Esercizio sull'effetto giroscopico, calcolare M1 ed M2
Come si vede nel disegno, l'asse di rotazione A è perpendicolare all'asse di rotazione B.
La lunghezza del cilindro è 0,25 metri.
Il diametro del cilindro è 0,1 metri.
il peso specifico del cilindro è 7,9
La lunghezza, il diametro e il peso specifico sono utili per calcolare la massa del cilindro.
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Facendo riferimento all'asse di rotazione A: nel primo caso il cilindro compie zero giri al secondo, nel secondo caso il medesimo cilindro compie 500 giri al secondo.
Calcolare il momento necessario affinché l'asse di rotazione B raggiunga (dopo un decimo di secondo) la velocità angolare di 1 giro al secondo.
Quindi
tempo = 0,1 secondi
Quindi nel tempo di 0,1 secondi l'asse di rotazione B deve raggiungere una velocità angolare di 1 giro al secondo.
Per fargli raggiungere quella velocità angolare di 1 giro al secondo è necessario un momento meccanico.
Calcolare quel momento meccanico in ambedue i casi cioè nel caso che l'asse di rotazione A non gira o compie zero giri al secondo, e nell'altro caso in cui l'asse di rotazione A compie 500 giri al secondo.
Ovviamente nel secondo caso, il momento necessario sarà maggiore del primo caso; questo perché alla rotazione di B si oppone l'effetto giroscopico.
Distinguere il momento del primo caso con M1 e distinguere il momento del secondo caso con M2.
M2 deve essere maggiore di M1 altrimenti i risultati dell'esercizio saranno sicuramente sbagliati.
M2>M1
Calcolare M1 ed M2.
io non sono capace
grazie...
Risposte
Il calcolo di M1 e' banale: $ddottheta=[M_1]/I_B$.
Per il caso 2 non mi risulta che lo studio elementare dell'effetto giroscopico riporti accelerazioni. L'unica formula risolutiva e' che applicato il momento M2 la velocita' di precessione $omega_p$ e' pari a $M_2/[I_somega_s]$ e non vedo come farci rientrare il tempo in questa equazione.
Da notare che mentre nel primo caso M1 e' parallelo all'asse B, nel secondo il momento deve essere ortogonale all'asse B (e all'asse di spin)
Per il caso 2 non mi risulta che lo studio elementare dell'effetto giroscopico riporti accelerazioni. L'unica formula risolutiva e' che applicato il momento M2 la velocita' di precessione $omega_p$ e' pari a $M_2/[I_somega_s]$ e non vedo come farci rientrare il tempo in questa equazione.
Da notare che mentre nel primo caso M1 e' parallelo all'asse B, nel secondo il momento deve essere ortogonale all'asse B (e all'asse di spin)
Solo per formalizzare un po' di più la giusta soluzione di profKappa, ricordo che l'asse A del cilindro è un asse centrale di inerzia , e il momento angolare rispetto a tale asse vale :
$vecL =I vec\omega_s$
dove $\omega_s$ è la velocità angolare di spin , nota . Per dare una velocità angolare di precessione $\omega_p$ al cilindro rotante, occorre applicare, come dice la seconda equazione cardinale della dinamica, un momento di forze esterne tale che :
$vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_f $
dove il pedice $f$ sta ad indicare lo "spazio fisso" . Ma il vettore $vecL$ può variare , in generale, anche rispetto al corpo, ovvero rispetto ad una terna solidale al corpo che ruota rispetto alla terna fissa , sicché si ha :
$vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_f =[(dvecL)/(dt)]_m + \vec\omega_ptimesvecL$
il dettaglio del secondo passaggio si può leggere qui ; il pedice $m$ sta ad indicare il riferimento , solidale col corpo , mobile rispetto a quello fisso.
Quando si trattano i cosiddetti fenomeni giroscopici elementari, si suppone di solito che la velocità angolare propria (spin) sia molto elevata rispetto alla velocità angolare di precessione , e si possa trascurare la variazione di $vecL$ nel riferimento $m$ solidale con il corpo. In altri termini, si trascura , nell'ultima uguaglianza, il primo termine al secondo membro, lasciando solo il secondo termine :
$vecM_e = \approx \vec\omega_ptimesvecL$
Perciò , se si vuole ottenere una data velocità angolare di precessione, basta eseguire il prodotto vettoriale ora scritto per determinare che momento si deve applicare e in quale piano . Si tratta di quantità vettoriali . Nella figura allegata , l'asse di rotazione propria del cilindro è SD , orientato da Sn a Ds , coincidente con l'asse $y$ di una terna cartesiana ; su tale asse è disposto il vettore $vecL = Ivecomega_s$ , dove $I = 1/2MR^2 $ .
Se si applica al cilindro il momento esterno $vecM = Mhatk$ , diretto vettorialmente come l'asse $z$ , questo momento vorrebbe far ruotare l'asse SD del cilindro nel piano orizzontale , con S che si sposta sul davanti del foglio e D che si sposta verso il retro. Ma l'effetto di $vecM$ è invece la velocità angolare di precessione $vecomega_p = omega_phati$ , che fa sollevare l'estremità D e abbassare l'estremità S nel piano verticale . Perciò , l'asse di rotazione $y$ tende a sovrapporsi all'asse di sollecitazione $z$ : questo è appunto uno dei cosiddetti fenomeni giroscopici elementari.
L'altro è la "tenacia" dell'asse giroscopico.
Nel disegno ho riportato anche i versi di rotazione , e la semplice formula del momento, che si ricava facendo il prodotto vettoriale suddetto :
$vecM = I\omega_pomega_s hatk$
in accordo a quanto detto da profkappa . Questa è la figura :
Sono d'accordo sulla considerazione di profkappa, circa il fatto che l'accelerazione angolare non entra nel calcolo della velocità di precessione, dato il momento esterno.
$vecL =I vec\omega_s$
dove $\omega_s$ è la velocità angolare di spin , nota . Per dare una velocità angolare di precessione $\omega_p$ al cilindro rotante, occorre applicare, come dice la seconda equazione cardinale della dinamica, un momento di forze esterne tale che :
$vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_f $
dove il pedice $f$ sta ad indicare lo "spazio fisso" . Ma il vettore $vecL$ può variare , in generale, anche rispetto al corpo, ovvero rispetto ad una terna solidale al corpo che ruota rispetto alla terna fissa , sicché si ha :
$vecM_e = [(dvecL)/(dt)]_f =[(dvecL)/(dt)]_m + \vec\omega_ptimesvecL$
il dettaglio del secondo passaggio si può leggere qui ; il pedice $m$ sta ad indicare il riferimento , solidale col corpo , mobile rispetto a quello fisso.
Quando si trattano i cosiddetti fenomeni giroscopici elementari, si suppone di solito che la velocità angolare propria (spin) sia molto elevata rispetto alla velocità angolare di precessione , e si possa trascurare la variazione di $vecL$ nel riferimento $m$ solidale con il corpo. In altri termini, si trascura , nell'ultima uguaglianza, il primo termine al secondo membro, lasciando solo il secondo termine :
$vecM_e = \approx \vec\omega_ptimesvecL$
Perciò , se si vuole ottenere una data velocità angolare di precessione, basta eseguire il prodotto vettoriale ora scritto per determinare che momento si deve applicare e in quale piano . Si tratta di quantità vettoriali . Nella figura allegata , l'asse di rotazione propria del cilindro è SD , orientato da Sn a Ds , coincidente con l'asse $y$ di una terna cartesiana ; su tale asse è disposto il vettore $vecL = Ivecomega_s$ , dove $I = 1/2MR^2 $ .
Se si applica al cilindro il momento esterno $vecM = Mhatk$ , diretto vettorialmente come l'asse $z$ , questo momento vorrebbe far ruotare l'asse SD del cilindro nel piano orizzontale , con S che si sposta sul davanti del foglio e D che si sposta verso il retro. Ma l'effetto di $vecM$ è invece la velocità angolare di precessione $vecomega_p = omega_phati$ , che fa sollevare l'estremità D e abbassare l'estremità S nel piano verticale . Perciò , l'asse di rotazione $y$ tende a sovrapporsi all'asse di sollecitazione $z$ : questo è appunto uno dei cosiddetti fenomeni giroscopici elementari.
L'altro è la "tenacia" dell'asse giroscopico.
Nel disegno ho riportato anche i versi di rotazione , e la semplice formula del momento, che si ricava facendo il prodotto vettoriale suddetto :
$vecM = I\omega_pomega_s hatk$
in accordo a quanto detto da profkappa . Questa è la figura :
Sono d'accordo sulla considerazione di profkappa, circa il fatto che l'accelerazione angolare non entra nel calcolo della velocità di precessione, dato il momento esterno.
Siccome non ho capito niente di cosa significa Iωpωskˆ
Si potrebbe avere qualche numero naturale ?
Si potrebbe avere qualche numero naturale ?
Le quantità che compaiono in :
$vecM = I \omega_p\omega_shatk$
Sono grandezze fisiche note o facilmente calcolabili.
$I = 1/2MR^2 $ è il momento di inerzia del cilindro rispetto all'asse di rotazione $z$ , baricentrico e perpendicolare alle basi . È data la densità di massa, da cui calcolare M .
$\omega_s$ è la velocità angolare di rotazione propria, o "spin", rispetto all'asse A, anch'essa nota : 500 giri al secondo , da trasformare in rad/s , tenendo conto che $1 giro = 2pi$ rad.
$\omega_p$ è la velocità angolare di precessione , attorno all'asse B, pure nota : 1 giro al secondo, da trasformare in rad/s.
$vecM = I \omega_p\omega_shatk$
Sono grandezze fisiche note o facilmente calcolabili.
$I = 1/2MR^2 $ è il momento di inerzia del cilindro rispetto all'asse di rotazione $z$ , baricentrico e perpendicolare alle basi . È data la densità di massa, da cui calcolare M .
$\omega_s$ è la velocità angolare di rotazione propria, o "spin", rispetto all'asse A, anch'essa nota : 500 giri al secondo , da trasformare in rad/s , tenendo conto che $1 giro = 2pi$ rad.
$\omega_p$ è la velocità angolare di precessione , attorno all'asse B, pure nota : 1 giro al secondo, da trasformare in rad/s.
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