Esercizio torricelli-bernoulli, dubbio
Ciao!
Ho questo esercizio su cui ho un dubbio:
Un contenitore inizialmente aperto ha un'area di 4m^2.
Ad una profondità di 2 metri viene fatto un foro, da cui comincia ad uscire l'acqua.
Qual è la velocità con cui fuoriesce?
Inoltre, viene coperto tale contenitore con un pistone la cui massa è 3000 kg. Ora quanto vale la velocità con cui scorre l'acqua dal foro?
Ho ragionato cosi: per la prima domanda ho applicato immediatamente Torricelli, ovvero è possibile calcolare la velocità dell'acqua che fuoriesce dal foro ponendo la radice quadrata di 2gh.
Se però il contenitore viene chiuso da un pistone come posso ragionare?
Nella sezione della scuola di secondo grado mi è stato consigliato di svolgerlo in due modi: il primo ragionando sull'aggiunta del peso del pistone e quindi le varie considerazioni che ne conseguono (ma purtroppo non ne ho capito le formule), il secondo modo sarebbe con Bernoulli.
Mi interesserebbe capire come svolgerlo con Bernoulli, anche perchè Bernoulli io lo associo all'acqua in un tubo e quindi non riesco a visualizzarlo.
Se anche volessi usarlo, per calcolare la pressione mi servirebbe il volume e la velocità, quindi su questo passaggio mi blocco.
Grazie a chi potrà aiutarmi
Grazie
Ho questo esercizio su cui ho un dubbio:
Un contenitore inizialmente aperto ha un'area di 4m^2.
Ad una profondità di 2 metri viene fatto un foro, da cui comincia ad uscire l'acqua.
Qual è la velocità con cui fuoriesce?
Inoltre, viene coperto tale contenitore con un pistone la cui massa è 3000 kg. Ora quanto vale la velocità con cui scorre l'acqua dal foro?
Ho ragionato cosi: per la prima domanda ho applicato immediatamente Torricelli, ovvero è possibile calcolare la velocità dell'acqua che fuoriesce dal foro ponendo la radice quadrata di 2gh.
Se però il contenitore viene chiuso da un pistone come posso ragionare?
Nella sezione della scuola di secondo grado mi è stato consigliato di svolgerlo in due modi: il primo ragionando sull'aggiunta del peso del pistone e quindi le varie considerazioni che ne conseguono (ma purtroppo non ne ho capito le formule), il secondo modo sarebbe con Bernoulli.
Mi interesserebbe capire come svolgerlo con Bernoulli, anche perchè Bernoulli io lo associo all'acqua in un tubo e quindi non riesco a visualizzarlo.
Se anche volessi usarlo, per calcolare la pressione mi servirebbe il volume e la velocità, quindi su questo passaggio mi blocco.
Grazie a chi potrà aiutarmi
Grazie
Risposte
[ot]Vedo che hai seguito il consiglio però non dovevi ripostarlo 
[/ot]
[/ot]
L'equazione di Bernoulli è
$p+rho*v^2/2 + rho*g*h = costante$
vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Bernoulli.
Nel nostro caso prendendo la sezione 1 dove è applicato il pistone è la sezione 2 immediatamente dopo il foro:
$m_p*g/A+p_(atm) + 0 + rho_a*g*h = p_(atm) + rho_a*v^2/2 + 0$
in quanto:
Sezione 1: la pressione è data dal peso del pistone diviso l'area+pressione atmosferica, e la velocità è nulla
Sezione 2: la pressione è solo quella atmosferica e la quota è nulla
Quindi risolvendo
$v= sqrt(2g(h+m_p/(A*rho_a))$
identico al risultato con Torricelli
. In pratica il peso della colonna d'acqua è aumentato del peso equivalente del pistone.
$p+rho*v^2/2 + rho*g*h = costante$
vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_Bernoulli.
Nel nostro caso prendendo la sezione 1 dove è applicato il pistone è la sezione 2 immediatamente dopo il foro:
$m_p*g/A+p_(atm) + 0 + rho_a*g*h = p_(atm) + rho_a*v^2/2 + 0$
in quanto:
Sezione 1: la pressione è data dal peso del pistone diviso l'area+pressione atmosferica, e la velocità è nulla
Sezione 2: la pressione è solo quella atmosferica e la quota è nulla
Quindi risolvendo
$v= sqrt(2g(h+m_p/(A*rho_a))$
identico al risultato con Torricelli
. In pratica il peso della colonna d'acqua è aumentato del peso equivalente del pistone.
Ciao, grazie tutto chiaro..solo una precisazione, gentilmente: nella sezione 2 perchè la quota è nulla? Non abbiamo comunque una h che sarebbe la distanza dal foro a terra?
Inoltre, v1 è 0 perché è la velocità che si trova sul fondo di h1, prima di uscire dal foro?
La scelta del riferimento delle quote è arbitraria e puoi deciderla a tuo piacimento purchè tutte le quote siano riferite alla stessa quota di riferimento. Per cui posso prendere quota zero dal foro, semplicemente perchè mi semplifica i conti.
Puoi facilmente verificare che se supponi che la quota zero sia il terreno distante L allora risulterà
h1 = h+L
h2 = L
e sostituendo nell'equazione di Bernoulli non cambierà nulla perchè aggiungi ad entrambi i membri dell'equazione il termine $rho_a*g*L$ che quindi si elide. Questo è in linea con il fatto che interessano le differenze di quota e non le quote assolute.
V1 è la velocità del fluido nella sezione S1 = 4 m^2 dove è applicato il pistone. Perchè si suppone nulla? Perchè in generale si ipotizza che la sezione del foro sia molto piccola e quindi per l'equazione di continuità la velocità del fluido in 1 trascurabile.
Per fissare le idee supponiamo che la sezione del foro sia S2=4cm^2. Se V2 è la velocità al foro dovrà risultare
$V1*S1 = V2*S2$ e quindi $V1=V2*(S2)/(S1) = (V2)/10000$
Inoltre quello che contano sono i termini cinetici per i quali risulta
$V_1^2 = V_2^2 *10^(-8)$
Per cui porre a zero V1 è pienamente giustificato.
Puoi facilmente verificare che se supponi che la quota zero sia il terreno distante L allora risulterà
h1 = h+L
h2 = L
e sostituendo nell'equazione di Bernoulli non cambierà nulla perchè aggiungi ad entrambi i membri dell'equazione il termine $rho_a*g*L$ che quindi si elide. Questo è in linea con il fatto che interessano le differenze di quota e non le quote assolute.
V1 è la velocità del fluido nella sezione S1 = 4 m^2 dove è applicato il pistone. Perchè si suppone nulla? Perchè in generale si ipotizza che la sezione del foro sia molto piccola e quindi per l'equazione di continuità la velocità del fluido in 1 trascurabile.
Per fissare le idee supponiamo che la sezione del foro sia S2=4cm^2. Se V2 è la velocità al foro dovrà risultare
$V1*S1 = V2*S2$ e quindi $V1=V2*(S2)/(S1) = (V2)/10000$
Inoltre quello che contano sono i termini cinetici per i quali risulta
$V_1^2 = V_2^2 *10^(-8)$
Per cui porre a zero V1 è pienamente giustificato.
Per la velocità mi è chiaro, ho rivisto anche la dimostrazione di torricelli ed effettivamente anche nella dimostrazione ad un certo punto la velocità v1 si suppone trascurabile poichè il foro è cosi piccolo che l'acqua scende molto piano.
Per quanto riguarda h però ho un dubbio: le quote che prediamo in considerazione sono le profondità, non le altezze a partire da terra, quindi se volessi indicare il terreno non dovrei indicare l'altezza completa del recipiente?
Per quanto riguarda h però ho un dubbio: le quote che prediamo in considerazione sono le profondità, non le altezze a partire da terra, quindi se volessi indicare il terreno non dovrei indicare l'altezza completa del recipiente?
L'unica cosa importante è che il punto S1 ovvero dove è posto il pistone è posto 2 m sopra il foro e quindi la sua quota è h=+2 m rispetto a quella del foro. Se ammettiamo che sei in tal punto a quota zero allora basta porre L=-2 m e anche in questo caso non cambia nulla.
Sì, però quando nell'esercizio imposto le "situazioni" 1 e 2, e devo valutarne le altezze, se nella situazione 1 ho h1 che è la profondità dal bordo al foro, nella situazione 2 ho h2=0 , ma questa dovrebbe essere la profondità dal foro a terra...in molti esercizi si pone 0, ho capito che possiamo semplificare i calcoli, però se da un lato calcoliamo h come profondità, perchè da dopo il foro dovremmo calcolarla come 0 ?Se per esempio il contenitore è alto 5 metri e il foro è posto ad h=2, mi aspetto che h1=2, mentre h2 (che va dal foro a terra) sarà 3..no?
No, perchè non stai rispettando la condizione che tutte le quote devono essere riferite alla stessa quota di riferimento
Quindi supponiamo che il recipiente sia alto 5 m e il foro sia a profondità 2 m rispetto al punto alto:
RIFERIMENTO PUNTO SUPERIORE DEL RECIPIENTE: h1 = 0, h2=-2 -> h1-h2 = 2 m
RIFERIMENTO AL FORO: h1 = 2, h2 =0 -> h1-h2 = 2m
RIFERIMENTO PUNTO INFERIORE DEL RECIPIENTE: h1= 5, h2 =3 -> h1-h2 = 2 m
Comunque cambi le cose sempre 2 m di dislivello rimmarranno.
Quindi supponiamo che il recipiente sia alto 5 m e il foro sia a profondità 2 m rispetto al punto alto:
RIFERIMENTO PUNTO SUPERIORE DEL RECIPIENTE: h1 = 0, h2=-2 -> h1-h2 = 2 m
RIFERIMENTO AL FORO: h1 = 2, h2 =0 -> h1-h2 = 2m
RIFERIMENTO PUNTO INFERIORE DEL RECIPIENTE: h1= 5, h2 =3 -> h1-h2 = 2 m
Comunque cambi le cose sempre 2 m di dislivello rimmarranno.
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