Esercizio sul motoin 2 dimensioni: risultati parzialmente corretti
Buongiorno a tutti!
Sono alle prese con il ri-studio del moto e al momento mi sto dedicando a un po' di esercizi e problemi vari sul Gettys.
Finora è andato tutto liscio, fino a questo esercizio: occorre dare 4 risposte, ma solo 2 corrispondono con le soluzioni riportate... eppure non riesco a capire il motivo di questa discrepanza. In un caso addirittura non capisco proprio la risposta, ma vado con ordine.
L'esercizio si riferisce a un'auto in movimento lungo questa traiettoria
L'auto è ferma in A, accelera uniformemente tra A e C, mantiene v di modulo costante (23 m/s) fra C e I (arco di circonferenza, raggio 200 m) e poi rallenta fino a fermarsi in K.
Le domande della prima parte di esercizio sono:
- velocità in B
- accelerazione in B
- velocità in D
- accelerazione media tra C ed E
Come prima cosa ho ricavato l'accelerazione $a$ dalla formula $V_d^2=V_a^2 + 2a(x_d-x_a)$
dove ho supposto $V_d=23 m/s$ e $V_a=0 m/s$ perchè nel tratto A C l'accelerazione è costante partendo da fermo. Inoltre lo spostamento è di 300 m.
Il risultato è che $|a|=0,88 m/s^2$ e questa accelerazione è la stessa che l'auto ha anche nel punto B.
Controllo il risultato sul libro...ed è corretto.
Mancandomi sempre informazioni sul tempo, per ricavare la velocità nel punto B riutilizzo la stessa formula, avendo però questa volta il valore di $a$, ponendo sempre $V_a=0 m/s$ e lo spostamento (ricavato dal grafico) pari a 150 m (almeno,a me sembrano 150)
$V_b= sqrt( (0 m/s)^2 + 2*0,88 m/s^2*150 m)$
Il risultato è 16,2 m/s....ed è sbagliato! Il libro riporta 11,5 m/s
Ecco quindi il primo intoppo...
Ma non demordo e vado avanti...
La velocità in D è di modulo 23 m/s, trattandosi di moto circolare uniforme nel tratto e sapendo la velocità in C.
devo scrivere le sue componenti vettoriali, l'angolo è 45° e quindi...
$V_d = 23 m/s * cos 45 * i + 23 m/s * sin 45*j = 16,3 m/s*i + 16,3 m/s*j$
che secondo la soluzione sul libro è corretto
Arriviamo alla domanda finale sull'accelerazione media tra C ed E, cioè mentre si muove su un arco di cerchio.
Il modulo della velocità è costante, l'accelerazione è solo quella centripeta, di modulo costante e direzione lungo il raggio.
Quindi
$a_c = V^2/R = (23 m/s)^2/(200 m) = 2,65 m/s^2$
Che è sbagliato! Il libro riporta come risultato un'accelerazione, espressa con le sue componenti vettoriali, pari a
$1,7 m/s^2 *i - 1,7 m/s^2 *j$
Il modulo di questo vettore (calcolato per provare) a me risulta essere $2,40 m/s^2$, quindi non posso nemmeno dire che io abbia espresso solo il suo modulo... c'è una differenza abbastanza sostanziosa.
Inoltre non capisco perchè esprimere un'accelerazione centripeta media in termini di componenti: si sa che è diretta lungo il raggio, ma il raggio cambia ad ogni istante. La domanda non era "trova l'accelerazione centripeta nel punto D" (che al limite potrebbe essere quella), ma parlava di un valore medio.
Allora mi domando... il libro ha posto la domanda in termini sbagliati o sono io che non ho capito qualcosa?
E poi... per quale motivo quei 2 valori non tornano?
so di essere fermo su un esercizio basilare, ma non avendo fretta e facendolo per puro piacere preferisco chiarirmi le cose per bene e con calma.
Grazie in anticipo a chiunque mi illuminerà il cammino!!
Buona domenica pomeriggio!!
Sono alle prese con il ri-studio del moto e al momento mi sto dedicando a un po' di esercizi e problemi vari sul Gettys.
Finora è andato tutto liscio, fino a questo esercizio: occorre dare 4 risposte, ma solo 2 corrispondono con le soluzioni riportate... eppure non riesco a capire il motivo di questa discrepanza. In un caso addirittura non capisco proprio la risposta, ma vado con ordine.
L'esercizio si riferisce a un'auto in movimento lungo questa traiettoria
L'auto è ferma in A, accelera uniformemente tra A e C, mantiene v di modulo costante (23 m/s) fra C e I (arco di circonferenza, raggio 200 m) e poi rallenta fino a fermarsi in K.
Le domande della prima parte di esercizio sono:
- velocità in B
- accelerazione in B
- velocità in D
- accelerazione media tra C ed E
Come prima cosa ho ricavato l'accelerazione $a$ dalla formula $V_d^2=V_a^2 + 2a(x_d-x_a)$
dove ho supposto $V_d=23 m/s$ e $V_a=0 m/s$ perchè nel tratto A C l'accelerazione è costante partendo da fermo. Inoltre lo spostamento è di 300 m.
Il risultato è che $|a|=0,88 m/s^2$ e questa accelerazione è la stessa che l'auto ha anche nel punto B.
Controllo il risultato sul libro...ed è corretto.
Mancandomi sempre informazioni sul tempo, per ricavare la velocità nel punto B riutilizzo la stessa formula, avendo però questa volta il valore di $a$, ponendo sempre $V_a=0 m/s$ e lo spostamento (ricavato dal grafico) pari a 150 m (almeno,a me sembrano 150)
$V_b= sqrt( (0 m/s)^2 + 2*0,88 m/s^2*150 m)$
Il risultato è 16,2 m/s....ed è sbagliato! Il libro riporta 11,5 m/s
Ecco quindi il primo intoppo...
Ma non demordo e vado avanti...
La velocità in D è di modulo 23 m/s, trattandosi di moto circolare uniforme nel tratto e sapendo la velocità in C.
devo scrivere le sue componenti vettoriali, l'angolo è 45° e quindi...
$V_d = 23 m/s * cos 45 * i + 23 m/s * sin 45*j = 16,3 m/s*i + 16,3 m/s*j$
che secondo la soluzione sul libro è corretto
Arriviamo alla domanda finale sull'accelerazione media tra C ed E, cioè mentre si muove su un arco di cerchio.
Il modulo della velocità è costante, l'accelerazione è solo quella centripeta, di modulo costante e direzione lungo il raggio.
Quindi
$a_c = V^2/R = (23 m/s)^2/(200 m) = 2,65 m/s^2$
Che è sbagliato! Il libro riporta come risultato un'accelerazione, espressa con le sue componenti vettoriali, pari a
$1,7 m/s^2 *i - 1,7 m/s^2 *j$
Il modulo di questo vettore (calcolato per provare) a me risulta essere $2,40 m/s^2$, quindi non posso nemmeno dire che io abbia espresso solo il suo modulo... c'è una differenza abbastanza sostanziosa.
Inoltre non capisco perchè esprimere un'accelerazione centripeta media in termini di componenti: si sa che è diretta lungo il raggio, ma il raggio cambia ad ogni istante. La domanda non era "trova l'accelerazione centripeta nel punto D" (che al limite potrebbe essere quella), ma parlava di un valore medio.
Allora mi domando... il libro ha posto la domanda in termini sbagliati o sono io che non ho capito qualcosa?
E poi... per quale motivo quei 2 valori non tornano?
so di essere fermo su un esercizio basilare, ma non avendo fretta e facendolo per puro piacere preferisco chiarirmi le cose per bene e con calma.
Grazie in anticipo a chiunque mi illuminerà il cammino!!
Buona domenica pomeriggio!!
Risposte
Per la velocità in B, va bene la tua risposta (16,2 m/s). Loro invece del punto medio hanno preso la velocità a metà tempo che impiega da A a C, facendo un errore un po' grossolano.
Per l'accelerazione media tra C ed E sembrano fare un'operazione un po' inconsueta che è questa:
$\bb a_M=1/(T_(CE))\int_C^E \bb a\ dt$
In pratica è la media del vettore accelerazione calcolato tra C ed E.
Se vai a fare i conti dovrebbe venire il loro risultato. Tu hai fatto la media della accelerazione scalare, che è costante.
Per l'accelerazione media tra C ed E sembrano fare un'operazione un po' inconsueta che è questa:
$\bb a_M=1/(T_(CE))\int_C^E \bb a\ dt$
In pratica è la media del vettore accelerazione calcolato tra C ed E.
Se vai a fare i conti dovrebbe venire il loro risultato. Tu hai fatto la media della accelerazione scalare, che è costante.
Grazie per la risposta, Quinzio.
Per la questione della velocità ho capito... meno male! Credevo di aver completamente perso quel poco di ragione che mi è rimasta!
Per l'accelerazione, se è come dici tu, hanno fatto una cosa un po' strana... soprattutto direi non molto intuitiva per uno dei capitoli iniziali, quando si suppone che lo studente sia ancora piuttosto dedito ad applicare o ragionare sui concetti e le formule base trattate fino a quel punto.
Per la questione della velocità ho capito... meno male! Credevo di aver completamente perso quel poco di ragione che mi è rimasta!
Per l'accelerazione, se è come dici tu, hanno fatto una cosa un po' strana... soprattutto direi non molto intuitiva per uno dei capitoli iniziali, quando si suppone che lo studente sia ancora piuttosto dedito ad applicare o ragionare sui concetti e le formule base trattate fino a quel punto.
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