Esercizio sull'età di un campione
Eccomi con un esercizio un tantino più complesso 
Un campione vivente di materiale organico in equilibrio con l'atmosfera contiene un atomo di $ {::}_(\ \ )^(12) text(C) $ (emivita = 5730 anni) per ogni $ 7.7 *10^11 $ atomi stabili di carbonio. Un campione archeologico di legno (cellulosa $ C_12H_22O_11 $ ) contiene 21.0 mg di carbonio. Quando il campione è posto all'interno di un contatore di particelle beta con un'efficienza del conteggio dell'88%, vengono registrati 837 conteggi in una settimana. Assumendo che il flusso di raggi cosmici e l'atmosfera della Terra non siano apprezzabilmente variati da quando si è formato il campione, trovare l'età del campione.
Soluzione $ 9.96 * 10^3 yr $
Con questo esercizio ho parecchie difficoltà, in particolare non capisco quando parla di conteggi, cosa si intende??
Grazie mille
Un campione vivente di materiale organico in equilibrio con l'atmosfera contiene un atomo di $ {::}_(\ \ )^(12) text(C) $ (emivita = 5730 anni) per ogni $ 7.7 *10^11 $ atomi stabili di carbonio. Un campione archeologico di legno (cellulosa $ C_12H_22O_11 $ ) contiene 21.0 mg di carbonio. Quando il campione è posto all'interno di un contatore di particelle beta con un'efficienza del conteggio dell'88%, vengono registrati 837 conteggi in una settimana. Assumendo che il flusso di raggi cosmici e l'atmosfera della Terra non siano apprezzabilmente variati da quando si è formato il campione, trovare l'età del campione.
Soluzione $ 9.96 * 10^3 yr $
Con questo esercizio ho parecchie difficoltà, in particolare non capisco quando parla di conteggi, cosa si intende??
Grazie mille
Risposte
Il numero di atomi di $C$ si può calcolare ed è
$N_C=0.021/12*6.02*10^23~=1.05*10^21 \ text(atomi C)$.
Il numero iniziale di atomi di $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ si può calcolare da questo ed è
$N_0=N_C/(7.7*10^11) \ text(atomi ) ^(14)C~=1.37*10^9 \ text(atomi )^(14)C$.
La costante di decadimento del $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ è
$lambda=(ln2)/(t_(1/2))=(ln2)/5730 \ text(anni)^-1~=3.83*10^-(12) \ s^-1$.
L'attività del $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ è
$R(t)=|(dN)/(dt)|=lambda N(t)=lambda N_0 e^(-lambda t)$.
Per cui
$R(0)=R_0=lambda N_0=3.83*10^-12*1.37*10^9*7*86400 \ text(decad/settimana)$
$~=3.17*10^3 \ text(decad/settimana)$
e
$R(bar t)=837*100/88 \ text(decad/settimana)=951 \ text(decad/settimana)$,
ma anche
$R(bar t)=lambda N_0 e^(-lambda bar t)$.
Dividendo membro a membro si ha
$R_0/(R(bar t))=(lambda N_0)/(lambda N_0 e^(-lambda bar t))=e^(lambda bar t)$.
Ma
$R_0/(R(bar t))=(3.17*10^3)/(951)$
da cui
$e^(lambda bar t)=(3.17*10^3)/(951)->bar t=1/lambda ln((3.17*10^3)/(951))=$
$5730/(ln2) ln((3.17*10^3)/(951)) \ text(anni)~=9.96*10^3 \ text(anni)$.
$N_C=0.021/12*6.02*10^23~=1.05*10^21 \ text(atomi C)$.
Il numero iniziale di atomi di $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ si può calcolare da questo ed è
$N_0=N_C/(7.7*10^11) \ text(atomi ) ^(14)C~=1.37*10^9 \ text(atomi )^(14)C$.
La costante di decadimento del $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ è
$lambda=(ln2)/(t_(1/2))=(ln2)/5730 \ text(anni)^-1~=3.83*10^-(12) \ s^-1$.
L'attività del $ {::}_(\ \ )^(14) text(C) $ è
$R(t)=|(dN)/(dt)|=lambda N(t)=lambda N_0 e^(-lambda t)$.
Per cui
$R(0)=R_0=lambda N_0=3.83*10^-12*1.37*10^9*7*86400 \ text(decad/settimana)$
$~=3.17*10^3 \ text(decad/settimana)$
e
$R(bar t)=837*100/88 \ text(decad/settimana)=951 \ text(decad/settimana)$,
ma anche
$R(bar t)=lambda N_0 e^(-lambda bar t)$.
Dividendo membro a membro si ha
$R_0/(R(bar t))=(lambda N_0)/(lambda N_0 e^(-lambda bar t))=e^(lambda bar t)$.
Ma
$R_0/(R(bar t))=(3.17*10^3)/(951)$
da cui
$e^(lambda bar t)=(3.17*10^3)/(951)->bar t=1/lambda ln((3.17*10^3)/(951))=$
$5730/(ln2) ln((3.17*10^3)/(951)) \ text(anni)~=9.96*10^3 \ text(anni)$.
Grazie mille per lo svolgimento, ma ci sono dei punti che nn capisco 
precisamente, nel calcolo dell'attività del campione al tempo t=0, perchè si moltiplica per 7*86400?? 7 rappresenta i giorni della settimana? 86400?
Grazie infinite
precisamente, nel calcolo dell'attività del campione al tempo t=0, perchè si moltiplica per 7*86400?? 7 rappresenta i giorni della settimana? 86400?
"chiaraotta":
$R(0)=R_0=lambda N_0=3.83*10^-12*1.37*10^9*7*86400 \ text(decad/settimana)$
$~=3.17*10^3 \ text(decad/settimana)$
Grazie infinite
Sono i secondi in un giorno
Grazie
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