Esercizio Variabili Rotazionali
Buongiorno! 
Avrei bisogno di un aiutino per quanto riguarda l'esercizio numero 9 del capitolo 8, del libro "Fisica vol.1 di David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane".
L'esercizio è:
Una ruota ha sei raggi della lunghezza di 30 cm. La ruota è montata su asse fisso e gira attorno a tale asse alla velocità di $2,5 (giri)/s $. Si vuole sparare una freccia di $ 24 cm $ di lunghezza attraverso la ruota senza che urti uno dei suoi raggi. Si assuma che i raggi e la freccia siano di spessore trascurabile.
(a) Qual è la velocità minima alla quale deve essere scagliata la freccia (per non prendere i raggi e passare in modo liscio).
(b) Fa differenza mirare un punto in prossimità dell'albero o in prossimità del bordo della ruota? In caso risposta affermativa, qual è la scelta migliore?
Nel mio ragionamento sono partito dal fatto che la freccia per attraversare la ruota abbia bisogno di un tempo $ (1): t = L_F / V_(M)$ , quindi ponendo la disugualianza $ (2): t < T / n $ con $ T $ che rappresenta il periodo del moto, e $ n $ il numero dei raggi dovrei ottenere la $ V_M $.
La velocità che il problema ci da rappresenta una frequenza, otteniamo subito il periodo $T$ sfruttando la relazione $f = 1/T$. Quindi $ T= 0.4 s $.
Segue dalla $(1)$ e dalla (2):
$ (L_F)/V_M < T/n $
$ V_(M) < (n * L_F)/T = (6 * 0.24 m)/(0.4 s) = 3.6 m/s$
Il risultato dato dal testo è $4.8 m/s$. Qualcuno riesce a vedere l'errore. Ho notato che il risultato fornito dal testo coincide con il caso in cui $n=8$.
Dai calcoli non risulta alcuna dipendenza da $R$ per cui la risposta al quesito $b$ è no.
Inerente a questo secondo punto, ammetto che il mio primo pensiero è stato che ci fosse una certa dipendenza tra la velocità e il punto della ruota in cui si lancia.
Buono studio a tutti!
Avrei bisogno di un aiutino per quanto riguarda l'esercizio numero 9 del capitolo 8, del libro "Fisica vol.1 di David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane".
L'esercizio è:
Una ruota ha sei raggi della lunghezza di 30 cm. La ruota è montata su asse fisso e gira attorno a tale asse alla velocità di $2,5 (giri)/s $. Si vuole sparare una freccia di $ 24 cm $ di lunghezza attraverso la ruota senza che urti uno dei suoi raggi. Si assuma che i raggi e la freccia siano di spessore trascurabile.
(a) Qual è la velocità minima alla quale deve essere scagliata la freccia (per non prendere i raggi e passare in modo liscio).
(b) Fa differenza mirare un punto in prossimità dell'albero o in prossimità del bordo della ruota? In caso risposta affermativa, qual è la scelta migliore?
Nel mio ragionamento sono partito dal fatto che la freccia per attraversare la ruota abbia bisogno di un tempo $ (1): t = L_F / V_(M)$ , quindi ponendo la disugualianza $ (2): t < T / n $ con $ T $ che rappresenta il periodo del moto, e $ n $ il numero dei raggi dovrei ottenere la $ V_M $.
La velocità che il problema ci da rappresenta una frequenza, otteniamo subito il periodo $T$ sfruttando la relazione $f = 1/T$. Quindi $ T= 0.4 s $.
Segue dalla $(1)$ e dalla (2):
$ (L_F)/V_M < T/n $
$ V_(M) < (n * L_F)/T = (6 * 0.24 m)/(0.4 s) = 3.6 m/s$
Il risultato dato dal testo è $4.8 m/s$. Qualcuno riesce a vedere l'errore. Ho notato che il risultato fornito dal testo coincide con il caso in cui $n=8$.
Dai calcoli non risulta alcuna dipendenza da $R$ per cui la risposta al quesito $b$ è no.
Inerente a questo secondo punto, ammetto che il mio primo pensiero è stato che ci fosse una certa dipendenza tra la velocità e il punto della ruota in cui si lancia.
Buono studio a tutti!
Risposte
Lo svolgimento mi pare corretto ed anche i calcoli. L'unica osservazione è che devi invertire il segno della disuguaglianza. Potrebbe trattarsi di un errore del libro.
Per quanto riguarda il secondo punto, anche senza fare calcoli è evidente che $V_M$ non dipenda da dove si mira. La freccia deve passare tra due raggi, e due raggi consecutivi sono separati sempre dallo stesso angolo (nel nostro caso 60°), ed essendo $\omega$ la stessa per tutti i punti della ruota, il tempo per passare da un raggio al successivo è sempre lo stesso.
Per quanto riguarda il secondo punto, anche senza fare calcoli è evidente che $V_M$ non dipenda da dove si mira. La freccia deve passare tra due raggi, e due raggi consecutivi sono separati sempre dallo stesso angolo (nel nostro caso 60°), ed essendo $\omega$ la stessa per tutti i punti della ruota, il tempo per passare da un raggio al successivo è sempre lo stesso.
Grazie della risposta mathbells!
Il mio dubbio è che abbia trascurato i casi particolari più semplici. Per esempio se tirassi la freccia in prossimità del raggio (quello che "arriva") la velocità non dovrebbe essere maggiore rispetto al caso più semplice (lancio della freccia in corrispondenza del raggio che "parte")?
Il verso della disequazione.
Effettivamente alla fine dei calcoli si nota qualcosa di strano, tuttavia questa viene "fuori" dalla $2$, il tempo $t$ della freccia non deve essere minore del periodo affinchè questa attraversi la ruota? Spero di non aver commesso qualche strafalcione ç_ç
Secondo punto.
Forse è dovuto al fatto che ho ragionato per area e non per angoli.
Il mio dubbio è che abbia trascurato i casi particolari più semplici. Per esempio se tirassi la freccia in prossimità del raggio (quello che "arriva") la velocità non dovrebbe essere maggiore rispetto al caso più semplice (lancio della freccia in corrispondenza del raggio che "parte")?
Il verso della disequazione.
Effettivamente alla fine dei calcoli si nota qualcosa di strano, tuttavia questa viene "fuori" dalla $2$, il tempo $t$ della freccia non deve essere minore del periodo affinchè questa attraversi la ruota? Spero di non aver commesso qualche strafalcione ç_ç
Secondo punto.
Forse è dovuto al fatto che ho ragionato per area e non per angoli.
"BigRaf":
Per esempio se tirassi la freccia in prossimità del raggio (quello che "arriva") la velocità non dovrebbe essere maggiore rispetto al caso più semplice (lancio della freccia in corrispondenza del raggio che "parte")?
Infatti il problema ti chiede la velocità minima, che corrisponde al caso lancio della freccia in corrispondenza del raggio che "parte" .
"BigRaf":
Il verso della disequazione.
Effettivamente alla fine dei calcoli si nota qualcosa di strano, tuttavia questa viene "fuori" dalla 2, il tempo t della freccia non deve essere minore del periodo affinchè questa attraversi la ruota?
Sì infatti la disequazione l'hai impostata bene ma l'hai risolta male
Quando risolvi rispetto a $V_M$, il verso diventa $>$
La velocità minima corrisponde al caso più semplice, capito.
Grazie mathebells! Alla prossima e buona domenica!
Grazie mathebells! Alla prossima e buona domenica!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo