Esercizio sulla dinamica del corpo rigido
Testo
Due rotori $A$ e $B$, aventi assi paralleli, sono muniti di pignoni dentati con raggi, rispettivamente, $r_A$ e $r_B$. I due pignoni sono collegati mediante una ruota dentata $C$ di raggio $r_C$. Indichiamo con $I_A$, $I_B$, $I_C$ i momenti d'inerzia dei due rotori (pignoni inclusi) e della ruota dentata. Al rotore $B$ viene applicato un momento motore $\tau$.
Si determini l'accelerazione angolare del rotore $A$ (trascurando gli attriti e gli eventuali giochi tra le ruote dentate).
Soluzione
$alpha_A = tau[r_B/r_AI_A + r_A/r_BI_B + (r_Ar_B)/r_C^2I_C]^-1$
Ho provato a risolvere così: posto $tau_i=I_ialpha_i$ con $i=A,B,C$ e $tau_B=tau$ momento motore
Fra rotori e pignone si trasmette l'accelerazione tangenziale $r_Aalpha_A=r_Balpha_B=r_Calpha_C$
Quindi $alpha_B=r_A/r_Balpha_A$ e $alpha_C=r_A/r_Calpha_A$
per cui $tau_B=I_Br_A/r_Balpha_A$ e $tau_C=I_Cr_A/r_Calpha_A$
Poi $\sum_tau=tau_A+tau+tau_C=I_Aalpha_A+I_Br_A/r_Balpha_A+I_Cr_A/r_Calpha_A$
qui non so più andare avanti e credo perché non ho ragionato bene. Qualcuno può aiutarmi a capire per favore?
Due rotori $A$ e $B$, aventi assi paralleli, sono muniti di pignoni dentati con raggi, rispettivamente, $r_A$ e $r_B$. I due pignoni sono collegati mediante una ruota dentata $C$ di raggio $r_C$. Indichiamo con $I_A$, $I_B$, $I_C$ i momenti d'inerzia dei due rotori (pignoni inclusi) e della ruota dentata. Al rotore $B$ viene applicato un momento motore $\tau$.
Si determini l'accelerazione angolare del rotore $A$ (trascurando gli attriti e gli eventuali giochi tra le ruote dentate).
Soluzione
$alpha_A = tau[r_B/r_AI_A + r_A/r_BI_B + (r_Ar_B)/r_C^2I_C]^-1$
Ho provato a risolvere così: posto $tau_i=I_ialpha_i$ con $i=A,B,C$ e $tau_B=tau$ momento motore
Fra rotori e pignone si trasmette l'accelerazione tangenziale $r_Aalpha_A=r_Balpha_B=r_Calpha_C$
Quindi $alpha_B=r_A/r_Balpha_A$ e $alpha_C=r_A/r_Calpha_A$
per cui $tau_B=I_Br_A/r_Balpha_A$ e $tau_C=I_Cr_A/r_Calpha_A$
Poi $\sum_tau=tau_A+tau+tau_C=I_Aalpha_A+I_Br_A/r_Balpha_A+I_Cr_A/r_Calpha_A$
qui non so più andare avanti e credo perché non ho ragionato bene. Qualcuno può aiutarmi a capire per favore?
Risposte
Ti indico la soluzione in termini di equazioni della dinamica, anche se probabilmente con considerazioni energetiche si può arrivare alla soluzione più rapidamente.
Come hai correttamente scritto vale la condizione
$r_A*alpha_A=r_B*alpha_B=r_C*alpha_C$
A questo punto vanno scritte le equazioni del moto per ogni rotore tenendo conto di $F_(BC)$ e $F_(AC)$ le forze tramesse tra B e C e tra A e C rispettivamente e del terzo principio della dinamica.
Prova a scrivere da solo le equazioni. Se hai problemi o vuoi controllare quello che hai scritto puoi vedere qui.
Risolvendo il sistema di 3 equazioni così ottenuto nelle 2 forze incognite e nell'accelerazione del rotore A si perviene alla soluzione. Ovviamente sei libero di usare il metodo che preferisci.
Ad esempio qui puoi vedere la soluzione ottenuta eliminando successivamente le 2 forze e quindi pervenendo ad una equazione nella sola accelerazione del rotore A.
Come hai correttamente scritto vale la condizione
$r_A*alpha_A=r_B*alpha_B=r_C*alpha_C$
A questo punto vanno scritte le equazioni del moto per ogni rotore tenendo conto di $F_(BC)$ e $F_(AC)$ le forze tramesse tra B e C e tra A e C rispettivamente e del terzo principio della dinamica.
Prova a scrivere da solo le equazioni. Se hai problemi o vuoi controllare quello che hai scritto puoi vedere qui.
Risolvendo il sistema di 3 equazioni così ottenuto nelle 2 forze incognite e nell'accelerazione del rotore A si perviene alla soluzione. Ovviamente sei libero di usare il metodo che preferisci.
Ad esempio qui puoi vedere la soluzione ottenuta eliminando successivamente le 2 forze e quindi pervenendo ad una equazione nella sola accelerazione del rotore A.
Grazie ingres, adesso mi è chiaro tutto. Avevo l'idea di considerare le equazioni dei singoli corpi ma non riuscivo a capire quali forze ci fossero. In effetti è come se ci fossero forze di attrito o, dato la natura degli accoppiamenti con ruote dentate, delle forze vincolari. Ovviamente il momento motore è l'azione di una forza motrice?
Comunque perfettamente chiaro. Di nuovo grazie
Comunque perfettamente chiaro. Di nuovo grazie
Ciao ingres, posso chiederti per un altro esercizio?
Un cilindro omogeneo di raggio R e massa M, inizialmente in rotazione con velocità angolare $omega_0$ intorno ad un asse orizzontale, viene frenato applicando una forza verticale costante F all'estremità B della sbarra AB, di lunghezza d, appoggiata sul cilindro. L'altro estremo della sbarra è incernierato al punto A, a distanza h dall'asse di rotazione. Si determini il tempo necessario ad arrestare il cilindro nell'ipotesi che il coefficiente d'attrito $mu$ tra sbarra e cilindro sia costante e che il peso della sbarra sia trascurabile rispetto alla forza F.
Risultato $t=(MhRomega_0)/(2muFd)$
Prima di tutto $h=\bar[AO]$ dove $O$ è il centro del cilindro? Non considero l'angolo fra sbarra e orizzonte
Ho provato con le equazioni cardinali: attrito tra sbarra e cilindro=$muF$
$muF+F=MR^2alpha$
$\sum_[]tau=hmuF+dF=1/2MR^2alpha$
con $alpha=-omega_0/t$ ... evidentemente non ho proprio capito l'esercizio
Un cilindro omogeneo di raggio R e massa M, inizialmente in rotazione con velocità angolare $omega_0$ intorno ad un asse orizzontale, viene frenato applicando una forza verticale costante F all'estremità B della sbarra AB, di lunghezza d, appoggiata sul cilindro. L'altro estremo della sbarra è incernierato al punto A, a distanza h dall'asse di rotazione. Si determini il tempo necessario ad arrestare il cilindro nell'ipotesi che il coefficiente d'attrito $mu$ tra sbarra e cilindro sia costante e che il peso della sbarra sia trascurabile rispetto alla forza F.
Risultato $t=(MhRomega_0)/(2muFd)$
Prima di tutto $h=\bar[AO]$ dove $O$ è il centro del cilindro? Non considero l'angolo fra sbarra e orizzonte
Ho provato con le equazioni cardinali: attrito tra sbarra e cilindro=$muF$
$muF+F=MR^2alpha$
$\sum_[]tau=hmuF+dF=1/2MR^2alpha$
con $alpha=-omega_0/t$ ... evidentemente non ho proprio capito l'esercizio
"antmerl":
Ciao ingres, posso chiederti per un altro esercizio?
Un cilindro omogeneo di raggio R e massa M, inizialmente in rotazione con velocità angolare $omega_0$ intorno ad un asse orizzontale, viene frenato applicando una forza verticale costante F all'estremità B della sbarra AB, di lunghezza d, appoggiata sul cilindro. L'altro estremo della sbarra è incernierato al punto A, a distanza h dall'asse di rotazione. Si determini il tempo necessario ad arrestare il cilindro nell'ipotesi che il coefficiente d'attrito $mu$ tra sbarra e cilindro sia costante e che il peso della sbarra sia trascurabile rispetto alla forza F.
Risultato $t=(MhRomega_0)/(2muFd)$
Prima di tutto $h=\bar[AO]$ dove $O$ è il centro del cilindro? Non considero l'angolo fra sbarra e orizzonte
Ho provato con le equazioni cardinali: attrito tra sbarra e cilindro=$muF$
$muF+F=MR^2alpha$
$\sum_[]tau=hmuF+dF=1/2MR^2alpha$
con $alpha=-omega_0/t$ ... evidentemente non ho proprio capito l'esercizio
Allora, per prima cosa la distanza $h$ non ho ben capito che distanza sia, disegno e testo dicono due cose diverse.
A parte ciò, il suggerimento che ti do è di disegnare i diagrammi di corpo libero dell'asta e del cilindro. Cioè isoli i due corpi e guardi quali forze e/o coppie agiscono su di essi presi uno per volta.
Se ancora non riesci a andare avanti, posta i due schemi di asta e cilindro così vediamo se/cosa non hai capito.
Aggiungo qualche nota per chiarire meglio il problema:
1) h è effettivamente la distanza tra A e centro del disco. Il disegno è sbagliato.
2) la forza F non è applicata al cilindro come sembra dal disegno ma "tira" soltanto l'estremo B. Così facendo spinge la sbarra contro il cilindro e ingenera dell'attrito.
3) Per trovare la forza normale che si ingenera tra sbarra e cilindro bisogna risolvere l'equazione di equilibrio alla rotazione della sbarra prendendo ovviamente come polo A.
4) Nota la forza normale si può trovare la forza (e quindi il momento) di attrito e si può passare alla rotazione del cilindro e risolvere.
1) h è effettivamente la distanza tra A e centro del disco. Il disegno è sbagliato.
2) la forza F non è applicata al cilindro come sembra dal disegno ma "tira" soltanto l'estremo B. Così facendo spinge la sbarra contro il cilindro e ingenera dell'attrito.
3) Per trovare la forza normale che si ingenera tra sbarra e cilindro bisogna risolvere l'equazione di equilibrio alla rotazione della sbarra prendendo ovviamente come polo A.
4) Nota la forza normale si può trovare la forza (e quindi il momento) di attrito e si può passare alla rotazione del cilindro e risolvere.
Non è molto comprensibile. Sarebbe meglio scrivere le formule direttamente. Comunque ti traccio la soluzione
Asta
Sull'asta agiscono il vincolo A, la forza N dovuta al cilindro e la forza F. Non interessano le equazioni di equilibrio lungo gli assi ma solo quella di equilibrio alla rotazione. Preso come polo A risulterà un'equazione con solo F e N, da cui si ricava N. Cerca di riscrivere e calcolare da solo, prima di vedere la soluzione.
Cilindro
Ci interessa solo la rotazione e, poichè è sottoposto ad un momento frenante $tau=-mu*N*R$, si trova facilmente la soluzione.
Asta
Sull'asta agiscono il vincolo A, la forza N dovuta al cilindro e la forza F. Non interessano le equazioni di equilibrio lungo gli assi ma solo quella di equilibrio alla rotazione. Preso come polo A risulterà un'equazione con solo F e N, da cui si ricava N. Cerca di riscrivere e calcolare da solo, prima di vedere la soluzione.
Cilindro
Ci interessa solo la rotazione e, poichè è sottoposto ad un momento frenante $tau=-mu*N*R$, si trova facilmente la soluzione.
Da quel che si vede altro suggerimento che la forza $F$ esterna agisce solo sulla sbarra, non sul cilindro.
Sul cilindro agiscono semplicemente tre forze:
1) la reazione della sbarra nel punto di contatto (è incognita, non confonderla con $F$);
2)la reazione del perno del cilindro;
3) la forza peso del cilindro;
Sul cilindro agiscono semplicemente tre forze:
1) la reazione della sbarra nel punto di contatto (è incognita, non confonderla con $F$);
2)la reazione del perno del cilindro;
3) la forza peso del cilindro;
Grazie ad entrambi, mi è tutto chiaro.
L'unico errore credo sia che $R/h=sintheta$ e non $costheta$
ma comunque non serve perché il raggio vettore per $\vec N$ è $hcostheta$ e nel computo $costheta$ si elimina
L'unico errore credo sia che $R/h=sintheta$ e non $costheta$
ma comunque non serve perché il raggio vettore per $\vec N$ è $hcostheta$ e nel computo $costheta$ si elimina
LA sbarra AB si può considerare una leva di secondo genere, come dice qui :
https://www.chimica-online.it/fisica/le ... genere.htm
con il fulcro in A e la “potenza” ( cioé la forza applicata $vecF$) in B , mentre la “resistenza” sarebbe la forza normale $vecN$ applicata nel punto di contatto della sbarra col cilindro. Per cui a rigori sarebbe:
$N= (Fcostheta) d/h$..... (1)
per angolo $theta$ piccolo si può assumere che sia $costheta \approx1 $ , e quindi scrivere : $N=Fd/h$ direttamente.
Non ho capito la prima delle equazioni scritte da Ingres, che cosa c’entra $R$ ? :
$N*R - d*F*costheta = 0$
Comunque il disegno è fatto maluccio, non si capisce granché. Una cosa dovrebbe essere chiara, che la forza nel punto di contatto $vecN$, che è una forza interna al sistema, ha retta di azione passante per $O$ , centro del tamburo, e quindi non è parallela a $vecF$, ma è perpendicolare alla sbarra AB . Inoltre $vecN$ ha momento nullo rispetto ad $O$.
Se l’angolo $theta$ fosse tale da non poter assumere $costheta\approx1$ , allora si dovrebbe assumere valida la (1), scomponendo la $vecF$. E si dovrebbe definire meglio anche il braccio di $vecN$ , che non è la distanza di A da O : la soluzione si complicherebbe un po’ .
@Antmerl
quando hai un altro esercizio da proporre, non metterlo in coda ad uno già chiuso, apri un altro thread, è preferibile.
https://www.chimica-online.it/fisica/le ... genere.htm
con il fulcro in A e la “potenza” ( cioé la forza applicata $vecF$) in B , mentre la “resistenza” sarebbe la forza normale $vecN$ applicata nel punto di contatto della sbarra col cilindro. Per cui a rigori sarebbe:
$N= (Fcostheta) d/h$..... (1)
per angolo $theta$ piccolo si può assumere che sia $costheta \approx1 $ , e quindi scrivere : $N=Fd/h$ direttamente.
Non ho capito la prima delle equazioni scritte da Ingres, che cosa c’entra $R$ ? :
$N*R - d*F*costheta = 0$
Comunque il disegno è fatto maluccio, non si capisce granché. Una cosa dovrebbe essere chiara, che la forza nel punto di contatto $vecN$, che è una forza interna al sistema, ha retta di azione passante per $O$ , centro del tamburo, e quindi non è parallela a $vecF$, ma è perpendicolare alla sbarra AB . Inoltre $vecN$ ha momento nullo rispetto ad $O$.
Se l’angolo $theta$ fosse tale da non poter assumere $costheta\approx1$ , allora si dovrebbe assumere valida la (1), scomponendo la $vecF$. E si dovrebbe definire meglio anche il braccio di $vecN$ , che non è la distanza di A da O : la soluzione si complicherebbe un po’ .
@Antmerl
quando hai un altro esercizio da proporre, non metterlo in coda ad uno già chiuso, apri un altro thread, è preferibile.
"Shackle":
Non ho capito la prima delle equazioni scritte da Ingres, che cosa c’entra R ? :
Corretto, mancava $ctg(theta)$
E ne ho approfittato anche per mettere a posto il $sin(theta)$.
Comunque, dice bene Antmerl, il braccio di $vecN$ rispetto al polo A è $h*cos\theta$ , ammesso che $h$ sia la distanza in orizzontale tra A ed O.
Io però non capisco come è stato impostato il testo. Visto che la gravità non c’entra per niente, perché mettere la forza $vecF$ verticale? Non poteva mettere la $vecF$ normale all’asta AB , così era parallela ad $vecN$? E non si poteva specificare un valore notevole per l’angolo, per esempio $theta = 30 $ gradi ? Così la situazione era più chiara. Tanto alla fine quella che conta è la seconda cardinale applicata al tamburo, e quindi la diminuzione della velocità angolare dovuta al momento della forza di attrito $\muN$ , per cui:
$\omega = \omega_0 -\alpha*t$
da cui si ricava l’istante di arresto , quando $ omega =0$.
Bah, si dice “cosa fatta capo ha” !
Io però non capisco come è stato impostato il testo. Visto che la gravità non c’entra per niente, perché mettere la forza $vecF$ verticale? Non poteva mettere la $vecF$ normale all’asta AB , così era parallela ad $vecN$? E non si poteva specificare un valore notevole per l’angolo, per esempio $theta = 30 $ gradi ? Così la situazione era più chiara. Tanto alla fine quella che conta è la seconda cardinale applicata al tamburo, e quindi la diminuzione della velocità angolare dovuta al momento della forza di attrito $\muN$ , per cui:
$\omega = \omega_0 -\alpha*t$
da cui si ricava l’istante di arresto , quando $ omega =0$.
Bah, si dice “cosa fatta capo ha” !
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