Esercizio sulla meccanica dei sistemi
Salve, mi servirebbe una mano su un esercizio: non so se va bene un metodo alternativo alla risoluzione di un problema (numero 1 nell'immagine postata):
http://img690.imageshack.us/img690/1829/schermata062456097alle0k.png
Il libro propone il seguente svolgimento (scusate se non scrivo io le formule ma al computer sarebbe da pazzi
):
http://img443.imageshack.us/img443/8243/schermata062456097alle0.png
http://img259.imageshack.us/img259/8243/schermata062456097alle0.png
E' invece possibile fare un ragionamento di tipo statico, ovvero prima trovare la posizione del centro di massa tramite la seguente formula:
\(\displaystyle r_{C}=\frac{\sum m_{i}r_{i}}{M} \)
Si determina quindi la distanza dal centro del sistema di riferimento del centro di massa tramite il teorema di Pitagora e quindi si può applicare la formula:
\(\displaystyle a=\omega^{2}R \), dove R è la distanza appena trovata.
Che ne pensate, può funzionare?
Vi ringrazio molto
Distinti saluti
Enrico Catanzani
http://img690.imageshack.us/img690/1829/schermata062456097alle0k.png
Il libro propone il seguente svolgimento (scusate se non scrivo io le formule ma al computer sarebbe da pazzi
):http://img443.imageshack.us/img443/8243/schermata062456097alle0.png
http://img259.imageshack.us/img259/8243/schermata062456097alle0.png
E' invece possibile fare un ragionamento di tipo statico, ovvero prima trovare la posizione del centro di massa tramite la seguente formula:
\(\displaystyle r_{C}=\frac{\sum m_{i}r_{i}}{M} \)
Si determina quindi la distanza dal centro del sistema di riferimento del centro di massa tramite il teorema di Pitagora e quindi si può applicare la formula:
\(\displaystyle a=\omega^{2}R \), dove R è la distanza appena trovata.
Che ne pensate, può funzionare?
Vi ringrazio molto
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Non proprio così, Michele, ma con un pò di calcolo vettoriale semplice, e ricordando il teorema d lmoto del cdm.
Si ha : $omega_A= \omega_B = \omega$ ; $ M = m_A+ m_B$ . LA posizione del cdm è data da : $\vec r_C = 1/M*(m_A*\vecr_A +m_B*\vecr_B)$
Ancora, si ha : $\vecv_A = \vec\omega\times\vecvecr_A$ e analogamente : $vecv_B= \vec\omega\times\vecr_B$
PEr il teorema del moto del cdm : $ M*\vecv_C = (m_A*\vecv_A +m_B*\vecv_B) = \vec\omega\times (m_A*\vecr_A +m_B*\vecr_B) = \vec\omega\times M*\vecr_C$ , dsa cui si può semplificare la $M$, ottenendo :
$ \vecv_C = \vec\omega\times\vecr_C$
Ora derivando rispetto al tempo, e tenendo conto che $omega = cost$ , si ricava subito : $(d\vecv_C)/(dt) = \vec\omega\times(\vecomega\times\vecr_C)$
ti chiedo scusa per il modo in cui si leggono (male) le formule, ma non è colpa mia. Son le freccette sui vettori, che spostano il simbolo in avanti. Comunque il concetto psrro sia chiaro.
Si ha : $omega_A= \omega_B = \omega$ ; $ M = m_A+ m_B$ . LA posizione del cdm è data da : $\vec r_C = 1/M*(m_A*\vecr_A +m_B*\vecr_B)$
Ancora, si ha : $\vecv_A = \vec\omega\times\vecvecr_A$ e analogamente : $vecv_B= \vec\omega\times\vecr_B$
PEr il teorema del moto del cdm : $ M*\vecv_C = (m_A*\vecv_A +m_B*\vecv_B) = \vec\omega\times (m_A*\vecr_A +m_B*\vecr_B) = \vec\omega\times M*\vecr_C$ , dsa cui si può semplificare la $M$, ottenendo :
$ \vecv_C = \vec\omega\times\vecr_C$
Ora derivando rispetto al tempo, e tenendo conto che $omega = cost$ , si ricava subito : $(d\vecv_C)/(dt) = \vec\omega\times(\vecomega\times\vecr_C)$
ti chiedo scusa per il modo in cui si leggono (male) le formule, ma non è colpa mia. Son le freccette sui vettori, che spostano il simbolo in avanti. Comunque il concetto psrro sia chiaro.
Ciao Navigatore. Se l'utente utilizza Google Chrome come browser, non ci sono problemi di visualizzazione. Invece, scrivendo "vec(r_A)" invece di "vecr_A", ottieni una visualizzazione più che accettabile anche con Internet Explorer: $[vec(r_A)]$ invece di $[vecr_A]$.
Grazie per la risposta ragazzi. Puntuali e precisi some al solito
"speculor":
Ciao Navigatore. Se l'utente utilizza Google Chrome come browser, non ci sono problemi di visualizzazione. Invece, scrivendo "vec(r_A)" invece di "vecr_A", ottieni una visualizzazione più che accettabile anche con Internet Explorer: $[vec(r_A)]$ invece di $[vecr_A]$.
Speculor, ti saluto e ti ringrazio per la dritta! Quindi, mettere $r_A$ tra parentesi tonde risolve il problema!
Ci provo subito : $vec(F_C)$ ....perfetto, molte grazie!
Ma quindi la barra inclinata "\" davanti a "vec" non serve per scrivere i vettori! Si allegerisce un bel po' la scrittura...
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