Esercizio sulla caduta di un grave
Salve,
consideriamo un grave di massa pari a 1 Kg, supposto sferico e con diametro pari a 0,1 m. Esso viene rilasciato da un'altezza di 1 m. Si consideri l'attrito dell'aria come non trascurabile. Che peso misurerebbe un'ipotetica bilancia, di spessore trascurabile, posta nel sito di impatto col suolo?
consideriamo un grave di massa pari a 1 Kg, supposto sferico e con diametro pari a 0,1 m. Esso viene rilasciato da un'altezza di 1 m. Si consideri l'attrito dell'aria come non trascurabile. Che peso misurerebbe un'ipotetica bilancia, di spessore trascurabile, posta nel sito di impatto col suolo?
Risposte
Temo non si possa dire nulla se non fai qualche ipotesi
-sul tipo dell'urto
-sulla durata dell'urto
Ciao
-sul tipo dell'urto
-sulla durata dell'urto
Ciao
Ah, ecco il problema. Non so, mi interessa più che altro la teoria che c'è dietro (e di cui non ho ancora padronanza). Supponiamo, ad esempio, che si tratti di un urto anelastico di durata pari a 1 s. Sto cercando di ipotizzare la più semplice esperienza possibile di questo tipo, per capirne il funzionamento; se mancasse qualche dato, aggiungetelo pure!
Mah dunque se è solo un metro di altezza, partendo da fermo, l'attrito viscoso dovrebbe dipendere velocità linearmente, mentre invece se superasse una certa velocità , l'attrito dipenderebbe anche dalla velocità al quadrato...penso che dipenda dal regime che da laminare diventa più turbolento, ma non ne sono sicuro, quella parte di fluidomeccanica non l'ho ancora fatta...
Cmq si avrebbe quindi, seguendo la seconda legge di Newton, sommatoria delle F = ma, cioè mg - kv = ma, con k coefficente di attrito viscoso che sapendo che il corpo esferico ecc dovresti ricavarti dalla legge di Stokes se non sbaglio.
Scrivi l'equazione differenziale, la risolvi e trovi l'accelerazione in funzione del tempo,...integri due volte e trovi la funzione velocità e spazio in funzione sempre di t,...in modo che sai qual è la velocità con cui arriva alal bilancia.
Dopo di chè, banalmente col teorema dell'impulso che dice che integrale di Fdt = mv2 - mv1, sapendo che v2 =0 perchè appunto l'urto è totalmente anelastico (la sferetta si spiaccica sulla bilancia) e trovi la forza, dividi per g e trovi l'ipotetica massa che la bilancia misura...penso che così dovrebbe girare:D
Cmq si avrebbe quindi, seguendo la seconda legge di Newton, sommatoria delle F = ma, cioè mg - kv = ma, con k coefficente di attrito viscoso che sapendo che il corpo esferico ecc dovresti ricavarti dalla legge di Stokes se non sbaglio.
Scrivi l'equazione differenziale, la risolvi e trovi l'accelerazione in funzione del tempo,...integri due volte e trovi la funzione velocità e spazio in funzione sempre di t,...in modo che sai qual è la velocità con cui arriva alal bilancia.
Dopo di chè, banalmente col teorema dell'impulso che dice che integrale di Fdt = mv2 - mv1, sapendo che v2 =0 perchè appunto l'urto è totalmente anelastico (la sferetta si spiaccica sulla bilancia) e trovi la forza, dividi per g e trovi l'ipotetica massa che la bilancia misura...penso che così dovrebbe girare:D
Rafaele aveva supposto assenza di attriti.
In ogni caso, come già ti ha detto antani, in questo caso il problema è facile, visto che risulta
$F=(Deltaq)/(Deltat)$ dove $q$ è la quantità di moto.
In ogni caso, tempo fa inserii un esercizio svolto sull'argomento
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 806243471/
dove si calcola l'accelerazione media durante l'urto (quindi la forza, alla fine).
Tutto chiaro?
Ciao.
In ogni caso, come già ti ha detto antani, in questo caso il problema è facile, visto che risulta
$F=(Deltaq)/(Deltat)$ dove $q$ è la quantità di moto.
In ogni caso, tempo fa inserii un esercizio svolto sull'argomento
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 806243471/
dove si calcola l'accelerazione media durante l'urto (quindi la forza, alla fine).
Tutto chiaro?
Ciao.
"Steven":
Rafaele aveva supposto assenza di attriti.
In ogni caso, come già ti ha detto antani, in questo caso il problema è facile, visto che risulta
$F=(Deltaq)/(Deltat)$ dove $q$ è la quantità di moto.
In ogni caso, tempo fa inserii un esercizio svolto sull'argomento
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 806243471/
dove si calcola l'accelerazione media durante l'urto (quindi la forza, alla fine).
Tutto chiaro?
Ciao.
NO no guarda guarda ha scritto attrito dell'aria non trascurabile
"antani":
NO no guarda guarda ha scritto attrito dell'aria non trascurabile
Cavolo è vero.
Ho letto senza cura, mi scuso con entrambi.
Grazie per avermelo detto.
Ho provato ad applicare il ragionamento di antani; purtroppo però mi si presenta un problema, perché la legge di Stokes richiede la conoscenza di v, per ricavare k, e ciò mi impedisce di proseguire nel suo ragionamento 
. Seguendo come traccia l'esercizio linkato da Steven, avrei risolto così:
$v_1^2-v_0^2= 2ah$
$v_1= 4,47 m/s$
$F =(\Delta mv)/(\Delta t)$
$F = 4,47 N$
Io però avrei voluto includere la resistenza dell'aria. Intanto quello che ho fatto è giusto?
. Seguendo come traccia l'esercizio linkato da Steven, avrei risolto così:$v_1^2-v_0^2= 2ah$
$v_1= 4,47 m/s$
$F =(\Delta mv)/(\Delta t)$
$F = 4,47 N$
Io però avrei voluto includere la resistenza dell'aria. Intanto quello che ho fatto è giusto?
"Steven":
[quote="antani"]
NO no guarda guarda ha scritto attrito dell'aria non trascurabile
Cavolo è vero.
Ho letto senza cura, mi scuso con entrambi.
Grazie per avermelo detto.
[/quote]Non è necessario scusarsi
. Anzi vi ringrazio entrambi per la disponibilità!
Aspetta aspetta... spiegami un po' come fai a calcolare la forza sulla bilancia immaginaria solo con i dati forniti, ossia senza informazioni sul tempo dell'urto (che comunque ti servirebbe per il valore della forza media e non la massima) o sulle caratteristiche elasto-plastiche dell'oggetto...
Intanto ricordiamo la legge di Stokes, $F_(att)=-6pieta*r*V$, con $r$ il raggio della sfera e $V$ la velocità
Per comodità chiamiamo la quantità $6pieta*r$, costante, $k$, quindi la legge sopra citata la riscriviamo
$F_(att)=-k*V$
Scriviamo l'accelerazione a cui è sottoposta la sfera
$a=g-F_(att)/M$ , con $M$ la massa della sfera. Scritta meglio
$(dV)/dt=g-k/M*V$ , un'equazione differenziale.Quindi:
$(dV)/dt=g - k/M*V$ raccogliamo a secondo membro $-k/M$
$(dV)/dt=-k/M(V-gM/k)$ dividiamo per $(V-gM/k)$ e moltiplichiamo per $dt$
$(dV)/(V-gM/k)=-b/M * dt$ integriamo entrambi i membri
$int(1/(V-gM/k)) dV=int(-k/M) dt$ otteniamo
$ln (V - gM/k)=-k/M*t + C$ ovvero
$e^(-k/M*t+C)=V-gM/k$ cioè $e^(-k/M*t)*e^C=V-gM/k$
per trovare il valore di $e^C$ sappiamo che quando $t=0$ anche $V$ è uguale a zero, quindi sostiutendo otteniamo
$e^C=-gM/k$ che sostituiamo sopra
$e^(-k/M*t)*(-gM/k)=V-gM/k$ esplicitanto $V$ e raccogliendo si ottiene
$V=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
questa è la relazione che lega la velocità al tempo. Integrando rispetto al tempo troviamo la relazione che lega lo spazio al tempo.
$(ds)/dt=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
$int ds =int gM/k(1-e^(-k/M*t)) dt$
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t)) + P$
Per trovare $P$ ricordiamo che a $t=0$ anche $s=0$, per cui
$0=gM/k(0+M/k*1) + P$, quindi
$P=-gM^2/k^2$, e quindi la relazione che lega lo spazio al tempo percorso è
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t)) -gM^2/k^2$, cioè
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t) - M/k)$, meglio ancora
$s=gM/k[t + M/k*(e^(-k/M*t) - 1)]$
Quindi tornando al problema, ci ricaviamo in qualche modo in quale istante $t$ lo spazio vale $1 m$. Quindi sostituiamo questo valore del tempo nella relazione trovata prima
$V=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
per ricavarci la velocità, e conseguentemente la quantità di moto, al momento dell'urto. Poi boh si continuerà con impulso ecc. Comuque per forza segnata dalla bilancia dovresti chiarire meglio, penso tu intenda la forza massima che segna la bilancia durante l'urto.
P.S. Ho solo pensato di passare un poco del pomeriggio piovoso così, e ho pensato di scrivervi cosa ho fatto. Credo ci siano parecchie sparate, se qualcuno volesse correggermi le cose sbagliate gliene sarei grato
Per comodità chiamiamo la quantità $6pieta*r$, costante, $k$, quindi la legge sopra citata la riscriviamo
$F_(att)=-k*V$
Scriviamo l'accelerazione a cui è sottoposta la sfera
$a=g-F_(att)/M$ , con $M$ la massa della sfera. Scritta meglio
$(dV)/dt=g-k/M*V$ , un'equazione differenziale.Quindi:
$(dV)/dt=g - k/M*V$ raccogliamo a secondo membro $-k/M$
$(dV)/dt=-k/M(V-gM/k)$ dividiamo per $(V-gM/k)$ e moltiplichiamo per $dt$
$(dV)/(V-gM/k)=-b/M * dt$ integriamo entrambi i membri
$int(1/(V-gM/k)) dV=int(-k/M) dt$ otteniamo
$ln (V - gM/k)=-k/M*t + C$ ovvero
$e^(-k/M*t+C)=V-gM/k$ cioè $e^(-k/M*t)*e^C=V-gM/k$
per trovare il valore di $e^C$ sappiamo che quando $t=0$ anche $V$ è uguale a zero, quindi sostiutendo otteniamo
$e^C=-gM/k$ che sostituiamo sopra
$e^(-k/M*t)*(-gM/k)=V-gM/k$ esplicitanto $V$ e raccogliendo si ottiene
$V=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
questa è la relazione che lega la velocità al tempo. Integrando rispetto al tempo troviamo la relazione che lega lo spazio al tempo.
$(ds)/dt=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
$int ds =int gM/k(1-e^(-k/M*t)) dt$
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t)) + P$
Per trovare $P$ ricordiamo che a $t=0$ anche $s=0$, per cui
$0=gM/k(0+M/k*1) + P$, quindi
$P=-gM^2/k^2$, e quindi la relazione che lega lo spazio al tempo percorso è
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t)) -gM^2/k^2$, cioè
$s=gM/k(t + M/k*e^(-k/M*t) - M/k)$, meglio ancora
$s=gM/k[t + M/k*(e^(-k/M*t) - 1)]$
Quindi tornando al problema, ci ricaviamo in qualche modo in quale istante $t$ lo spazio vale $1 m$. Quindi sostituiamo questo valore del tempo nella relazione trovata prima
$V=gM/k(1-e^(-k/M*t))$
per ricavarci la velocità, e conseguentemente la quantità di moto, al momento dell'urto. Poi boh si continuerà con impulso ecc. Comuque per forza segnata dalla bilancia dovresti chiarire meglio, penso tu intenda la forza massima che segna la bilancia durante l'urto.
P.S. Ho solo pensato di passare un poco del pomeriggio piovoso così, e ho pensato di scrivervi cosa ho fatto. Credo ci siano parecchie sparate, se qualcuno volesse correggermi le cose sbagliate gliene sarei grato
sì sì ma penso sia giusto perchè è lo stesso ragionamento che avevo scritto anch'io prima:-) speriamo di non essere in due a sbagliare:-)
Ringrazio tutti per l'aiuto; rispondo in ritardo perché ho faticato un po' per capire l'intervento di strangolatore mancino, ma ho capito. Quello che avevo sottolineato precedentemente sul suggerimento di antani permane: anche k deve essere aggiunto ai nostri dati, per la risoluzione del problema.
Sì, hai ragione. Intendo la forza massima registrata dallo strumento.
Resta da chiarire la parte finale del problema, cercherò di comprenderla.
per ricavarci la velocità, e conseguentemente la quantità di moto, al momento dell'urto. Poi boh si continuerà con impulso ecc. Comuque per forza segnata dalla bilancia dovresti chiarire meglio, penso tu intenda la forza massima che segna la bilancia durante l'urto.
Sì, hai ragione. Intendo la forza massima registrata dallo strumento.
Resta da chiarire la parte finale del problema, cercherò di comprenderla.
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