Esercizio termodinamica, ciclo di un gas monoatomico

[saramm]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio, qualcuno saprebbe aiutarmi?
Il testo è:
Una mole di gas monoatomico inizialmente a un volume di 10L e una temperatura di 300K viene riscaldata a volume costante fino a una temperatura di 600K, viene fatta espandere isotermicamente fino alla sua pressione iniziale e alla fine viene compressa isobaricamente fino al volume, alla pressione e temperatura iniziali.
a)calcola il calore fornito al sistema durante il ciclo
b)calcola il lavoro totale compiuto dal gas durante il ciclo
c)qual'è il rendimento?
Io ho iniziato calcolando il Q dell'isocora facendo $Q = ΔT n c_v = (300)(1)(3/2)(8,314) = 3741,3 J$
poi per l'isobara $Q= ΔT n C_v = (300)(1)(3/2)(8,314)= 3741,3 J$
e il totale $Q = 3741,3 + 3741,3 = 7482,6 J$ ma il risultato dovrebbe venire 7200 J.
Poi per il punto b mi sono completamente arenata, cioè il passaggio dell'isocora non ha lavoro perchè è a V costante, mentre l'espansione isoterma avevo pensato di usare la formula $W = n RT ln(V2-V1)$, però non riesco a capire come posso usarla siccome non ho il valore di V2 ma solo quello di V1 che è 10L.
Per il rendimento userò poi la formula $η = 1-(T_2/T_1)$ (ma anche qui mi mancano i dati....)
Se qualcuno riuscisse ad illuminarmi sarei molto grata

[Quinzio]

Chiamiamo i punti termodinamici A, B, C per comodità, con AB l'isocora per fissare i punti.
Riassumo tutto sinteticamente.
Per AB vale $Q_(AB) = \Delta U_(AB) = nc_V \Delta T_(AB)$ come hai scritto tu.
Per BC vale $Q_(BC) = L_(BC) = nc_V T_B ln(V_C/V_B)$. $V_C/V_B$ sarà uguale a 2, siccome $T_B/T_A= p_B/p_A = V_C/V_A= V_C/V_B=2$.
Per CA vale $Q_(CA) = n c_P \Delta T_(CA) = n c_P (-\Delta T_(AB))$.
Il calore assorbito $Q_A$ sarà la somma dei calori con segna positivo, AB e BC.
Il lavoro totale sara $L=L_(BC)+L_(CA)$ dove $L_(CA)=p_A(V_A-V_C)$.
Per il rendimento $\eta = L/Q_A$ come da definizione.

[saramm]

Ma com'è possibile che $T_B / T_A = p_B / p_A = V_C / V_A = V_C / V_B = 2$ ?
E perché $L_(BC) = n c_V T_B ln(V_C / V_B) (V_C / V_B)$ e non solo $L_(BC) = n c_V T_B ln(V_C / V_B)$

[chiaraotta1]

In $A$ le coordinate sono $V_A= 10 \ l$, $p_A$, $T_A=300\ K$. L'equazione di stato è
$p_AV_A=RT_A$.
In $B$ le coordinate sono
$V_B= V_A$, $p_B$, $T_B=600\ K=2T_A$.
L'equazione di stato è
$p_BV_B=RT_B$
da cui
$p_BV_A=2RT_A->(p_BV_A)/(p_AV_A)=(2RT_A)/(RT_A)->p_B/p_A=2$.
Quindi le coordinate di $B$ sono
$V_A$, $2p_A$, $2T_A$.
In $C$ le coordinate sono
$V_C$, $p_C=p_A$, $T_C=T_B=2T_A$.
L'equazione di stato è
$p_CV_C=RT_C$
da cui
$p_AV_C=2RT_A->(p_AV_C)/(p_AV_A)=(2RT_A)/(RT_A)->V_C/V_A=2$.
Quindi le coordinate di $C$ sono
$2V_A$, $p_A$, $2T_A$.
Guarda che Quinzio ha scritto proprio che
$ L_BC = n c_V T_B ln(V_C / V_B)$.

[Quinzio]

"Saraemme":Ma com'è possibile che $T_B / T_A = p_B / p_A = V_C / V_A = V_C / V_B = 2$ ?
E perché $L_BC = n c_V T_B ln(V_C / V_B) (V_C / V_B)$ e non solo $L_BC = n c_V T_B ln(V_C / V_B)$

Speravo di suscitare un po' di effetto con quella catena di uguaglianze.
In effetti un po' ha funzionato = ragionarci sopra.

E perché $L_BC = n c_V T_B ln(V_C / V_B) (V_C / V_B)$

PS Se guardi bene, c'è un puntino in mezzo, nel mio post sopra. Non è chiarissimo...

[saramm]

Si ho scambiato il punto per un per... scusatemi.
Comunque ora mi è tutto chiaro Grazie mille

[Quinzio]

Mi sembra strano, poi tra l'altro danno una cifra tonda... mah...
Cambia esercizio e/o eserciziario, di esercizi così ne trovi a centinaia. Non vale la pena di stare a perdere tempo con possibili errori.

[saramm]

Ecco, non mi vengono i calcoli però.
Facendo $Q_(AB) = n c_V ΔT_(AB) = 3/2(8,314)(300) = 3741,3J$
e $Q_(BC) = L_(BC) = n c_V T_B ln(V_C/V_B) = 3/2(8,314)(600) ln2 = 5237,82J$
e siccome sono gli unici positivi sommo i risultati e mi viene 8979,12 J quando dovrebbe venire 7000 J come da risultato...