Esercizio sul moto rotatorio
Ciao a tutti!
Ho questo problema in cui ho dei dubbi e vorrei sapere se il procedimento che sto seguendo è giusto o sbagliato.
Il testo è questo:
2) Ho trovato il centro di massa del sistema $r_(cm) = (m_1d_1 + m_2d_2)/(m_1 + m_2)$. Poi per calcolare l'accelerazione angolare so che $alpha =(a_t)/r$ e $a_t = (dv)/(dt)$ con $v = wr$, quindi sostituendo $alpha(t) = ((3/2)t^2r)/(rdt)$ che derivando e semplificando fa $alpha = 3t$.
3) Come prima so che $a_t = (dv)/(dt)$ e $v = wr$ e sostituendo e derivando viene che $a_t = 3tr$ con $r = d_2$ poichè si sta calcolando l'accelerazione per $m_2$.
4) Per il modulo dell'accelerazione calcolo inizialmente la $a_n$ dato che $a = sqrt((a_t)^2 + (a_n)^2)$.
So che $a_n = (v^2)/r$ e con $v = wr$ si ha quindi che $a_n = w^2r$ con $r = d_2$.
Sostituisco la $a_t$ trovata nel punto precedente e la $a_n$ trovata adesso nella formula della $a$ e trovo il modulo dell'accelerazione del punto $m_2$.
5) So che $vartheta(t) = wt$ e sostituendo la variabile $tau$ data e $w(t)$ viene che $vartheta = (3/2)tau^2tau = (3/2)tau^3 = (3/2)4npi = 6npi$ che va contro la affermazione del testo perchè ponenendo ad esempio $n = 1$ si ha che $vartheta = 6pi$ che è equivalente a 3 giri.
Ci sono un po' di cose ma spero riusciate ad aiutarmi almeno in una di queste, grazie in anticipo!
Ho questo problema in cui ho dei dubbi e vorrei sapere se il procedimento che sto seguendo è giusto o sbagliato.
Il testo è questo:
2) Ho trovato il centro di massa del sistema $r_(cm) = (m_1d_1 + m_2d_2)/(m_1 + m_2)$. Poi per calcolare l'accelerazione angolare so che $alpha =(a_t)/r$ e $a_t = (dv)/(dt)$ con $v = wr$, quindi sostituendo $alpha(t) = ((3/2)t^2r)/(rdt)$ che derivando e semplificando fa $alpha = 3t$.
3) Come prima so che $a_t = (dv)/(dt)$ e $v = wr$ e sostituendo e derivando viene che $a_t = 3tr$ con $r = d_2$ poichè si sta calcolando l'accelerazione per $m_2$.
4) Per il modulo dell'accelerazione calcolo inizialmente la $a_n$ dato che $a = sqrt((a_t)^2 + (a_n)^2)$.
So che $a_n = (v^2)/r$ e con $v = wr$ si ha quindi che $a_n = w^2r$ con $r = d_2$.
Sostituisco la $a_t$ trovata nel punto precedente e la $a_n$ trovata adesso nella formula della $a$ e trovo il modulo dell'accelerazione del punto $m_2$.
5) So che $vartheta(t) = wt$ e sostituendo la variabile $tau$ data e $w(t)$ viene che $vartheta = (3/2)tau^2tau = (3/2)tau^3 = (3/2)4npi = 6npi$ che va contro la affermazione del testo perchè ponenendo ad esempio $n = 1$ si ha che $vartheta = 6pi$ che è equivalente a 3 giri.
Ci sono un po' di cose ma spero riusciate ad aiutarmi almeno in una di queste, grazie in anticipo!
Risposte
Ti dico solo un paio di cose perchè faccio fatica a saltare dal testo allo svolgimento.
1) cosa te ne fai del centro di massa?
2)
1) cosa te ne fai del centro di massa?
2)
"giulgiu":No: sarebbe così in un moto uniforme, ma non è questo il caso. Per trovare l'angolo in funzione del tempo, devi integrare la velocità sul tempo, non solo moltiplicare
So che $vartheta(t) = wt$...
Ciao,
l'esercizio mi pare interessante, potremmo provare a svolgerlo a passi, dato che non sono indicati i risultati.
Tanto per iniziare notiamo che è un moto angolare accelerato.
Quindi per risolvere il punto 1) ci interessa sapere che velocità ha il sistema dopo il tempo richiesto.
Allora, dato che $w= 3/2 * t^2 $ si ha che dopo 2 secondi
$w_0 = 6(rad)/s$
Ora, dato che sappiamo che in generale la forza centripeta è $F_c = mw^2*d$
Si avrà che
$F_(c1) = m_1w_0^2*d_1$
$F_(c2) = m_2w_0^2(d_1+d_2)$
Considerato che, sul corpo 1 agisce una tensione che spinge il corpo via dal centro e un'altra che lo tira verso il corpo 2 e dato che la somma delle forza sulla parallela al raggio è nulla per i singoli corpi si ha
$T_1 = m_1w_0^2d_1 - T_2$
$T_2 - T_1 -m_2w_0^2(d_1+d_2) = 0 $
Allora
$T_1 = w_0^2/2(m_2(d_1+d_2) -m_1d_1)$
$T_2 = w_0^2/2(m_2(d_1+d_2) +m_1d_1)$
Se ci sono errori sono certo qualcuno mi correggerà ( fortunatamente
)
Edit: mi domandavo se in qualche modo per il corpo 2 si riesca a prendere il corpo 1 come centro di rotazione sfruttando i moti relativi
Per il punto 2 invece, beh
$abs(a) = sqrt(a_t^2 + a_c^2)$
Allora $abs(a) = sqrt( [(dw)/(dt)]^2R^2 + w^4R^2 )$
Per il punto 3
$a_t = dw/dt * (d_1 + d_2) = 3t(d_1+d_2)$
Alcuni punti se vedo che sono ripetizioni dei precedenti li salto, quindi passiamo al 5.
Il 5 è
$theta(t) = int_{0}^{t} ( 3/2t^2dt ) = 1/2t^3 + pi/2$
Così da soddisfare le condizioni iniziali.
Infatti se ruotiamo il sistema di riferimento di $pi/2$ si avrà
$2npi = 1/2 * (4npi) ^(3/3)$ che risolve il punto 5
Il momento angolare sappiamo essere $m* v \wedge r$
In questo caso $m_1*w_0*d_1^2 + m_2*w_0(d_1+d_2)^2$
Ora, quando il sistema ha comiuto un intero giro si ha
$theta(t) = 2pi -> 1/2t^3 = 2pi$ che ci da $t=(4pi)^(1/3)$
e quindi la velocità angolare di distacco sarà $w_1=3(2pi^2)^(1/3)$
mentre quella lineare $v_1 = w_1(d_1+d_2)$
per capire con che velocità arriva, basta considerare che parte dell'energia meccanica del corpo 2 viene dissipata per via dell'attrito
$1/2m_2(v_i^2 -v_f^2) = -mum_2gL$
quindi $v_f = sqrt(v_i^2 - 2mugL)$
dopo l'impatto la quantità di moto si conserva quindi essendo l'urto anaelastico
$m_2v_f = (m_2+m_3)v_F$
Mentre per calcolare la compressione basta considerare che al massimo della compressione la velocità è nulla, perchè sta cambiando verso del moto, quindi
$1/2k*Deltax^2 = 1/2(m_2+m_3)v_F^2$
e da qui si ricava la compressione.
Mentre per l'impulso, basta considerare il teorema dell'impulso e quindi la quantità di moto.
l'esercizio mi pare interessante, potremmo provare a svolgerlo a passi, dato che non sono indicati i risultati.
Tanto per iniziare notiamo che è un moto angolare accelerato.
Quindi per risolvere il punto 1) ci interessa sapere che velocità ha il sistema dopo il tempo richiesto.
Allora, dato che $w= 3/2 * t^2 $ si ha che dopo 2 secondi
$w_0 = 6(rad)/s$
Ora, dato che sappiamo che in generale la forza centripeta è $F_c = mw^2*d$
Si avrà che
$F_(c1) = m_1w_0^2*d_1$
$F_(c2) = m_2w_0^2(d_1+d_2)$
Considerato che, sul corpo 1 agisce una tensione che spinge il corpo via dal centro e un'altra che lo tira verso il corpo 2 e dato che la somma delle forza sulla parallela al raggio è nulla per i singoli corpi si ha
$T_1 = m_1w_0^2d_1 - T_2$
$T_2 - T_1 -m_2w_0^2(d_1+d_2) = 0 $
Allora
$T_1 = w_0^2/2(m_2(d_1+d_2) -m_1d_1)$
$T_2 = w_0^2/2(m_2(d_1+d_2) +m_1d_1)$
Se ci sono errori sono certo qualcuno mi correggerà ( fortunatamente
)Edit: mi domandavo se in qualche modo per il corpo 2 si riesca a prendere il corpo 1 come centro di rotazione sfruttando i moti relativi
Per il punto 2 invece, beh
$abs(a) = sqrt(a_t^2 + a_c^2)$
Allora $abs(a) = sqrt( [(dw)/(dt)]^2R^2 + w^4R^2 )$
Per il punto 3
$a_t = dw/dt * (d_1 + d_2) = 3t(d_1+d_2)$
Alcuni punti se vedo che sono ripetizioni dei precedenti li salto, quindi passiamo al 5.
Il 5 è
$theta(t) = int_{0}^{t} ( 3/2t^2dt ) = 1/2t^3 + pi/2$
Così da soddisfare le condizioni iniziali.
Infatti se ruotiamo il sistema di riferimento di $pi/2$ si avrà
$2npi = 1/2 * (4npi) ^(3/3)$ che risolve il punto 5
Il momento angolare sappiamo essere $m* v \wedge r$
In questo caso $m_1*w_0*d_1^2 + m_2*w_0(d_1+d_2)^2$
Ora, quando il sistema ha comiuto un intero giro si ha
$theta(t) = 2pi -> 1/2t^3 = 2pi$ che ci da $t=(4pi)^(1/3)$
e quindi la velocità angolare di distacco sarà $w_1=3(2pi^2)^(1/3)$
mentre quella lineare $v_1 = w_1(d_1+d_2)$
per capire con che velocità arriva, basta considerare che parte dell'energia meccanica del corpo 2 viene dissipata per via dell'attrito
$1/2m_2(v_i^2 -v_f^2) = -mum_2gL$
quindi $v_f = sqrt(v_i^2 - 2mugL)$
dopo l'impatto la quantità di moto si conserva quindi essendo l'urto anaelastico
$m_2v_f = (m_2+m_3)v_F$
Mentre per calcolare la compressione basta considerare che al massimo della compressione la velocità è nulla, perchè sta cambiando verso del moto, quindi
$1/2k*Deltax^2 = 1/2(m_2+m_3)v_F^2$
e da qui si ricava la compressione.
Mentre per l'impulso, basta considerare il teorema dell'impulso e quindi la quantità di moto.
Piccolo post in più: dove hai preso l'esercizio?
Mi spiace per la doppia risposta ma sarebbe passata inosservata la mia richiesta nel post dato che è lunghetto
Mi spiace per la doppia risposta ma sarebbe passata inosservata la mia richiesta nel post dato che è lunghetto
"caffeinaplus":
Considerato che, sul corpo 1 agisce una tensione che spinge il corpo via dal centro e un'altra che lo tira verso il corpo 2 e dato che la somma delle forza sulla parallela al raggio è nulla per i singoli corpi si ha
$T_1 = m_1w_0^2d_1 - T_2$
$T_2 - T_1 -m_2w_0^2(d_1+d_2) = 0 $
Perché?
La massa $m_2$ è vincolata a seguire la traiettoria circolare solo dalla tensione del filo $T_2$ che va dalla massa 2 alla massa 1, quindi quella tensione si sa immediatamente, nota la forza centripeta:
$T_2=F_{c2}$
Per la massa $m_1$ invece:
$F_{c1}=T_1-T_2$
da cui si trova $T_1$.
Ti torna?
Il primo punto è proprio quello che mi ha fatto interessare all'esercizio, dato che ero quasi certo di sbagliarlo, ma volevo provarci lo stesso
Allora, io avevo ragionato considerando una possibile interazione dovuta alla spinta del corpo 1 sul 2, ma mi sa che l'ho interpretata male e l'equazione che esprime bene questo concetto è quella riportata da te
$F_(c1) = T_2 - T_1$
Allora, io avevo ragionato considerando una possibile interazione dovuta alla spinta del corpo 1 sul 2, ma mi sa che l'ho interpretata male e l'equazione che esprime bene questo concetto è quella riportata da te
$F_(c1) = T_2 - T_1$
Avevo invertito il segno della equazione per trovare $T_1$, ora ho corretto.
In pratica sulla massa $m_1$ agiscono le due tensioni in verso opposto e la loro risultante deve dare la forza centripeta necessaria a tenere la massa sulla traiettoria circolare.
E' chiaro adesso?
In pratica sulla massa $m_1$ agiscono le due tensioni in verso opposto e la loro risultante deve dare la forza centripeta necessaria a tenere la massa sulla traiettoria circolare.
E' chiaro adesso?
Si, è quello che avevo messo nello spoiler girandoci un po di più attorno a conti fatti.
Grazie della correzione
Grazie della correzione
"caffeinaplus":
Piccolo post in più: dove hai preso l'esercizio?
E' un esame dell'università di Trento.
Alla fine sono riuscito a farlo ma ho ancora un dubbio che non riesco a togliermi.
Perchè nel primo punto tra le forze che agiscono sulle masse oltre alla tensione del filo non c'è anche quella di gravità?
Comunque grazie a tutti per le risposte!
Perchè il moto si svolge su un piano orizzontale, quindi il piano su cui sono poste le due masse esercita una forza uguale e contraria a quella di gravità annullando il suo effetto
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