Esercizio sulle leggi dei gas
Buonasera a tutti, poichè necessario per un compito in classe della prossima settimana vorrei chiedervi di aiutarmi a capire questo esercizio:
Un gas ideale è contenuto in un cilindro chiuso in alto da un pistone collegato ad una molla ideale. Fuori dal cilindro c'è il vuoto.L'area della sezione trasversale del pistone è A=2,5*10^-3 m^2.
La pressione, il volume e la temperatura iniziali del gas sono pi, Vi=6*10^-4 e Ti=273 K; la molla è inizialmente allungata di xi=0,08 m rispetto alla sua lunghezza a riposo. Il gas viene successivamente riscaldato e i valori finali di pressione, temperatura e volume diventano pf, Tf e Vf, mentre la molla si allunga fino a xf=0,1 m rispetto alla sua lunghezza a riposo.
Qual è la temperatura finale del gas?
Grazie mille a tutti in anticipo!
Un gas ideale è contenuto in un cilindro chiuso in alto da un pistone collegato ad una molla ideale. Fuori dal cilindro c'è il vuoto.L'area della sezione trasversale del pistone è A=2,5*10^-3 m^2.
La pressione, il volume e la temperatura iniziali del gas sono pi, Vi=6*10^-4 e Ti=273 K; la molla è inizialmente allungata di xi=0,08 m rispetto alla sua lunghezza a riposo. Il gas viene successivamente riscaldato e i valori finali di pressione, temperatura e volume diventano pf, Tf e Vf, mentre la molla si allunga fino a xf=0,1 m rispetto alla sua lunghezza a riposo.
Qual è la temperatura finale del gas?
Grazie mille a tutti in anticipo!
Risposte
Secondo me è sufficiente fare considerazioni energetiche, eguagliando l'energia elastica con quella termica. H ai tutto noto ciò che ti serve. Altrimenti dovresti poter passare dell'espansione ed il volumein più ottenuto (hai area di base e altezza considerando l'allungamento della molla prima edopo) è quello legato all'incremento di energia termica. La pressione, forza per unità di superficie, la ricavi considerando che alleqequilibrio tanto la molla tira quanto il gas spinge.
Ti ringrazio per l'indicazione!
Io avevo pensato di eguagliare: F=P*S da cui: kx=PS ma non so come procedere perché ho due incognite! Spero tu possa aiutarmi!!! Grazie mille ancora
Io avevo pensato di eguagliare: F=P*S da cui: kx=PS ma non so come procedere perché ho due incognite! Spero tu possa aiutarmi!!! Grazie mille ancora
Devi farlo sia nel punto iniziale che finale.
Da
$kx_i=-F_i$ dividendo per l'area ottieni $kx_i/A=-F_i/A=p_i$ da cui ricavi $k$. Ti faccio notare che anche la $p_i$ è nota infatti $p_i=n R T_i/V_i$ . E' tutto noto e ciò che non lo è scoprirai che non ti servirà perché $nR$ si semplifica alla fine, come è giusto che sia per far tornare le dimensioni.
Scrivi la stessa cosa per le quantità finali
$kx_f/A=-F_f/A=p_f$ a questo punto $T_f=p_fV_f/(nR)$ dove $V_f=V_i+A(x_f-x_i)$ . Se non ho sbagliato ottieni
$T_f=T_ix_f/x_i(1+A(x_f-x_i)/V_i)$ . Almeno le dimensioni tornano quindi suppongo di aver fatto bene il conto. Tu comunque fallo da solo e ricontrolla che venga uguale.
Poi toglimi la curiosità e risolvilo pure imponendo che la differenza di energia potenziale della molla sia pari a quella termica ovvero
$3/2 k_B T_i=1/2 k x_i^2$ da cui ricavi $k$ tenendoti anche la costante di boltzmann non ti serve il valore tanto poi si cancella e poi trova la temperatura finale da $3/2 k_B T_f=1/2 k x_f^2$ e dimmi se vengono uguali. In teoria dovrebbe venire di poco superiore. Se viene troppo più grande la statistica di Boltzmann non è molto rappresentativa del fenomeno. E' giusto così per mia curiosità.
Da
$kx_i=-F_i$ dividendo per l'area ottieni $kx_i/A=-F_i/A=p_i$ da cui ricavi $k$. Ti faccio notare che anche la $p_i$ è nota infatti $p_i=n R T_i/V_i$ . E' tutto noto e ciò che non lo è scoprirai che non ti servirà perché $nR$ si semplifica alla fine, come è giusto che sia per far tornare le dimensioni.
Scrivi la stessa cosa per le quantità finali
$kx_f/A=-F_f/A=p_f$ a questo punto $T_f=p_fV_f/(nR)$ dove $V_f=V_i+A(x_f-x_i)$ . Se non ho sbagliato ottieni
$T_f=T_ix_f/x_i(1+A(x_f-x_i)/V_i)$ . Almeno le dimensioni tornano quindi suppongo di aver fatto bene il conto. Tu comunque fallo da solo e ricontrolla che venga uguale.
Poi toglimi la curiosità e risolvilo pure imponendo che la differenza di energia potenziale della molla sia pari a quella termica ovvero
$3/2 k_B T_i=1/2 k x_i^2$ da cui ricavi $k$ tenendoti anche la costante di boltzmann non ti serve il valore tanto poi si cancella e poi trova la temperatura finale da $3/2 k_B T_f=1/2 k x_f^2$ e dimmi se vengono uguali. In teoria dovrebbe venire di poco superiore. Se viene troppo più grande la statistica di Boltzmann non è molto rappresentativa del fenomeno. E' giusto così per mia curiosità.
Perfetto...grazie mille dellm chiarimento! Un'ultima cosa...non riesco a capire come poter semplificare nR in quanto non lo trovo dall'altra parte! Perdonami ma probabilmente mi sta sfuggendo qualcosa sicuramente...aiutami ti prego! Grazie mille
$nR$ sta dentro $p_i$ che sta dentro $k$ che sta dentro $p_f$ . Fai i conti passo passo così non ti sbagli.
Perfetto...grazie mille! Quindi in realtà proseguo di sostituzioni fino a pf giusto? Appena torno a casa effettuo una prova!
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