Esercizio sulla conservazione dell'energia meccanica
Ragazzi, non mi trovo con un esercizio, ma non riesco a capire dov'è l'errore. Vi scrivo testo e svolgimento, se potreste dirmi dove ho sbagliato ve ne sarei enormemente grato!
Una palla da baseball di $0.17 kg$ è lanciata dal tetto di un edifizio alto $12 m$. La sua velocità iniziale vale $30 m/s$ e forma un angolo di $40°$ con il piano orizzontale. Si assumano trascurabili eventuali effetti della resistenza dell'aria.
Qual è l'altezza massima che la palla raggiunge rispetto a terra? Qual è la velocità della palla quando colpisce terra?
Per rispondere al primo quesito, ho applicato la formuletta dell'altezza massima che ho preso da Wikipedia:
$y_(MAX) =$ $(v_0^2 * sen^2theta)/(2g)$
A me viene $15.6 m$ ma dovrebbe venire $31 m$.
Per rispondere al secondo quesito, ho controllato se sul sistema lanciatore-palla-terra ci siano forze non conservative o forze esterne. Non essendoci entrambe le tipologie, posso dire che l'energia meccanica è costante e quindi:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$1/2m*(v_i)^2 + mgy_i = 1/2m*(v_f)^2 + mgy_f$
La velocità finale la devo calcolare, il punto $y_f$ so che è uguale a zero in quanto tocca terra, a me viene che $v_(f) = 31 m/s$ ma deve venire $34 m/s$ !
Vi ringrazio per le future risposte.
Una palla da baseball di $0.17 kg$ è lanciata dal tetto di un edifizio alto $12 m$. La sua velocità iniziale vale $30 m/s$ e forma un angolo di $40°$ con il piano orizzontale. Si assumano trascurabili eventuali effetti della resistenza dell'aria.
Qual è l'altezza massima che la palla raggiunge rispetto a terra? Qual è la velocità della palla quando colpisce terra?
Per rispondere al primo quesito, ho applicato la formuletta dell'altezza massima che ho preso da Wikipedia:
$y_(MAX) =$ $(v_0^2 * sen^2theta)/(2g)$
A me viene $15.6 m$ ma dovrebbe venire $31 m$.
Per rispondere al secondo quesito, ho controllato se sul sistema lanciatore-palla-terra ci siano forze non conservative o forze esterne. Non essendoci entrambe le tipologie, posso dire che l'energia meccanica è costante e quindi:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$1/2m*(v_i)^2 + mgy_i = 1/2m*(v_f)^2 + mgy_f$
La velocità finale la devo calcolare, il punto $y_f$ so che è uguale a zero in quanto tocca terra, a me viene che $v_(f) = 31 m/s$ ma deve venire $34 m/s$ !
Vi ringrazio per le future risposte.
Risposte
Applicando la conservazione dell'energia si trova
$mgy_0+1/2mv_0^2=mgy_(Max)+1/2mv_1^2$.
Poiché
$v_0^2=v_(0,x)^2+v_(0,y)^2=(v_0cos theta)^2+(v_0 sin theta)^2$
e
$v_1^2=v_(1,x)^2+v_(1,y)^2=v_(0,x)^2+0=(v_0cos theta)^2$,
allora l'equazione precedente diventa
$2gy_0+v_0^2=2gy_(Max)+v_1^2$
$2gy_(Max)=2gy_0+(v_0cos theta)^2+(v_0 sin theta)^2-(v_0cos theta)^2$
$2gy_(Max)=2gy_0+(v_0 sin theta)^2$
$y_(Max)=y_0+(v_0 sin theta)^2/(2g)=12+(30sin 40°)^2/(2*9.8) \ m~=30.97 \ m$.
Applicando nuovamente la conservazione dell'energia si trova
$mgy_0+1/2mv_0^2=mgy_2+1/2mv_2^2$
che diventa
$2gy_0+v_0^2=v_2^2$
$v_2=sqrt(2gy_0+v_0^2)=sqrt(2*9.8*12+30^2) \ m*s^-1~=33.69 \ m*s^-1$.
$mgy_0+1/2mv_0^2=mgy_(Max)+1/2mv_1^2$.
Poiché
$v_0^2=v_(0,x)^2+v_(0,y)^2=(v_0cos theta)^2+(v_0 sin theta)^2$
e
$v_1^2=v_(1,x)^2+v_(1,y)^2=v_(0,x)^2+0=(v_0cos theta)^2$,
allora l'equazione precedente diventa
$2gy_0+v_0^2=2gy_(Max)+v_1^2$
$2gy_(Max)=2gy_0+(v_0cos theta)^2+(v_0 sin theta)^2-(v_0cos theta)^2$
$2gy_(Max)=2gy_0+(v_0 sin theta)^2$
$y_(Max)=y_0+(v_0 sin theta)^2/(2g)=12+(30sin 40°)^2/(2*9.8) \ m~=30.97 \ m$.
Applicando nuovamente la conservazione dell'energia si trova
$mgy_0+1/2mv_0^2=mgy_2+1/2mv_2^2$
che diventa
$2gy_0+v_0^2=v_2^2$
$v_2=sqrt(2gy_0+v_0^2)=sqrt(2*9.8*12+30^2) \ m*s^-1~=33.69 \ m*s^-1$.
Quei valori di $(v_0)^2$ e $(v_1)^2$ sono dovuti al fatto che parliamo del moto del proiettile, giusto?
E' un caso ''particolare'' diciamo..
E' un caso ''particolare'' diciamo..
Ho solo espresso le velocità attraverso le loro componenti relative a un sistema di riferimento con l'asse $y$ verticale orientato verso l'alto, e un asse $x$ orizzontale. L'origine era nella proiezione sul terreno del punto da cui viene lanciata la palla da baseball.
In quel sistema la velocità iniziale $v_0$ ha componenti $(v_0cos theta, v_0sin theta)$. La velocità nel punto più alto della traiettoria ha componente $=0$ sull'asse $y$ e componente sull'asse $x$ uguale a quella iniziale $v_(1,x)=v_(0,x)=v_0cos theta$, perché il moto sull'asse $x$ avviene in assenza di forze e quindi con velocità costante.
In quel sistema la velocità iniziale $v_0$ ha componenti $(v_0cos theta, v_0sin theta)$. La velocità nel punto più alto della traiettoria ha componente $=0$ sull'asse $y$ e componente sull'asse $x$ uguale a quella iniziale $v_(1,x)=v_(0,x)=v_0cos theta$, perché il moto sull'asse $x$ avviene in assenza di forze e quindi con velocità costante.
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