Esercizio sul pendolo.
Ho provato a risolvere il seguente problema.
Si consideri un pendolo di lunghezza l = 30 cm e massa m = 100 g.
Al tempo t = 0 il pendolo é verticale ed ha velocità $v_0$ diretta orizzontalmente.(a) Se
il pendolo fa oscillazioni di ampiezza $\alpha_0 = 90°$, quanto vale $v_0$? (b) Qual è la velocità
$v0,min$ minima per cui il pendolo ruota intorno al punto a cui è attaccato invece di
oscillare, mantenendo il filo sempre teso? (c) Nel caso (b) quanto vale la velocità del
pendolo sulla verticale, sopra il centro di oscillazione, per $v0 = 2v0,min$?
Il primo quesito l'ho risolto calcolandomi la velocità angolare nell'istante t=0, e moltiplicandola per $l$. Mi è venuto circa $2,7 m/s$.
Il secondo ho cercato di calcolarlo con il principio di conservazione dell'energia, che credo si possa applicare visto che la forza di tensione del filo, a meno di miei errori, non compie lavoro.
Il terzo quesito onestamente mi è poco chiaro: se il filo è inestensibile, dovrebbe essere nulla la componente radiale della velocità.
Chi mi aiuta?
C'è anche quest'altro problema:
Due blocchetti sono posti uno sopra all’altro ed appoggiati su di un
piano, come mostrato in figura (M_1 è in basso, mentre m_2 è posto sopra di esso, a diretto contatto). Le masse dei blocchetti valgono m1 = 10 kg e m2 = 5
kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra il blocchetto 1 ed il piano sono
μs,1 = 0.4 e μd,1 = 0.3, rispettivamente. I coefficienti di attrito tra i due blocchetti
sono μs,12 = 0.3, μd,12 = 0.25.
Calcolare: (a) la forza minima F1 da ap-
plicare al blocchetto 1 affinchè il sistema
dei due blocchetti si muova; (b) la forza
minima F2 da applicare al blocchetto 1
affinchè il blocchetto 2 inizi a scivolare su
di esso. (c) l’ accelerazione dei due bloc-
chetti quando F = F1 e F = F2.
Onestamente anche qui ho qualche dubbio sul ragionamento da seguire.
1) Il corpo si inizia a muovere se la forza applicata eguaglia le forze di attrito statico. Pertanto io l'equazione risolutiva la imposto così, anche se mi dice che la forza è applicata al corpo 1 (penso che sia rilevante solo perchè indica che il corpo è a contatto con il terreno e quindi deve essere presente anche la forza di attrito del sistema con il terreno)
$F = \mu_s,1 (m_1 + m_2) g + (m_1 + m_2) \mu_s, 12 g + (m_1+ m_2 ) \vec g + \vec N$
2) Ho provato a considerare come equazione risolutiva la seguente:
$F = (m_1 + m_2) \mu_s, 12 g$,
perchè ho pensato che non è tanto importante il fatto che il sistema si muova quanto risulta rilevante solo una modifica della posizione reciproca dei due blocchetti.
3) Dovrebbe essere:
$(m_1 + m_2) a_1 = \mu_d,1 (m_1 + m_2) g + (m_1 + m_2) \mu_d, 12 g$
$(m_1 + m_2) a_2 = (m_1 + m_2) \mu_d, 12 g$,
da cui ricavo $a_1$ e $a_2$
Si consideri un pendolo di lunghezza l = 30 cm e massa m = 100 g.
Al tempo t = 0 il pendolo é verticale ed ha velocità $v_0$ diretta orizzontalmente.(a) Se
il pendolo fa oscillazioni di ampiezza $\alpha_0 = 90°$, quanto vale $v_0$? (b) Qual è la velocità
$v0,min$ minima per cui il pendolo ruota intorno al punto a cui è attaccato invece di
oscillare, mantenendo il filo sempre teso? (c) Nel caso (b) quanto vale la velocità del
pendolo sulla verticale, sopra il centro di oscillazione, per $v0 = 2v0,min$?
Il primo quesito l'ho risolto calcolandomi la velocità angolare nell'istante t=0, e moltiplicandola per $l$. Mi è venuto circa $2,7 m/s$.
Il secondo ho cercato di calcolarlo con il principio di conservazione dell'energia, che credo si possa applicare visto che la forza di tensione del filo, a meno di miei errori, non compie lavoro.
Il terzo quesito onestamente mi è poco chiaro: se il filo è inestensibile, dovrebbe essere nulla la componente radiale della velocità.
Chi mi aiuta?
C'è anche quest'altro problema:
Due blocchetti sono posti uno sopra all’altro ed appoggiati su di un
piano, come mostrato in figura (M_1 è in basso, mentre m_2 è posto sopra di esso, a diretto contatto). Le masse dei blocchetti valgono m1 = 10 kg e m2 = 5
kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra il blocchetto 1 ed il piano sono
μs,1 = 0.4 e μd,1 = 0.3, rispettivamente. I coefficienti di attrito tra i due blocchetti
sono μs,12 = 0.3, μd,12 = 0.25.
Calcolare: (a) la forza minima F1 da ap-
plicare al blocchetto 1 affinchè il sistema
dei due blocchetti si muova; (b) la forza
minima F2 da applicare al blocchetto 1
affinchè il blocchetto 2 inizi a scivolare su
di esso. (c) l’ accelerazione dei due bloc-
chetti quando F = F1 e F = F2.
Onestamente anche qui ho qualche dubbio sul ragionamento da seguire.
1) Il corpo si inizia a muovere se la forza applicata eguaglia le forze di attrito statico. Pertanto io l'equazione risolutiva la imposto così, anche se mi dice che la forza è applicata al corpo 1 (penso che sia rilevante solo perchè indica che il corpo è a contatto con il terreno e quindi deve essere presente anche la forza di attrito del sistema con il terreno)
$F = \mu_s,1 (m_1 + m_2) g + (m_1 + m_2) \mu_s, 12 g + (m_1+ m_2 ) \vec g + \vec N$
2) Ho provato a considerare come equazione risolutiva la seguente:
$F = (m_1 + m_2) \mu_s, 12 g$,
perchè ho pensato che non è tanto importante il fatto che il sistema si muova quanto risulta rilevante solo una modifica della posizione reciproca dei due blocchetti.
3) Dovrebbe essere:
$(m_1 + m_2) a_1 = \mu_d,1 (m_1 + m_2) g + (m_1 + m_2) \mu_d, 12 g$
$(m_1 + m_2) a_2 = (m_1 + m_2) \mu_d, 12 g$,
da cui ricavo $a_1$ e $a_2$
Risposte
Uno alla volta. Iniziamo col pendolo.
Onestamente non ho capito il tuo discorso sulla velocità angolare, me lo spieghi? io avrei usato la conservazione dell'energia...
Per il secondo quesito penso vada bene la conservazione dell'energia, però vorrei vedere come l'hai impostato.
Il terzo quesito somiglia al secondo, con l'unica differenza che la velocità nel punto più alto è maggiore (l'esercizio non parla di velocità radiale nel punto più alto, si intende sempre ovviamente velocità trasversale perché come dici tu il filo è inestensibile)
Onestamente non ho capito il tuo discorso sulla velocità angolare, me lo spieghi? io avrei usato la conservazione dell'energia...
Per il secondo quesito penso vada bene la conservazione dell'energia, però vorrei vedere come l'hai impostato.
Il terzo quesito somiglia al secondo, con l'unica differenza che la velocità nel punto più alto è maggiore (l'esercizio non parla di velocità radiale nel punto più alto, si intende sempre ovviamente velocità trasversale perché come dici tu il filo è inestensibile)
Confesso che rinuncio a capire la logica della tua impostazione riguardo al secondo esercizio. Riparto dunque da zero e comincio a proporti qualche ragionamento.
a)
Supponiamo in prima ipotesi che con la F1 applicata al blocchetto 1 i due blocchetti si muovano in modo solidale, cioè senza reciproco scorrimento (poi verificheremo questa ipotesi); allora è come dire che formano un blocco unico da 15 kg. Il problema domanda quale sia la forza che uguaglia l'attrito statico sul piano in queste condizioni, no?
b)
Questo è un po' più complesso. Assumiamo di essere su un sistema di riferimento solidale col blocco 1 che sta accelerando. Il blocco 2 dunque sente questo fatto come se fosse una "gravità" orizzontale di valore pari all'accelerazione del sistema. Quando la forza orizzontale dovuta a questa gravità apparente orizzontale eguaglia la forza di attrito statico tra il blocco 2 e il blocco1, ecco che il blocco 2 inizia a scorrere. Allora calcolata questa accelerazione limite, la domanda è: quale forza applicata al blocco 1 produce questa accelerazione? i parametri da utilizzare qui sono l'attrito dinamico tra il blocco 1 e il piano, e la massa complessiva di 15 kg, poiché il blocco 2 è ancora solidale col blocco 1 (sta infatti ancora operando l'attrito statico tra i due).
c)
prese le due forze calcolate, queste mantengono il sistema accelerato perché agiscono adesso gli attriti dinamici che sono minori di quelli statici. Ma questo lo discuteremo poi. Aspetto prima da te una reazione alle mie considerazioni.
a)
Supponiamo in prima ipotesi che con la F1 applicata al blocchetto 1 i due blocchetti si muovano in modo solidale, cioè senza reciproco scorrimento (poi verificheremo questa ipotesi); allora è come dire che formano un blocco unico da 15 kg. Il problema domanda quale sia la forza che uguaglia l'attrito statico sul piano in queste condizioni, no?
b)
Questo è un po' più complesso. Assumiamo di essere su un sistema di riferimento solidale col blocco 1 che sta accelerando. Il blocco 2 dunque sente questo fatto come se fosse una "gravità" orizzontale di valore pari all'accelerazione del sistema. Quando la forza orizzontale dovuta a questa gravità apparente orizzontale eguaglia la forza di attrito statico tra il blocco 2 e il blocco1, ecco che il blocco 2 inizia a scorrere. Allora calcolata questa accelerazione limite, la domanda è: quale forza applicata al blocco 1 produce questa accelerazione? i parametri da utilizzare qui sono l'attrito dinamico tra il blocco 1 e il piano, e la massa complessiva di 15 kg, poiché il blocco 2 è ancora solidale col blocco 1 (sta infatti ancora operando l'attrito statico tra i due).
c)
prese le due forze calcolate, queste mantengono il sistema accelerato perché agiscono adesso gli attriti dinamici che sono minori di quelli statici. Ma questo lo discuteremo poi. Aspetto prima da te una reazione alle mie considerazioni.
Comincio dal pendolo.
a) Ho pensato che siccome all'istante $0$ il corpo parte dalla posizione verticale, allora il valore $\phi$ dell'equazione del moto del pendolo
$\theta = \theta_0 sen (\omega t + \phi)$,
poteva essere eguagliato a $0$.
Pertanto, siccome il moto è perfettamente circolare, la componente della velocità è solo tangenziale, e vale $l * \omega$.
Ho derivato la legge che ho riportato sopra, ho sostituito $0$ alla t e ho moltiplicato il risultato venuto per $l$.
Ho fatto anche l'esercizio con la conservazione dell'energia, ma differisce da quello trovato prima per pochi decimi, differenza che, sono sicuro, non è legata alle approssimazioni.
Non ho usato subito la conservazione dell'energia perchè faccio un po' di confusione (che davvero non riesco a tradurre in una domanda da porre a voi, viene sempre dato tutto per scontato) a capire tutti i tipi di pendolo possibili: non legati alla meccanica (inestensibilità del filo o ampiezza delle oscillazioni), ma legate a come viene avviato, alle condizioni iniziali e finali, insomma non riesco ad applicare la teoria del pendolo a tutti i casi; cioè, non riesco a fare differenza tra i casi in cui il pendolo viene fatto partire dall'alto, viene spinto dalla posizione verticale, ed altri casi, sempre che ce ne siano: vorrei possedere tutti gli esempi possibili, in piccoli schemini, ma mi trovo confuso perchè non ci riesco: allora tale confusione inibisce totalmente tutti i miei ragionamenti.
E' un po' come chi si trova nel mare, disperso: la fisica è un mare, però è sempre meglio avere una scialuppa di salvataggio che stare da soli a nuotare con le mie forze. Questi schemini, quadri concettuali, classificazioni, sarebbero la mia scialuppa di salvataggio. La mia mente malata, per come è costruita, non riesce a lavorare senza questa scialuppa. I miei ragionamenti sono spesso cervellotici proprio perchè mi trovo a fare esercizi per "imitazione", quasi, senza capire, senza che nessuno abbia fatto un'ampia rassegna di tutti i casi che si possono verificare.
b) Qua, ora che ci ripenso, non mi è molto chiaro il testo. Non so se con $v_0, min$ si intende la velocità che il punto dovrebbe avere in basso, all'inizio, per compiere un giro. Ora che rileggo, penso proprio di sì, mentre ieri che ho svolto il problema mi è venuto in mente che si dovesse in realtà parlare della velocità che il punto ha in alto.
In questo caso utilizzerei l'equazione
$1/2 m v_0^2 = mg2l + 1/2 m (v_0, min)^2$
Nel caso che penso sia quello più probabile, non so come ragionare.
c) Qui, per farti capire il disordine mentale, avevo immaginato che si intendesse la velocità proiettata sulla verticale, sul filo, pensa un po'.
a) Ho pensato che siccome all'istante $0$ il corpo parte dalla posizione verticale, allora il valore $\phi$ dell'equazione del moto del pendolo
$\theta = \theta_0 sen (\omega t + \phi)$,
poteva essere eguagliato a $0$.
Pertanto, siccome il moto è perfettamente circolare, la componente della velocità è solo tangenziale, e vale $l * \omega$.
Ho derivato la legge che ho riportato sopra, ho sostituito $0$ alla t e ho moltiplicato il risultato venuto per $l$.
Ho fatto anche l'esercizio con la conservazione dell'energia, ma differisce da quello trovato prima per pochi decimi, differenza che, sono sicuro, non è legata alle approssimazioni.
Non ho usato subito la conservazione dell'energia perchè faccio un po' di confusione (che davvero non riesco a tradurre in una domanda da porre a voi, viene sempre dato tutto per scontato) a capire tutti i tipi di pendolo possibili: non legati alla meccanica (inestensibilità del filo o ampiezza delle oscillazioni), ma legate a come viene avviato, alle condizioni iniziali e finali, insomma non riesco ad applicare la teoria del pendolo a tutti i casi; cioè, non riesco a fare differenza tra i casi in cui il pendolo viene fatto partire dall'alto, viene spinto dalla posizione verticale, ed altri casi, sempre che ce ne siano: vorrei possedere tutti gli esempi possibili, in piccoli schemini, ma mi trovo confuso perchè non ci riesco: allora tale confusione inibisce totalmente tutti i miei ragionamenti.
E' un po' come chi si trova nel mare, disperso: la fisica è un mare, però è sempre meglio avere una scialuppa di salvataggio che stare da soli a nuotare con le mie forze. Questi schemini, quadri concettuali, classificazioni, sarebbero la mia scialuppa di salvataggio. La mia mente malata, per come è costruita, non riesce a lavorare senza questa scialuppa. I miei ragionamenti sono spesso cervellotici proprio perchè mi trovo a fare esercizi per "imitazione", quasi, senza capire, senza che nessuno abbia fatto un'ampia rassegna di tutti i casi che si possono verificare.
b) Qua, ora che ci ripenso, non mi è molto chiaro il testo. Non so se con $v_0, min$ si intende la velocità che il punto dovrebbe avere in basso, all'inizio, per compiere un giro. Ora che rileggo, penso proprio di sì, mentre ieri che ho svolto il problema mi è venuto in mente che si dovesse in realtà parlare della velocità che il punto ha in alto.
In questo caso utilizzerei l'equazione
$1/2 m v_0^2 = mg2l + 1/2 m (v_0, min)^2$
Nel caso che penso sia quello più probabile, non so come ragionare.
c) Qui, per farti capire il disordine mentale, avevo immaginato che si intendesse la velocità proiettata sulla verticale, sul filo, pensa un po'.
Per il secondo esercizio.
a) Lui chiede semplicemente la forza minima F1 da applicare al blocchetto 1 affinchè il sistema dei due blocchetti si muova.
Tu dici:
No, non è detto, ovviamente, o almeno penso che non lo sia, essendo la prima volta che faccio esercizi del genere. Per questo motivo, io ho messo tutte le forze, ovviamente azzardando una possibile equazione risolutiva, senza essere sicuro di niente.
Gli altri due punti vorrei provare a capirli dopo, dopo che magari abbiamo discusso del primo.
a) Lui chiede semplicemente la forza minima F1 da applicare al blocchetto 1 affinchè il sistema dei due blocchetti si muova.
Tu dici:
Supponiamo in prima ipotesi che con la F1 applicata al blocchetto 1 i due blocchetti si muovano in modo solidale, cioè senza reciproco scorrimento (poi verificheremo questa ipotesi); allora è come dire che formano un blocco unico da 15 kg. Il problema domanda quale sia la forza che uguaglia l'attrito statico sul piano in queste condizioni, no?
No, non è detto, ovviamente, o almeno penso che non lo sia, essendo la prima volta che faccio esercizi del genere. Per questo motivo, io ho messo tutte le forze, ovviamente azzardando una possibile equazione risolutiva, senza essere sicuro di niente.
Gli altri due punti vorrei provare a capirli dopo, dopo che magari abbiamo discusso del primo.
Capisco il tuo stato d'animo leggermente confusionale...
E credo che di solito (90% dei casi) quando uno è così la colpa sia dell'insegnante, il quale probabilmente non sa spiegare (oppure nemmeno lui ha capito...
). Oh non che io pretenda di saper insegnare eh... però almeno mi impegno.
E dopo queste (non so quanto) consolatorie parole veniamo al pendolo malefico.
a)
Allora tu proponi il metodo del moto armonico, io ti dico però che quello giusto è il metodo dell'energia: come la mettiamo?
Te ne dico anche un'altra: il metodo del moto armonico è "quasi" giusto, è sbagliato di poco, e diventa tanto più preciso quanto più sono piccole le oscillazioni. E sai perché? perché in realtà il moto del pendolo non è puramente armonico, e il periodo del pendolo così come viene presentato sui libri è una formula approssimata che vale per piccole oscillazioni. Infatti nella dimostrazione di come si calcola il periodo (non so se l'hai vista) si fa l'approssimazione $\sin \theta \approx \theta $, altrimenti esce un'equazione differenziale non lineare che non è integrabile.
Ciò per spiegarti perché ottieni delle diversità.
b)
L'impostazione che fai mi pare giusta (anche se chiami V0 la velocità all'apice; io la chiamerei V1 per non fare confusione: la V0 è sempre quella al punto più basso), adesso si tratta di calcolare la velocità V0min. Se noti la condizione da rispettare è che quando arriva all'apice del giro il filo sia teso. Infatti se la V1 all'apice fosse troppo bassa il peso cadrebbe e il filo non sarebbe teso. E' come il giochino di far ruotare col braccio un secchio pieno d'acqua tenendolo per il manico e facendolo passare rovesciato sopra la tua testa: se il giro lo fai troppo piano fai la doccia. Cosa ti garantisce di non farla? che vai abbastanza veloce. Quanto veloce? Questo è il punto.
La velocità V1 al punto più alto deve essere dunque tale da tenere il filo teso. A quel punto la massa che ruota è soggetta a 2 forze: la forza peso che tende a farla cadere, e le forza d'inerzia che tende ad allontanarla secondo la verticale. Siccome si sta descrivendo un cerchio allora ci si deve chiedere: qual è la velocità per la quale l'accelerazione centripeta di una massa rotante con raggio $l$ eguaglia la g? Ebbene questa è la velocità cercata. Sostituendo questa nella tua formula al posto di V1 ricavi V0min. Ti convince?
c)
Questo è banale: basta sostituire al posto di Vo nella tua formula 2Vomin e trovi la nuova V1.
E credo che di solito (90% dei casi) quando uno è così la colpa sia dell'insegnante, il quale probabilmente non sa spiegare (oppure nemmeno lui ha capito...
). Oh non che io pretenda di saper insegnare eh... però almeno mi impegno.E dopo queste (non so quanto) consolatorie parole veniamo al pendolo malefico.
a)
Allora tu proponi il metodo del moto armonico, io ti dico però che quello giusto è il metodo dell'energia: come la mettiamo?
Te ne dico anche un'altra: il metodo del moto armonico è "quasi" giusto, è sbagliato di poco, e diventa tanto più preciso quanto più sono piccole le oscillazioni. E sai perché? perché in realtà il moto del pendolo non è puramente armonico, e il periodo del pendolo così come viene presentato sui libri è una formula approssimata che vale per piccole oscillazioni. Infatti nella dimostrazione di come si calcola il periodo (non so se l'hai vista) si fa l'approssimazione $\sin \theta \approx \theta $, altrimenti esce un'equazione differenziale non lineare che non è integrabile.
Ciò per spiegarti perché ottieni delle diversità.
b)
L'impostazione che fai mi pare giusta (anche se chiami V0 la velocità all'apice; io la chiamerei V1 per non fare confusione: la V0 è sempre quella al punto più basso), adesso si tratta di calcolare la velocità V0min. Se noti la condizione da rispettare è che quando arriva all'apice del giro il filo sia teso. Infatti se la V1 all'apice fosse troppo bassa il peso cadrebbe e il filo non sarebbe teso. E' come il giochino di far ruotare col braccio un secchio pieno d'acqua tenendolo per il manico e facendolo passare rovesciato sopra la tua testa: se il giro lo fai troppo piano fai la doccia. Cosa ti garantisce di non farla? che vai abbastanza veloce. Quanto veloce? Questo è il punto.
La velocità V1 al punto più alto deve essere dunque tale da tenere il filo teso. A quel punto la massa che ruota è soggetta a 2 forze: la forza peso che tende a farla cadere, e le forza d'inerzia che tende ad allontanarla secondo la verticale. Siccome si sta descrivendo un cerchio allora ci si deve chiedere: qual è la velocità per la quale l'accelerazione centripeta di una massa rotante con raggio $l$ eguaglia la g? Ebbene questa è la velocità cercata. Sostituendo questa nella tua formula al posto di V1 ricavi V0min. Ti convince?
c)
Questo è banale: basta sostituire al posto di Vo nella tua formula 2Vomin e trovi la nuova V1.
"turtle87":
Per il secondo esercizio.
a) Lui chiede semplicemente la forza minima F1 da applicare al blocchetto 1 affinchè il sistema dei due blocchetti si muova.
Supponiamo che i due blocchi siano incollati tra loro. Allora dovrai convenire che basta applicare al blocco 1 la forza $F = (m1 + m2)g\mu_{s1}$ per far muovere il tutto. Ovviamente questo è vero se il blocco 2 non si muove rispetto al blocco 1. Verifichiamolo.
Il sistema sottoposto a questa forza accelera, perché una volta vinto l'attrito statico, l'attrito è minore. L'accelerazione assunta dal gruppo è quella che si ottiene dividendo la forza totale per la massa totale. La forza totale è quella motrice già calcolata meno quella resistente dovuta all'attrito dinamico cioè:
$ F_{T} = (m1 + m2)g\mu _{s1} - (m1 + m2)g\mu _{d1} = (m1 + m2)a $
$ a = g( \mu _{s1} - \mu _{d1}) $
Il blocchetto 2 si trova sopra il blocco 1. Lui sente su di sé la forza peso più una forza di inerzia dovuta al fatto che si trova in un sistema accelerato (il suo pavimento è la superficie superiore del blocchetto 1, che sta accelerando). Ciò equivale a dire che il blocco 2 "sente" una specie di gravità orizzontale di verso contrario alla accelerazione del blocchetto 1 e di uguale entità. Insomma il blocchetto 2 è soggetto a una forza orizzontale pari a $ m_2a = m_2g( \mu _{s1} - \mu _{d1}) $
Questa forza non è sufficiente a muoverlo, perché i suoi coefficienti di attrito sia statico che dinamico richiederebbero una forza maggiore per lasciarlo libero (infatti la differenza $\mu _{s1} - \mu _{d1}=0,1$ è minore sia dell'attrito statico che di quello dinamico del blocco due). Dunque il blocco 2 è solidale col blocco1. Dunque l'ipotesi che i due blocchi siano solidali tra loro è vera. Dunque la forza è proprio quella calcolata, perché è stata calcolata nell'ipotesi dorretta.
Tutta questa discussione per dimostrare che i due blocchi sono davvero solidali tra loro e non si muovono reciprocamente forse non sarebbe necessaria per prendere la sufficienza, però è necessaria per prendere un buon voto.
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