corpi possiedono quando si trovano allineati lungo la verticale.
Preso un'asse x lungo l'asta; siccome all'inizio tutto è fermo abbiamo la conservazione della quantità di moto per cui il centro di massa è fermo. Di conseguenza se $m1$ oscilla di ampiezza $A$ anche $m2$ oscilla con la stessa ampiezza.
I corpi vengono lasciati con ampiezza $alpha0$ e ponendo l'origine in $m1$ l'ampiezza coincide con la proiezione su x della posizione del centro di massa con le posizioni iniziali cioè essendo $x1(0)=0$ avrò $A=(lsenalpha0*m2)/mtot$.
E' un pò complicato da spiegare e non so se le motivazioni sono giuste ma il risultato è questo.
ora per il secondo punto sfrutto la conservazione della quantità di moto e la somma di tutti i lavori è pari alla variazione di energia cinetica.
$ { ( m1v1+m2v2=0),( 1/2m1v1^2+1/2m2v2^2)=m2gl*(1-cosalpha0 ):} $
perchè i corpi all'inizio sono fermi e quindi ho solo l'energia cinetica e come lavoro ho solo l'energia potenziale del corpo 2.
Però non riesco a ricondurmi ad un sistema di equazioni lineari e non riesco a risolverlo? C'è un modo più semplice? Posso sfruttare il vincolo del filo in qualche modo?
a) l'ampiezza A del moto oscillatorio del manicotto
b) i moduli $v1$ e $v2$ della velocità che i corpi possiedono quando si trovano allineati lungo la verticale.
Preso un'asse x lungo l'asta; siccome all'inizio tutto è fermo abbiamo la conservazione della quantità di moto per cui il centro di massa è fermo. Di conseguenza se $m1$ oscilla di ampiezza $A$ anche $m2$ oscilla con la stessa ampiezza.
I corpi vengono lasciati con ampiezza $alpha0$ e ponendo l'origine in $m1$ l'ampiezza coincide con la proiezione su x della posizione del centro di massa con le posizioni iniziali cioè essendo $x1(0)=0$ avrò $A=(lsenalpha0*m2)/mtot$.
E' un pò complicato da spiegare e non so se le motivazioni sono giuste ma il risultato è questo.
ora per il secondo punto sfrutto la conservazione della quantità di moto e la somma di tutti i lavori è pari alla variazione di energia cinetica.
$ { ( m1v1+m2v2=0),( 1/2m1v1^2+1/2m2v2^2)=m2gl*(1-cosalpha0 ):} $
perchè i corpi all'inizio sono fermi e quindi ho solo l'energia cinetica e come lavoro ho solo l'energia potenziale del corpo 2.
Però non riesco a ricondurmi ad un sistema di equazioni lineari e non riesco a risolverlo? C'è un modo più semplice? Posso sfruttare il vincolo del filo in qualche modo?
Risposte
Posta un'immagine...
Lungo l'asse x parallelo alla sbarra non agiscono forze esterne al sistema, pertanto lungo l'asse x la quantità di moto si conserva, ossia in questo caso la posizione lungo l'asse x del centro di massa rimane invariata. La posizione iniziale del centro di massa è $x_c=(m_2lsintheta_0)/(m_1+m_2)$, che rimane invariata, attorno alla quale oscilla la massa $m_1$, che ha quindi ampiezza di oscillazione $A=(m_2lsintheta_0)/(m_1+m_2)$. Non è vero che $m_2$ ha la stessa ampiezza di oscillazione.
Quando i due corpi so trovano sulla verticale, entrambi hanno velocità verticale nulla e hanno velocità orizzontali tali che $m_1v_1=m_2v_2$, inoltre essendo l'asta orizzontale priva di attriti, si ha la conservazione dell'energia: $1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=m_2gl(1-costheta_0)$
Quando i due corpi so trovano sulla verticale, entrambi hanno velocità verticale nulla e hanno velocità orizzontali tali che $m_1v_1=m_2v_2$, inoltre essendo l'asta orizzontale priva di attriti, si ha la conservazione dell'energia: $1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2=m_2gl(1-costheta_0)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo