Esercizio urti
Salve a tutti! tra qualche giorno c'è il famigerato esame di Fisica I. Mi trovo a risolvere un tema d'esame dell'anno scorso, che tratta l'urto parzialmente anelastico, esercizio mai visto nelle esercitazioni o in altri temi d'esame. Qualcuno sa darmi una mano?!
Un pendolo semplice di massa m1 e lunghezza l, soggetto ad una forza orizzontale Fo come indicato in figura, si trova in equilibrio statico. a) Calcolare l’angolo di equilibrio statico θ =θeq
All’istante t0 la forza Fo viene rimossa e il pendolo è lasciato libero di oscillare. Per θ = 0 esso urta una massa puntiforme m2 inizialmente ferma su un piano orizzontale. Dopo l’urto (parzialmente anelastico) il pendolo torna indietro, raggiungendo una elongazione massima caratterizzata dall’angolo θ = θmax, mentre la massa m2 viene spinta in avanti. Si trascuri la resistenza dell’aria.
Calcolare il modulo delle velocità v1f di m1 e v2f di m2 subito dopo l’urto.
Dati: m1 = 0.1 kg, l = 1 m, F0 = 1 N, m2 = 0.3 kg, θmax = 30° e approssimare g ~ 10 m⋅s- 2√2 ~1.4 , √3~1.7
Un pendolo semplice di massa m1 e lunghezza l, soggetto ad una forza orizzontale Fo come indicato in figura, si trova in equilibrio statico. a) Calcolare l’angolo di equilibrio statico θ =θeq
All’istante t0 la forza Fo viene rimossa e il pendolo è lasciato libero di oscillare. Per θ = 0 esso urta una massa puntiforme m2 inizialmente ferma su un piano orizzontale. Dopo l’urto (parzialmente anelastico) il pendolo torna indietro, raggiungendo una elongazione massima caratterizzata dall’angolo θ = θmax, mentre la massa m2 viene spinta in avanti. Si trascuri la resistenza dell’aria.
Calcolare il modulo delle velocità v1f di m1 e v2f di m2 subito dopo l’urto.
Dati: m1 = 0.1 kg, l = 1 m, F0 = 1 N, m2 = 0.3 kg, θmax = 30° e approssimare g ~ 10 m⋅s- 2√2 ~1.4 , √3~1.7
Risposte
La mia soluzione è:
1)
F0=TsenTeta;
TcosTeta=m1g;
da qui trovo Teta=45°.
2)Applico il teorema della conservazione dell'energia.
m1g(L-LcosTeta)=1/2m1v^2;
da qui trovo v=sqrt(2g(L-LcosTeta);
questa è la velocità che ha la m1 prima di urtare m2
Ora trovo la Vcm(velocita del centro di massa)
Vcm=(v*m1)/(m1+m2);
Il problema è che per gli urti parzialmente anelastici bisogna calcolare il coefficiente di restituzione.
Per farlo calcolo v'=v-Vcm.
Ed ora non so andare avanti.. In teoria bisognerebbe trovare v'finale. Ma non so assolutamente come fare.
1)
F0=TsenTeta;
TcosTeta=m1g;
da qui trovo Teta=45°.
2)Applico il teorema della conservazione dell'energia.
m1g(L-LcosTeta)=1/2m1v^2;
da qui trovo v=sqrt(2g(L-LcosTeta);
questa è la velocità che ha la m1 prima di urtare m2
Ora trovo la Vcm(velocita del centro di massa)
Vcm=(v*m1)/(m1+m2);
Il problema è che per gli urti parzialmente anelastici bisogna calcolare il coefficiente di restituzione.
Per farlo calcolo v'=v-Vcm.
Ed ora non so andare avanti.. In teoria bisognerebbe trovare v'finale. Ma non so assolutamente come fare.
Non farti spaventare dal fatto che l'urto è parzialmente anelastico, l'energia prima e dopo l'urto non si conserva ma si conserva sempre qualcos'altro, in questo caso avendo a che fare con rotazioni cosa sarà? Poi conosci la velocità del pendolo prima e dopo l'urto (ti dice a che altezza risale quindi implicitamente è nota la velocità dopo l'urto) per cui la velocità dell'altra massa la puoi conoscere.
si scusami.. in realtà avevo calcolato anche v1f! 
Ma quindi v2f la calcolo semplicemente grazie alla conservazione della quantità di moto?!
m1v1=m1v1f+m2v2f ?!
Perchè io ho usato il Mazzoldi per studiare, e mi parla di un coefficiente di restituzione e=-(p'1fin)/(p'1in)=-(p'2fin)/(p'2in)=-(v'1fin)/(v'1in)=-(v'2fin)/(v'2in).
Dove credo che ,ad esempio, v'1in=v1-vcm e v'1fin=v1fin-vcm(finale?!).
Il mio problema consisteva nel trovare la velocità finale del centro di massa. Perchè non ho ancora capito se è uguale sia prima che dopo l'urto.
Secondo il Mazzoldi sempre,
v1f=((m1-e*m2)v1in+m2*(1+e)v2in)/(m1+m2);
v2f=(m1*(1+e)v1in)+(m2-e*m1)v2in))/(m1+m2)
E quindi bo...
Ma quindi v2f la calcolo semplicemente grazie alla conservazione della quantità di moto?!
m1v1=m1v1f+m2v2f ?!
Perchè io ho usato il Mazzoldi per studiare, e mi parla di un coefficiente di restituzione e=-(p'1fin)/(p'1in)=-(p'2fin)/(p'2in)=-(v'1fin)/(v'1in)=-(v'2fin)/(v'2in).
Dove credo che ,ad esempio, v'1in=v1-vcm e v'1fin=v1fin-vcm(finale?!).
Il mio problema consisteva nel trovare la velocità finale del centro di massa. Perchè non ho ancora capito se è uguale sia prima che dopo l'urto.
Secondo il Mazzoldi sempre,
v1f=((m1-e*m2)v1in+m2*(1+e)v2in)/(m1+m2);
v2f=(m1*(1+e)v1in)+(m2-e*m1)v2in))/(m1+m2)
E quindi bo...
In un urto si conserva la quantità di moto solo se non intervengono forze esterne (o impulsi esterni), mentre il momento di quantità di moto si conserva se non intervengono momenti (o momenti impulsivi) esterni.
In questo problema quello che si conserva certamente è il momento angolare rispetto al perno del pendolo perché rispetto a tale perno non agiscono momenti esterni (anche se in questo caso particolare l'equazione che ottieni è equivalente alla conservazione della quantità di moto, ma se avessi un caso più generale in cui la massa del pendolo non è concentrata in un punto le equazioni sarebbero diverse). La velocità del centro di massa pertanto non è costante prima e dopo l'urto, in generale.
Detto ciò hai tutto per trovare la velocità finale dell'altra massa.
In questo problema quello che si conserva certamente è il momento angolare rispetto al perno del pendolo perché rispetto a tale perno non agiscono momenti esterni (anche se in questo caso particolare l'equazione che ottieni è equivalente alla conservazione della quantità di moto, ma se avessi un caso più generale in cui la massa del pendolo non è concentrata in un punto le equazioni sarebbero diverse). La velocità del centro di massa pertanto non è costante prima e dopo l'urto, in generale.
Detto ciò hai tutto per trovare la velocità finale dell'altra massa.
scusami ma non capisco come applicarlo.. potresti dirmi in formule come fare?
Conservazione momento angolare rispetto al perno prima e dopo l'urto.
$m_1 * v1_i*R =m_2 * v2_f*R - m1 * v1_f*R$
Sapendo $v1_i$ e $v1_f$ la $v2_f$ la calcoli subito.
In tal caso la $R$ si semplifica e trovi la stessa equazione di conservazione della quantità di moto. Ma come ti dicevo è un caso particolare, in questo tipo di urto la quantità di moto non si conserva in generale, per esempio se avessi come pendolo una barretta massiva di massa $m1$ che colpisce un massa puntiforme $m2$ la quantità di moto non è conservata, al posto di $m1 *v1 * R$ avresti $I_1 * omega_1$, con $I_1$ momento di inerzia della barretta e $omega_1$ velocità angolare (iniziale e finale a seconda della posizione nell'equazione come sopra).
$m_1 * v1_i*R =m_2 * v2_f*R - m1 * v1_f*R$
Sapendo $v1_i$ e $v1_f$ la $v2_f$ la calcoli subito.
In tal caso la $R$ si semplifica e trovi la stessa equazione di conservazione della quantità di moto. Ma come ti dicevo è un caso particolare, in questo tipo di urto la quantità di moto non si conserva in generale, per esempio se avessi come pendolo una barretta massiva di massa $m1$ che colpisce un massa puntiforme $m2$ la quantità di moto non è conservata, al posto di $m1 *v1 * R$ avresti $I_1 * omega_1$, con $I_1$ momento di inerzia della barretta e $omega_1$ velocità angolare (iniziale e finale a seconda della posizione nell'equazione come sopra).
ma m2 non è attaccata al perno. E' semplicemente una massa ferma su un piano. Quindi m2*v2f*R che senso ha?
E' il momento angolare di $m2$ rispetto al perno subito dopo l'urto (con $R$ ho indicato la lunghezza del pendolo).
ok! grazie mille 
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