Esercizio sulle reti dinamiche (elettromagnetismo).
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Salve,
non riesco a risolvere l'esercizio proposto nell'immagine in allegato (se non con le equazioni di Kirchhoff, che è però un metodo troppo lungo) e tantomeno a capire la soluzione che il libro propone. Qualcuno può propormi una soluzione più breve (al livello di un allievo di quarta superiore, si intende) o spiegarmi meglio quella che già è presente sul libro?
Risposte
La soluzione più veloce è quella proposta dal libro ( anche se fa 2 passaggi in uno ); tu segui questa strada:
1) semplifica $Z_5$ e $Z_4$;
2) semplifica $Z_3$ con la semplificazione precedente;
3) non ti resta che applicare un primo partitore di corrente per il calcolo della $I_1$ e un secondo partitore per il calcolo della $I_0$
1) semplifica $Z_5$ e $Z_4$;
2) semplifica $Z_3$ con la semplificazione precedente;
3) non ti resta che applicare un primo partitore di corrente per il calcolo della $I_1$ e un secondo partitore per il calcolo della $I_0$
Direi che la soluzione più breve sia quella "egizia" ovvero della "falsa posizione" che, partendo dal "fondo" della rete, ti porta (computazionalmente) a risalire fino al generatore.
Praticamente scegli arbitrariamente una ("conveniente") "falsa" corrente $I_{0f}$ e da quella "risali" al "falso" valore del generatore di corrente associato, valore che permetterà di ricavare una (magica) costante complessa $k$ che trasformerà le "false" grandezze in "vere", attraverso il suo prodotto.
Per esempio, fissata $I_{0f}=1 \ \text{A}$ in $Z_5$, ricavi la tensione ai suoi morsetti $V_5=4 \ \text{V}$, da questa $I_4=V_5/Z_4=j$ e di conseguenza $I_3=1+j$, dalla quale $V_2=V_3+V_5=-4+j8$, dalla quale $I_2=-2-j$ e ancora $I_1=I_2+I_3=-1 \ \text{A}$.
Ne segue che la costante $k$ sarà ricavabile dal rapporto fra il vero valore $J$ e il valore falso $I_1$
$k=J/I_1=-5$
di conseguenza la vera corrente in $Z_5$ sarà
$I_0=kI_{0f}=-5\times 1=-5 \ \text{A}$
NB Ho scelto il nome delle correnti (verso destra e verso il basso) seguendo la numerazione delle impedenze e quindi la mia $I_3$ corrisponde alla $I_1$ dello schema.
Praticamente scegli arbitrariamente una ("conveniente") "falsa" corrente $I_{0f}$ e da quella "risali" al "falso" valore del generatore di corrente associato, valore che permetterà di ricavare una (magica) costante complessa $k$ che trasformerà le "false" grandezze in "vere", attraverso il suo prodotto.
Per esempio, fissata $I_{0f}=1 \ \text{A}$ in $Z_5$, ricavi la tensione ai suoi morsetti $V_5=4 \ \text{V}$, da questa $I_4=V_5/Z_4=j$ e di conseguenza $I_3=1+j$, dalla quale $V_2=V_3+V_5=-4+j8$, dalla quale $I_2=-2-j$ e ancora $I_1=I_2+I_3=-1 \ \text{A}$.
Ne segue che la costante $k$ sarà ricavabile dal rapporto fra il vero valore $J$ e il valore falso $I_1$
$k=J/I_1=-5$
di conseguenza la vera corrente in $Z_5$ sarà
$I_0=kI_{0f}=-5\times 1=-5 \ \text{A}$
NB Ho scelto il nome delle correnti (verso destra e verso il basso) seguendo la numerazione delle impedenze e quindi la mia $I_3$ corrisponde alla $I_1$ dello schema.
Incontro comunque un problema, che ora espongo:
Semplifico $ Z_5 $ e $ Z_4 $, poi $ Z_3 $ con la semplificazione di questi due, e quindi calcolo:
$ R' = (1/Z_5 + 1/Z_4)^(-1)+Z_3 $ , cioè (indico con "i" l'unità immaginaria):
$ i8+(1/4-1/(4i))^-1=i8+((i-1)/(4i))^(-1)=i8+(4i)/(i-1) =$
$ =8i+(4i*(-1-i))/(2)=8i-2i+2=6i+2=2+i6 $
Semplifico poi $ Z_5 $ e $ Z_4 $ e $ Z_3 $ con $ Z_2 $, cioè:
$ R'_(eq)=(1/(2+6i)-1/(4i))^(-1)=((4i-2-6i)/((2+6i)*4i))^(-1)= $
$ =((2+6i)*(4i))/(-2-2i)=(8i-24)/(-2-2i)=(24-8i)/(2+2i)= $
$ =(12-4i)/(1+i)=((12-4i)*(1-i))/2=(6-2i)*(1-i)=6-6i-2i-2=4-8i $
Quindi la corrente $ I_1 $ dovrebbe essere: $ I_1=5*(R'_(eq))/(R')=5*(4-8i)/(2+6i)=5*((4-8i)*(2-6i))/(40) = $
$ =((4-8i)*(2-6i))/8=(8-24i-16i-48)/8=(-40-40i)/8=-5-5i $
Eppure sul libro c'è scritto che $ I_1=(-2-i) A $ , ed è per questo che non sono andato oltre.
Non capisco se è un errore concettuale quello che sto facendo o se riguarda i calcoli.
Semplifico $ Z_5 $ e $ Z_4 $, poi $ Z_3 $ con la semplificazione di questi due, e quindi calcolo:
$ R' = (1/Z_5 + 1/Z_4)^(-1)+Z_3 $ , cioè (indico con "i" l'unità immaginaria):
$ i8+(1/4-1/(4i))^-1=i8+((i-1)/(4i))^(-1)=i8+(4i)/(i-1) =$
$ =8i+(4i*(-1-i))/(2)=8i-2i+2=6i+2=2+i6 $
Semplifico poi $ Z_5 $ e $ Z_4 $ e $ Z_3 $ con $ Z_2 $, cioè:
$ R'_(eq)=(1/(2+6i)-1/(4i))^(-1)=((4i-2-6i)/((2+6i)*4i))^(-1)= $
$ =((2+6i)*(4i))/(-2-2i)=(8i-24)/(-2-2i)=(24-8i)/(2+2i)= $
$ =(12-4i)/(1+i)=((12-4i)*(1-i))/2=(6-2i)*(1-i)=6-6i-2i-2=4-8i $
Quindi la corrente $ I_1 $ dovrebbe essere: $ I_1=5*(R'_(eq))/(R')=5*(4-8i)/(2+6i)=5*((4-8i)*(2-6i))/(40) = $
$ =((4-8i)*(2-6i))/8=(8-24i-16i-48)/8=(-40-40i)/8=-5-5i $
Eppure sul libro c'è scritto che $ I_1=(-2-i) A $ , ed è per questo che non sono andato oltre.
Non capisco se è un errore concettuale quello che sto facendo o se riguarda i calcoli.
Hai ragione, la tua I1 che corrisponde alla mia I3 (vedi NB) sarà
$I_3=kI_{3f}=(-5) \times (1+j)=-5-j5$.
Potrebbero aver sbagliato i calcoli.
$I_3=kI_{3f}=(-5) \times (1+j)=-5-j5$.
"SirDanielFortesque":
...
Eppure sul libro c'è scritto che $ I_1=(-2-i) A $ , ed è per questo che non sono andato oltre.
Potrebbero aver sbagliato i calcoli.
Ma quindi è sbagliato il libro?
Voglio dire, ora che guardo bene l'esercizio, il generatore di corrente è di corrente continua quindi a regime i condensatori non dovrebbero essere considerati come un interruttore aperto? e quindi $ I_0=J=5A $, supponendo che sia acceso da molto tempo?
Voglio dire, ora che guardo bene l'esercizio, il generatore di corrente è di corrente continua quindi a regime i condensatori non dovrebbero essere considerati come un interruttore aperto? e quindi $ I_0=J=5A $, supponendo che sia acceso da molto tempo?
"SirDanielFortesque":
Ma quindi è sbagliato il libro?
Direi proprio di sì, [strike]di che libro si tratta[/strike]? [nota]Trovato; Marco Gilli, Politecnico di Torino, Esercizi svolti di Elettrotecnica ... un pdf con un nome davvero azzeccato!
[/nota]"SirDanielFortesque":
... il generatore di corrente è di corrente continua...
Hai ragione, dovrebbe essere indicato che si tratta di un generatore in alternata o nel simbolo o nel valore, ma è chiaro che l'esercizio sottintenda che lo sia.
Grazie mille. Si. Il libro è propro quello.
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