Esercizio sull' urto tra asta e anello e impulso della forza
ciao a tutti
Un’asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza $L = R$ e massa $M$ ha il centro C
vincolato per mezzo di un perno orizzontale al bordo di un anello omogeneo di centro O,
massa$ M$ e raggio $R$. L’anello poggia su di un piano orizzontale. Si indichi con $ vartheta $ l’angolo che
la congiungente C-O forma con la verticale ascendente.
Il sistema parte da fermo all istante $t=0$ con $vartheta=pi/6$. Supponendo che si
mantenga il rotolamento puro, all’istante $t=t0$ in cui $vartheta=pi/2$, il perno in C viene bloccato (si
trasforma in una saldatura). Supponendo che l’attrito sia sufficiente per mantenere il
rotolamento puro calcolare la componente verticale dell’impulso della reazione vincolare
nel punto di contatto fra anello e piano
chiamo B il punto di contatto e applico la conservazione dell' energia
$ I_(B)w_i=MgRcosvartheta $
$ I_(B)=4MR^2 $
$ w_i=(g/R3^( 1/2)/4)^(1/2) $
calcolo il nuovo momento di inerzia dopo l urto
$ I_(B_2)=49/12MR^(1/2) $
applico la seconda cardinale impulsiva in B
$ I_(B_2)omega_2=I_(B_1)omega _1 $
$ omega_2=48/49omega _1 $
applico la prima cardinale impulsiva
$ J_B=2Momega _(2)(R^2+R^2/4)^(1/2)+2Momega _(1)(R^2+R^2/4)^(1/2) $
ottenendo alla fine
$ J=M5^(1/2)R(-1/49)omega_1 $ (impulso che è diretto verso il basso)
Il mio dubbio riguarda proprio l' ultima formula.Ho infatti calcolato la quantità di moto con la formula
$ P=Momegad $
dove $ d $ è la distanza del centro di massa dell asse di rotazione e nel mio caso $ d=(R^2+R^2/4)^(1/2) $
Il modo con cui ho applicato questa ultima formula é corretto?
grazie in anticipo
Un’asta omogenea di spessore trascurabile e di lunghezza $L = R$ e massa $M$ ha il centro C
vincolato per mezzo di un perno orizzontale al bordo di un anello omogeneo di centro O,
massa$ M$ e raggio $R$. L’anello poggia su di un piano orizzontale. Si indichi con $ vartheta $ l’angolo che
la congiungente C-O forma con la verticale ascendente.
Il sistema parte da fermo all istante $t=0$ con $vartheta=pi/6$. Supponendo che si
mantenga il rotolamento puro, all’istante $t=t0$ in cui $vartheta=pi/2$, il perno in C viene bloccato (si
trasforma in una saldatura). Supponendo che l’attrito sia sufficiente per mantenere il
rotolamento puro calcolare la componente verticale dell’impulso della reazione vincolare
nel punto di contatto fra anello e piano
chiamo B il punto di contatto e applico la conservazione dell' energia
$ I_(B)w_i=MgRcosvartheta $
$ I_(B)=4MR^2 $
$ w_i=(g/R3^( 1/2)/4)^(1/2) $
calcolo il nuovo momento di inerzia dopo l urto
$ I_(B_2)=49/12MR^(1/2) $
applico la seconda cardinale impulsiva in B
$ I_(B_2)omega_2=I_(B_1)omega _1 $
$ omega_2=48/49omega _1 $
applico la prima cardinale impulsiva
$ J_B=2Momega _(2)(R^2+R^2/4)^(1/2)+2Momega _(1)(R^2+R^2/4)^(1/2) $
ottenendo alla fine
$ J=M5^(1/2)R(-1/49)omega_1 $ (impulso che è diretto verso il basso)
Il mio dubbio riguarda proprio l' ultima formula.Ho infatti calcolato la quantità di moto con la formula
$ P=Momegad $
dove $ d $ è la distanza del centro di massa dell asse di rotazione e nel mio caso $ d=(R^2+R^2/4)^(1/2) $
Il modo con cui ho applicato questa ultima formula é corretto?
grazie in anticipo
Risposte
Come fa una reazione vincolare ad oppore una reazione impulsiva negativa?
nello scrivere ho lasciato il segno meno, in realtà l' impulso della reazone ha modulo positivo e verso diretto dall' alto al basso.
Ma scusa, se tu calcoli la quantità di moto in quel modo trovi il suo modulo, mentre a te invece interessa la componente verticale, come chiede il testo del problema.
L'unico componente di questo sistema che ha un moto verticale è l'asta, perché l'anello si muove solo in direzione orizzontale, dunque la sua quantità di moto non varia nella direzione verticale.
Allora l'unica variazione di quantità di moto da considerare è quella dell'asta, per cui:
$${\omega _i} = \sqrt {\frac{{g\sqrt 3 }}
{{4R}}} $$
$${\omega _f} = \frac{{48}}
{{49}}{\omega _i}$$
$${J_y} = \frac{1}
{{49}}{\omega _i}RM$$
L'impulso così calcolato è diretto verso l'alto, perché deve frenare il moto dell'asta che è discendente (d'altra parte un piano di appoggio può dare solo reazioni verso l'alto)
L'unico componente di questo sistema che ha un moto verticale è l'asta, perché l'anello si muove solo in direzione orizzontale, dunque la sua quantità di moto non varia nella direzione verticale.
Allora l'unica variazione di quantità di moto da considerare è quella dell'asta, per cui:
$${\omega _i} = \sqrt {\frac{{g\sqrt 3 }}
{{4R}}} $$
$${\omega _f} = \frac{{48}}
{{49}}{\omega _i}$$
$${J_y} = \frac{1}
{{49}}{\omega _i}RM$$
L'impulso così calcolato è diretto verso l'alto, perché deve frenare il moto dell'asta che è discendente (d'altra parte un piano di appoggio può dare solo reazioni verso l'alto)
Oppure indicata con $y_G=R+R/2costheta$ la coordinata del centro di massa hai $dot(y)_G=-R/2sinthetaomega$, da cui $J=-DeltaomegaRM$
grazie mille ad entrambi
per vedere se ho capito allora in quello stesso istante di tempoo la componente orizzonale dell' impulso la trovo facendo
$ x_G=rtheta+r/2sintheta $
$ v_(G_x)=romega +r/2costhetaomega $
$ J_x=2Mv_(x_(G_f))-2Mv_(x_(G_i))=2MRw_f-2MRw_i=2MR(-1/49w_i) $
quindi
$ J_x==2MR(1/49w_i) $ ( ed ha verso diretto da destra a sinistra)
per vedere se ho capito allora in quello stesso istante di tempoo la componente orizzonale dell' impulso la trovo facendo
$ x_G=rtheta+r/2sintheta $
$ v_(G_x)=romega +r/2costhetaomega $
$ J_x=2Mv_(x_(G_f))-2Mv_(x_(G_i))=2MRw_f-2MRw_i=2MR(-1/49w_i) $
quindi
$ J_x==2MR(1/49w_i) $ ( ed ha verso diretto da destra a sinistra)
Si, mi sembra giusto
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